Forças e Coeficientes de Atrito

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

No estudo da Mecânica, nós sempre encontraremos forças que surgem por causa da resistência de atrito imposta ao movimento, na interface entre dois corpos que estão em contato. É importante entender as características de tais forças e desenvolver métodos práticos para incorporá-las nos problemas da Mecânica. Para ver como estas forças atuam, vamos considerar a situação ilustrada abaixo [1], onde um objeto 'retangular' de peso P repousa numa superfície áspera e está sujeito a forças tanto horizontais quanto verticais. 

O modo mais fácil de se analisar o que está acontecendo é, como é usual, considerar cada parte do sistema como um corpo livre isolado e descrever como todas as forças estão atuando em cada um desses corpos. O procedimento usado para que isto seja feito neste caso é mostrado a seguir [2], onde todas as forças sobre ambos os blocos, apoiado e suspenso, são mostradas. 

[2] O conjunto de forças que atuam (a) no corpo ilustrado acima [1], visto como um corpo livre isolado, e (b) no bloco suspenso, considerado do mesmo modo. 
Nota: Não foi ilustrada a polia, uma vez que, no propósito, ela apenas serve para modificar a direção da tensão na corda, que passa de horizontal para vertical.

Nestes diagramas, a tensão na corda é representada pelos vetores T, que atua na direção x horizontal, no objeto apoiado e T’ atuando na direção y vertical, no objeto suspenso, de peso Q. Se o peso da corda for desprezado (como será), a intensidade de T' será a mesma de T. A roldana serve apenas para mudar a direção e o sentido no qual a tensão atua e de maneira nenhuma altera seu módulo [*]. Também, neste exemplo, supõe-se que a interface entre o bloco apoiado e a superfície que o apóia não seja perfeitamente escorregadia e então as forças de atrito que surgem do bloco apoiado e da superfície na qual ele repousa estão presentes.

[*] Esta afirmação é verdadeira apenas quando os efeitos de atrito e efeitos de inércia associados à roldana puderem ser negligenciados, e sempre suporemos que este é o caso, a menos que uma afirmação contrária seja feita. 

As forças de atrito entre o objeto apoiado e a superfície surgem das forças interatômicas ou intermoleculares entre as duas superfícies. Uma descrição exata do atrito em termos destas forças é muito complexa e não pode ser tratada em detalhes aqui. Além do mais, embora as superfícies em contato possam parecer muito lisas e planas, numa escala atômica uma ordem tal de lisura raramente pode ser obtida, e nesta escala as superfícies são irregulares e ásperas com 'pontos' altos e baixos. Como resultado, a área real de contato (medida da superfície total dos contatos) entre os dois objetos ocorre apenas em pontos relativamente pequenos onde pontos altos em ambas as superfícies estão opostos uns aos outros; assim, a área de contato não tem relação direta com a área total de superfície da base do objeto apoiado, mas na realidade é muito menor.
A pressão nos pontos reais de contato é, portanto, muito grande e suficiente em muitos casos para unir as duas superfícies juntas (caso do contato do vidro plano sobre vidro plano). A força máxima de atrito que pode ser suportada pela interface é a força necessária para quebrar estas uniões microscópicas. Se o contato for deslizante, formam-se e quebram-se ligamentos continuamente, e o material pode ser transferido de uma superfície para outra no processo.
Verificou-se que os mesmos efeitos exercem um papel importante nas forças de atrito, associados ao contato de rolamento entre dois corpos. Neste caso, a área real de contato é ainda menor e, em conseqüência, o atrito de rolamento é ordinariamente menor que o atrito de deslizamento entre os mesmos materiais. No caso do atrito de rolamento, contudo, a deformação do objeto que rola sob as forças que atuam sobre ele também pode ser importante na determinação da grandeza das forças de atrito.

Vê-se claramente que os mecanismos físicos relevantes para os efeitos de atrito estão completamente envolvidos, e uma descrição analítica destes efeitos em termos fundamentais é comumente muito complicada. É muito simples, contudo, descrever como as forças de atrito atuam, sem haver necessidade de citar (ou até mesmo conhecer) os mecanismos físicos responsáveis pela ação delas. Isto pode ser efetuado meramente observando-se que tem sido averiguado experimentalmente que uma força de atrito existe entre um objeto e a superfície sobre a qual ele repousa. A maneira pela qual esta força age depende de o corpo estar em repouso (atrito estático) ou deslizando sobre a superfície abaixo dele (atrito cinético). Em todos os casos, contudo, sua direção fica no plano da interface entre o corpo e a superfície na qual ele repousa, como mostrado nas ilustrações [1].

