Máquinas Simples
(Parte 5 - Rodas e Eixos)

Introdução
Com a finalidade de multiplicar forças, constituindo assim uma máquina simples, podemos associar rodas e eixos. Duas rodas acopladas a um mesmo eixo ou duas rodas acopladas por correia são exemplos de dispositivos simples capazes de multiplicar forças.

Em uma das rodas (denominada roda motriz), o operador (que pode ser um motor elétrico) aplica sua força (F_a = P = potência), em geral empunhando uma manopla (Aurélio: a parte por onde se empunham certos instrumentos, utensílios ou armas; punho) e a outra roda (denominada roda de carga) transmite à carga, a força já multiplicada pela máquina (F_t = R = resistência). 
Como nas demais máquinas, esses acoplamentos entre rodas e eixos obedecem ao princípio da conservação do trabalho (t_a = t_t), de modo que, se os raios das rodas são diferentes, podemos ganhar em força (força transmitida maior que a força aplicada: F_t > F_a) mas, perder em distância (o deslocamento tangencial da força aplicada é maior que o deslocamento tangencial da força transmitida: d₁ > d₂).

Cinemática dos acoplamentos
Para as máquinas das quais participam rodas e eixos, existem certas grandezas cinemáticas especialmente úteis, são elas:

a) Velocidade angular - para caracterizar a rotação de todos os pontos pontos de uma roda, basta saber de que ângulo central (expresso em radianos) um ponto qualquer da roda gira num determinado intervalo de tempo.
A velocidade angular (w) é expressa por: 

w = (deslocamento angular)/(intervalo de tempo) = Dj/Dt ... (rad/s)

Nota 1: Rodas acopladas a um mesmo eixo têm mesma velocidade angular, mesmo período e mesma freqüência. As velocidades lineares são diretamente proporcionais aos respectivos raios (ilustração abaixo, esquerda): 

w₁ = w₂  <==>  V₁/r₁ = V₂/r₂  <==>  V₁/V₂ = r₁/r₂

Nota 2: Para rodas acopladas por correia, as velocidades lineares dos pontos das rodas, em contato com a correia, têm o mesmo valor. As velocidades angulares são inversamente proporcionais aos respectivos raios (ilustração acima, direita):

V = V₁ = V₂     <==>  w₁r₁ = w₂r₂   <==>  w₁/w₂ = r₂/r₁ 

b) Período - Se a velocidade angular for constante, cada ponto da roda descreverá um movimento circular e uniforme. Neste caso, definimos o período (T) como sendo o intervalo de tempo necessário para que qualquer ponto da roda descreva uma volta completa.

c) Freqüência - Ainda no caso de velocidade angular constante, denomina-se freqüência (f) ao número de voltas completas efetuadas pelo ponto da roda, na unidade de tempo.
A freqüência vem expressa por: 

f = (N^o de voltas)/(intervalo de tempo unitário) = N/Dt  

Para Dt = T (período), teremos N = 1 e, portanto: f = 1/T.
No Sistema Internacional de Unidades, T mede-se em segundos (s), f em hertz (Hz). Na técnica usam-se, também, como unidade de freqüência o rpm (rotações por minuto). Vale: 1 Hz = 60 rpm.

d) Velocidade linear - A velocidade linear (V) de um ponto da roda é dada por:

V = (deslocamento escalar)/(intervalo de tempo) = Ds/Dt  ... (m/s)

e) Relações fundamentais - Quando a velocidade angular (w) é constante cada ponto da roda, que dista R do centro, descreverá seu movimento circular e uniforme; valem:

w = Dj/Dt = 2p/T = 2pf
V = Ds/Dt = 2pR/T = 2pf.R
V = w.R

Dinâmica dos acoplamentos
Tendo-se sempre em vista a conservação do trabalho nas máquinas simples vamos examinar as forças, deslocamentos e velocidades postas em jogo no acoplamento de rodas.

a) No acoplamento de rodas num mesmo eixo o torque (momento) dado à roda motriz transmite-se à roda de carga: t_a = t_t . 
Desse modo, se a força tangencial F_a for aplicada na periferia da roda maior (de raio r₁) e essa realizar uma volta completa, de modo que o deslocamento da força seja d₁ = 2pr₁, o torque motor será: t_a = F_a.2pr₁. Nessa situação, a roda de carga, transmite a força F_t que deslocará seu ponto de aplicação da distância d₂ = 2pr₂ e realizará trabalho resistente dado por: t_t = F_t.2pr₂ . Devemos por t_a = t_t , logo: F_a.2pr₁ = F_t.2pr₂ e então temos a 'equação do acoplamento':

F_t = F_a.(r₁/r₂)

onde r₁/r₂ = VM é a vantagem mecânica do acoplamento. Assim, se r₁ > r₂ ganhamos em força, mas perdemos em deslocamento e, conseqüentemente, em velocidade.
Repare que, quanto menor for o raio da roda de carga, maior será a força transmitida. Verifique isso na torneira de sua casa, onde você aplica força na roda maior para fazer girar, com facilidade, a roda menor (que é o próprio 'tarugo' de latão onde se fixa a roda maior). Do mesmo modo funciona a maçaneta de sua porta.

Mais uma vez, repare que a vantagem mecânica é a razão entre os braços de alavanca que, no caso, são os raios das polias: VM = r₁/r₂ . A razão dos diâmetros é a mesma da razão entre os raios e o uso de VM = D₁/D₂  pode ser bem conveniente em alguns casos.
Essa razão permanece verdadeira quer as polias sejam axiais (giram fixas ao redor do mesmo eixo), quer acopladas por correia ou ainda por acoplamento de contato direto tangencial (como as engrenagens).

Sobre as cinemáticas dos acoplamentos vale notar que a diferença entre polias e engrenagens é que polias giram no mesmo sentido enquanto que as engrenagens, em contato, giram em sentidos opostos.

Sarilho ordinário
Uma aplicação imediata do acoplamento de rodas num mesmo eixo encontra-se no sarilho ordinário. Esse consta de um cilindro horizontal de raio r (solidário ao eixo), sobre o qual se enrola uma corda e, por meio de uma manivela (fixada ao eixo), faz-se girar o cilindro. A potência P se aplica à manivela de raio R (uma roda) e a resistência Q à extremidade livre da corda.

O sarilho ordinário pode ser visto como uma alavanca do primeiro gênero --- interfixa --- (detalhe na ilustração acima, à esquerda); temos: 

P.R = Q.r  <==> P = Q.(r/R)

O estudo do equilíbrio do sarilho, em laboratório, é feito mediante a montagem mostrada acima, à direita, onde a manivela é representada pela roda grande; P representa a força do operador e Q a carga.

Sarilho diferencial
Uma variante eficiente (porém pouco conhecida e usada) do sarilho ordinário é o sarilho diferencial, cujo tambor (local onde passa a corda) é formado por dois cilindros de raios diferentes R e r, com R > r. A corda que sustenta a carga Q (colocada no gancho de uma polia móvel) está enrolada sobre os dois cilindros, mas em sentidos opostos, de modo que quando um ramo de corda se enrola no cilindro grande para a subida da carga o outro ramo se desenrola no cilindro menor de uma quantidade um tanto menor.

Sarilho diferencial: a carga Q está sendo representa da pela mola posta entre gancho e base. L é o bra- ço da manivela, R o raio do cilindro grande e r o raio do pequeno.

No equilíbrio, a potência P aplicada pelo operador sobre a manivela de raio L desenvolve o momento +P.L. A carga Q dividida pela polia móvel em Q/2 e Q/2 desenvolve sobre os cilindros respectivos os momentos -(Q/2).R e +(Q/2).r  e, então:

P.L + (Q/2).r - (Q/2).R = 0     donde     P = Q.(R - r)/2L

Cabrestante
O sarilho ordinário, quando apresenta seu eixo na vertical, passa a denominar-se cabrestante; serve para realizar grandes esforços de tração:

b) No acoplamento de rodas através de correia os deslocamentos (d₁ e d₂) das forças aplicada (F_a) e transmitida (F_t) são iguais, assim como as intensidades das forças (F_a = F_t) -- daí decorre a igualdade dos trabalhos. 
Por vezes é difícil perceber isso de imediato. Vamos analisar: 
1.- a correia, sob tensão, aplica exatamente a mesma força sobre as periferias das rodas, daí a igualdade das forças; 
2.- para os deslocamento teremos (para uma volta completa da roda maior): d₁ = 2pr₁ e d₂(total) = x.2pr₂ onde x = 2pr₁/2pr₂ = r₁/r₂, logo: d₂(total) = (r₁/r₂).2pr₂ = 2pr₁. Realmente, d₁(1 volta) = d₂(total). Todavia, perceba que d₂(total) encerra x voltas da roda menor. 

Engrenagens
Quando se acoplam rodas através de uma correia, os esforços que se opõem à força transmitida podem ser tais que fazem a correia deslizar. Nessas situações é conveniente 'dentear' os bordos das rodas e substituir a correia por uma 'corrente' que 'engata' perfeitamente nos dentes da engrenagem -- engrenagem por corrente -- (abaixo, direita). 

A bicicleta, pelo seu sistema de transmissão mediante rodas dentadas e corrente, é exemplo de tal situação. Observe os sentidos de movimento nesse acoplamento por corrente; são os mesmos!

As rodas dentadas também podem se 'engrenar', diretamente, sem a necessidade de correntes -- engrenagem direta -- (ilustração acima, esquerda). Observe os sentidos de movimento nesse acoplamento direto 'entre dentes' --- giram em sentidos opostos!
Eis uma aplicação desse tipo de acoplamento entre rodas dentadas, no sarilho de engrenagens:

Essa máquina consta de dois conjuntos, com duas rodas cada um: (1) a potência P, através da manivela de raio R (primeira roda) atua sobre a pequena roda dentada de raio r (segunda roda); (2) essa roda dentada pequena do primeiro conjunto engrena com a roda grande, de raio R', do segundo sistema (primeira roda) e essa, por sua vez, é solidária ao cilindro de raio r' (segunda roda). Sobre esse cilindro se enrola a corda ligada á carga Q (resistência).

Um sarilho de engrenagem se comporta como combinação de dois sarilhos ordinários (veja acima). Acompanhe pela ilustração acima, onde F e F' indicam, respectivamente as forças de reação e ação, aplicadas pelas superfícies de dois dentes em contato:
(a) o equilíbrio do primeiro conjunto de rodas será dado por: P.R = F.r  e,
(b) o equilíbrio do segundo conjunto de rodas será dado por: Q.r' = F'.R'.
Dividindo-se essas duas expressões membro a membro e lembrando que F = F' (ação e reação) vem:

P.R/Q.r' = F.r/F'.R'   ou   (P/Q)(R/r') = r/R'

P = Q.(rr')/(RR')

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