No caso do atrito estático,,já que o corpo está em equilíbrio implícito, a soma vetorial de todas as forças sobre ele deve ser zero. Isto significa que a força de atrito deve ser igual em módulo e direção e oposta em sentido em relação à resultante de todas as outras forças que atuam no objeto. Mas a força de atrito estático pode apenas chegar à sua maior grandeza (valor) antes do corpo “quebrar as arestas” e começar a deslizar. O valor da maior força de atrito possível (F_{at máx.}) é diretamente proporcional ao valor da componente de força exercida pelo plano de apoio no corpo que é normal ao atrito da interface, usualmente referida como a força normal N. Estas forças estão ilustradas, no caso mais simples possível, em [2] . Conseqüentemente, o valor da força máxima possível do atrito estático pode ser escrita como:

F_{at máx.} = m_e.N          [eq.1] ... Lei de Coulomb-Morin ...

onde m_e é uma constante de proporcionalidade, chamada coeficiente de atrito estático. Seu valor, obviamente, depende dos materiais que estão em contato com a interface e ainda, de sua aspereza ou lisura. É preciso menos intensidade de força para superar as intensidades de forças de atrito entre um pedaço de gelo e uma superfície de madeira que aquelas existentes quando um bloco de madeira que tem o mesmo peso é colocado em lugar do primeiro. Uma vez que o coeficiente de atrito associado a uma dada interface de atrito é conhecido, o valor da força estática máxima que ele suportará antes de “quebrar as arestas” e começar a deslizar pode ser avaliado pela [eq.1]. 
Em qualquer situação onde as forças de atrito estático atuam, a condição do sistema é de equilíbrio, no qual as forças que atuam, incluindo a força de atrito estático, são determinadas pela aplicação usual da primeira lei de Newton. Não existe realmente nada novo envolvendo isto, exceto relembrar-se que em todos os casos o valor calculado da força de atrito tem que ser menor ou igual ao valor da F_{at máx.} dado por [eq.1]. A força de atrito estático não precisa, por conseguinte, ser igual a m_e.N. Pode muito bem ser menor que este valor, mas não maior. Assim, a [eq.1] permite-nos determinar os limites nos quais as forças de atrito estático podem atuar para manter um sistema no estado de equilíbrio estático.

No caso do atrito cinético, no qual o objeto não está em repouso mas está deslizando sobre a superfície de suporte, a força de atrito atua sobre o objeto que desliza no plano da interface de atrito, em sentido oposto àquele de seu movimento. Sua grandeza (valor) é novamente proporcional àquela da força normal N, mas o coeficiente de proporcionalidade entre a força do atrito de deslizamento difere do coeficiente do atrito estático que determina a força máxima que a mesma interface pode suportar em equilíbrio estático. De fato, a força de atrito cinético que atua quando um corpo desliza sobre uma superfície de suporte é quase invariavelmente menor que a força máxima de atrito estático que a mesma interface pode suportar. Nós podemos, portanto, expressar a força de atrito cinético por:

F_{at cin.} = m_c.N          [eq.2]

onde m_c é uma constante de proporcionalidade referida como o coeficiente de atrito cinético associado com o tipo específico de interface de atrito envolvido. Já que a intensidade da força de atrito de deslizamento m_c.N é menor que a intensidade da força estática máxima m_e.N necessária para “quebrar as quinas", é claro que para uma dada interface, m_c será sempre menor que m_e. Também, já que a força de atrito cinético entre um objeto e a superfície sobre a qual ele desliza é praticamente independente de sua velocidade (constatação experimental), o coeficiente de atrito cinético é essencialmente independente da velocidade do corpo com respeito à superfície.

Uma descrição tal como esta dada acima, estabelecida em termos de observações experimentais mais do que em princípios fundamentais, é chamada uma descrição empírica. Os coeficientes de atrito estático e cinético m_e e m_c, que entram na descrição, não podem ser calculados de modo nenhum, exceto se lançarmos mão de argumentos muito difíceis envolvendo forças intermoleculares previamente esboçadas. No entanto, eles podem ser medidos experimentalmente com muita facilidade para todos os pares concebíveis de substâncias as quais podem formar uma interface de atrito, e estes valores medidos podem ser tabulados e referidos/usados quando necessário.
Já que os coeficientes de atrito são as razões das intensidades de duas forças (F_at/N), eles são adimensionais.

As leis que governam as forças de atrito estabelecidas acima são aproximadas, e não exatas. Em particular, o coeficiente de atrito cinético pode realmente variar com a velocidade se um grande intervalo de velocidade está envolvido, embora a suposição que isto não ocorra seja usualmente muito boa quando se trata de um intervalo moderado de velocidades. O coeficiente de atrito estático m_e é sempre maior que o coeficiente de atrito cinético m_c, porque é possível verificar-se invariavelmente que para qualquer sistema uma força maior é requerida para “quebrar arestas” do que para manter um deslizamento constante ou movimento rolante.

Vamos agora retornar aos sistemas mostrados nas ilustrações [1] e examinar em detalhes o que acontece em cada caso ilustrado, usando a técnica dos corpos livres isolados descrita anteriormente. 

Na ilustração [2b], na qual o bloco de peso Q é ilustrado como um corpo livre isolado, é evidente que se este objeto está em equilíbrio, então, a soma de todos os componentes segundo x, y e z das forças que atuam sobre ele deve igualar-se a zero. Como as forças que atuam no bloco têm apenas componentes segundo y, podemos escrever:

SF_y = T' - Q = 0     ... [eq. 3]

donde  Q = T' = T   ... [eq. 4]

já que, como foi mencionado previamente, T’ e T são iguais em valor. A tensão na corda é então igual a Q, como se pode esperar em equilíbrio. Considerando o bloco retangular agora como um corpo isolado, como está na ilustração [2a], e escrevendo as equações para o equilíbrio das forças aplicadas a este objeto, obtemos:

SF_x = T - F_at = 0       e       SF_y = N - P = 0     ... [eq.5]

Nestas equações, Q pode ser considerado como dado e sabe-se que T é igual a Q, da [eq. 4]. Nós estamos então confrontando-nos com um grupo de duas equações simultâneas as quais podem ser resolvidas para as duas incógnitas  F_at e N, para dar:

F_at = T = Q      e      N = P      ... [eq. 6]

A força de atrito é igual ao peso suspenso Q, e o valor da força normal N que o plano de suporte exerce no bloco sustentado é simplesmente P, o peso do objeto sustentado. 
Ao escrever a primeira das equações [eq.5], note que assumiu-se que a força de atrito estava no plano de atrito da interface. Neste exemplo, supõe-se que o sistema esteja em equilíbrio sob a ação de todas estas forças e, portanto, é claro que Q deve ser menor que m_e.N (portanto, menor que m_e.P), porque de acordo com as leis que descrevem as forças de atrito, a força de atrito pode ter qualquer valor menor que m_e.N, mas não pode exceder m_e.N.

O que comentamos baseando-nos nas ilustrações [2a],[2b] é justamente o que está ocorrendo na ilustração [1a], onde Q = Q1, T = T₁ e F_at = F_at1 . 
Falemos agora do que acontece na ilustração [1b], onde alguma massa extra foi progressivamente acrescentada ao bloco suspenso (que atingirá o valor final Q₂) até chegarmos à situação na qual a força de atrito assume o valor F_at2 = m_e.N = F_{at máx.} .

O sistema ainda está em equilíbrio (estático), embora esteja no limite extremo no qual o equilíbrio pode ser mantido pela força de atrito, e o movimento é iminente. As equações de equilíbrio são as mesmas de antes, efetuando-se apenas substituição das legendas, e teremos:

F_at2 = F_{at máx.} = m_e.N = T₂    e    T₂ = Q₂     ... [eq. 7]

Mas, já que N = P (equilíbrio segundo y), é evidente que também Q₂ = m_e.P.

Se o peso suspenso exceder este valor, o equilíbrio não pode ser mais mantido e o objeto “quebra as arestas” e desliza com aceleração não nula ao longo da direção y.

Existe ainda um outro modo segundo o qual o sistema pode estar em equilíbrio. Se um valor adequado Q₃ para o peso suspenso for selecionado, a tensão na corda flexível será suficiente para equilibrar a força de atrito cinético que surge quando o objeto sustentado desliza com velocidade constante ao longo da superfície de apoio, como é ilustrado na [1c]. Já que o sistema ainda está em equilíbrio (dinâmico) sob estas circunstâncias, as equações de equilíbrio geral [eq. 5] são ainda aplicáveis, com a condição de que Q seja substituído por Q₃ , F_at por F_at3 = m_c.N e T por T₃. 
Outra vez, o procedimento do corpo isolado aplicado ao peso suspenso leva-nos a concluir que T₃ = Q₃, enquanto que as equações de equilíbrio do corpo apoiado levam a:

F_at3 = F_{at cin.} = m_c.N = T₃    e    T₃ = Q₃     ... [eq. 8]

Também, já que N = P, é fácil ver que Q₃ = m_c.P.

Já que m_c é menor que m_e, Q₃ será menor que Q₂, como é dado por [eq. 7], requerida para superar a força máxima possível de atrito estático e mover o sistema do repouso. Portanto, é possível também que o sistema esteja em equilíbrio, em repouso, quando o peso suspenso for Q₃. 

Existem, então, dois estados de equilíbrio 'críticos' possíveis, um no qual o sistema está em repouso, aparecendo como um caso especial da situação ilustrada em [1a] e discutido em [1b] juntamente com as (eq. 5) e no qual Q₂ tem o valor m_e.P; e um outro no qual o sistema desliza à direita com velocidade constante [1c], como foi discutido logo acima, onde Q₃ = m_c.P.

Para se efetuar uma transição entre estes dois estados, deve ser aplicada uma força externa. Por exemplo, se o sistema estiver inicialmente em repouso (por exemplo, como em [1a] substituindo-se Q₁ por Q₃), pode ser posto em movimento por um toque de mão (ou dar 'piparotes' sobre a mesa de apoio), e então persistirá em movimento com velocidade constante até que seja parado por uma outra força aplicada externamente. 
Tal sistema que tem dois estados de equilíbrio é comumente chamado de sistema duplamente estável. Os sistemas que têm três ou, ainda, muitos estados de equilíbrio não são absolutamente incomuns. Para tais sistemas desenvolve-se um novo campo de estudos denominado estabilidade de equilíbrio. Um outro exemplo familiar de um sistema duplamente estável está mostrado em ambos seus estados de equilíbrio na ilustração [3] a seguir.

Continuemos. Se o peso do corpo suspenso exceder o valor de F_{at máx.} então a força T exercida pela corda flexível será maior que a força máxima de atrito que possa existir na interface de atrito. Sob estas circunstâncias, a soma das componentes segundo x das forças que atuam sobre o objeto sustentado possivelmente não pode ser zero, mas a soma deve, ao invés disso, dar uma força resultante total ao longo da direção x. O corpo não estará mais em equilíbrio e, de acordo com a segunda lei de Newton, deverá experimentar uma aceleração ao longo do eixo x em resposta à força resultante. 
Se o peso do objeto suspenso (Q) for menor que m_e.P mas maior que m_c.P, o corpo sustentado estará em equilíbrio se ele estiver em repouso, porque uma força de atrito estático maior que m_e.P pode então ser mantida para contrabalançar a tensão na corda. Se o objeto for posto em movimento ao longo da direção positiva do eixo x, contudo, a força máxima de atrito cinético que pode ser mantida pelo contato do deslizamento é m_c.P, e isto é insuficiente para contrabalançar a tensão na corda e tornar a força resultante igual a zero. Ao invés disso, uma força resultante atuará ao longo da direção x sobre o corpo sustentado, a qual causa novamente uma aceleração naquela direção. Esta situação está ilustrada na [1d]. 

Por ora,já que estamos interessados primariamente em conhecer como os sistemas em equilíbrio se comportam, nós não nos dedicaremos à discussão sobre o que acontece quando o sistema não está mais em equilíbrio, e retornaremos a este assunto em outro trabalho, na Sala de Dinâmica.

Atrito despertado em corda enrolada sobre cilindro
Uma corda envolve, num cilindro fixo, o arco qualquer de ângulo central a e suporta o peso P numa de suas extremidades. O esforço f a ser aplicado na outra extremidade equilibra carga tanto maior quanto maior for o ângulo a. A razão P/f cresce, aliás, em progressão geométrica com a.

Exemplifiquemos: se para a = 90º, a razão P/f for igual a 3, para a = 180º será 9; para 360º, será 81; para 2 voltas, será 324; etc.
Observe que, fazendo várias voltas, chegamos a sustentar cargas consideráveis. É, por exemplo, a propriedade aplicada pelos marinheiros para deter um cargueiro que vem atracar; enrolam com poucas voltas uma grossa corda sobre um cilindro fixo plantado no cais. A aderência das correias sobre as roldanas é tanto melhor quanto maior for o arco circunscrito.