Redução de forças
(Parte 1)

Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
leo@feiradeciencias.com.br
leobarretos@uol.com.br

Apresentação
Em Física Elementar, a Estática trata de sistemas de forças situadas todas em um mesmo plano. A exposição baseia-se na experiência corriqueira. Ela gera no estudante percepção intuitiva que conduz à assimilação dos Princípios da Estática.
Forças coplanares (todas no mesmo plano) podem ser paralelas ou concorrentes; elas possuem momento em relação a um pólo e podem formar binário. Pode-se estudar baricentro, equilíbrio, máquinas simples.

Em Curso Superior o estudante de Física e Mecânica Geral examina sistemas de forças quaisquer no espaço tri-dimensional, podendo ser paralelas, concorrentes ou reversas. A redução de tais sistemas requer noções básicas de Cálculo Vetorial, e é pré-requisito no estudo de Resistência dos Materiais, Elasticidade, Estabilidade de Estruturas, Mecânica dos Solos, Fluidomecânica e disciplinas afins.

Iniciaremos com a Revisão de sistemas de forças em um plano (conceitos básicos e propriedades elementares) e, a seguir, Redução de Forças no espaço bidimensional. Não trataremos do espaço tri-dimensional.

Revisão
Força é agente físico que pode distender, comprimir, desviar, acelerar ou decelerar. É grandeza vetorial F (aqui grafada em negrito), função de variáveis tais como posição P, data t e velocidade v. Aplicada a uma partícula de massa m, a força F lhe imprime aceleração a segundo a Lei Fundamental da Dinâmica (Princípio da Proporcionalidade): F = m.a.
Representaremos por (P, F) a força F aplicada no ponto P. No Sistema Internacional de Unidades (SI) mede-se aceleração com a unidade m.s^-2, massa com a unidade kg, força com a unidade newton: 1 N = (1 kg).(1 m.s^-2 ) = 1 kg.m.s^-2 .

Sistema nulo
Sistema de duas ou mais forças não nulas aplicadas a um corpo material pode não imprimir-lhe aceleração (seja de translação, e/ou de rotação). Tal sistema é dito em equilíbrio; é sistema equilibrado e é chamado sistema nulo.

Princípio do sistema nulo - Duas forças colineares de sentidos opostos e intensidades iguais, aplicadas a um mesmo sólido, se equilibram.

Sistemas equivalentes
Invertendo-se cada uma das forças de um sistema, resulta o sistema oposto do primeiro. Um sistema qualquer, e seu oposto, reunidos se equilibram; juntos, constituem sistema nulo.

Dois sistemas de forças se dizem equivalentes quando qualquer um deles equilibra o oposto do outro.

Todo sistema de forças (sejam elas impressas ou vinculares, cargas e/ou reações de apoio, empuxo, resistência do meio, etc.) é sempre aplicado a um corpo material, rígido ou deformável que seja; é este o "sistema"  em foco de investigação. 
Exemplos: cordel, haste, polia, coluna, viga, barra, arco, treliça, mola, cabo de sustentação, veículo terrestre, avião, embarcação, espaçonave, qualquer corpo sólido, líquido ou gasoso.
Admitindo-se que a estrutura resista, desenvolvem-se em seu material tensões normais e tangenciais dentro de certos limites. É importante notar que a equivalência de sistemas de forças externas aplicadas a uma mesma estrutura não assegura a igualdade das tensões desenvolvidas internamente (veremos detalhes disso mais adiante). A equivalência de sistemas só diz respeito ao regime estático (equilíbrio) ou dinâmico (acelerações) do sistema.

Princípio do Paralelogramo
Forças aplicadas a um ponto material somam-se como vetores; a força resultante aplica-se ao mesmo ponto.

A um mesmo ponto P podem estar aplicadas mais de duas forças, F₁, F₂, F₃, ... F_n. Isto pode ser escrito assim: S{P, F_j} (j=1,2,...,n). Para determinar sua resultante F aplica-se o Princípio do Paralelogramo vezes consecutivas: compõem-se, por exemplo, F₁ e F₂; em seguida, a resultante destas com F₃; e assim por diante até a última F_n.

Neste caso, é mais simples encadear os segmentos orientados equipolentes às forças a partir de um pólo arbitrário C, formando uma poligonal vetorial (de, preferência convexa). Obtém-se a força resultante (P, F), sendo  F = SF_j a força-soma (ilustração abaixo). O exposto vale também para sistemas de forças (P_j, F_j) aplicadas as pontos P_j  ; a força resultante (P, F) aplica-se em ponto P a ser determinado mediante o teorema de Varignon (ver mais adiante).

Pode-se proceder analiticamente para a determinação da F:

   F_j = F_jx.i + F_jy.j    (j = 1, 2, 3, ... n)

Na ilustração acima tem-se, por exemplo: F_1x = F₁.cos15º , F_1y = F₁.sen15º, etc.

A força resultante (P, F) tem projeções cartesianas  F_x  e  F_y :  F = F_x.i + F_y.j  com F_x = SF_jx  e  F_y = SF_jy  sendo |F| = √(F_x² + F_y²)   e  tgq = F_y/F_x .

Se for  F_x = 0  e  F_y = 0 , é F = 0; neste caso, as forças (P, F_j) formam sistema nulo (sistema em equilíbrio).

Momento polar de força
Seja r a linha-de-ação de uma força dada (P, F). Fixa-se um pólo arbitrário C, ponto geralmente fora de r. Em relação ao pólo C, o braço (também dito braço-de-alavanca) da força é a distância  b  do pólo à linha-de-ação da força:  b = CP_o , com CP_o _|_ F. Momento da força (P, F) em relação ao pólo C é a grandeza escalar M definida por:  M = b.|F|.(±1) .

Em um plano, seja um sistema S de forças quaisquer  (P_j, F_j), e seja C um pólo fixado arbitrariamente. Os pontos P₁, P₂, ... P_j, ... P_n  podem ser todos distintos ou não. Momento do sistema S em relação ao pólo C é a soma algébrica dos momentos de todas as forças de S em relação ao mesmo pólo C.

O momento da força genérica (P_j, F_j) é  M_jC = b_j.|F_j|.(±1) .

O momento do sistema das n forças é  M_C = SM_jC   (j = 1, 2, 3, ... n) .

Teorema de Varignon
Dadas duas forças (P, F₁) e (P, F₂) aplicadas a um mesmo ponto P, a força resultante é (P, F) aplicada ao mesmo ponto P, com F = F₁ + F₂ (Regra do paralelogramo). Escolhido um pólo C no plano das forças, demonstra-se:

O momento da força resultante é igual à soma dos momentos das forças componentes.

Esta importante lei estende-se a três ou mais forças concorrentes. Vale também para forças paralelas em linhas-de-ação distintas, desde que não formem binário.

Sugerimos esta demonstração, como exercício:
1- Traça-se o eixo  Px _|_ PC  (Py se estabelece sobre PC).
2- As projeções normais das forças sobre  Px  são x₁, x₂ e x respectivamente.
3- Sendo  x - x₁ = x₂, é   x₁ + x₂ = x  e, portanto, PC.x₁ + PC.x₂ = PC.x .
4- Ângulos verdes      ==> x₁/b₁ = F₁/PC , portanto, PC.x₁ = b₁.F₁.
5- Ângulos azuis         ==> x₂/b₂ = F₂/PC , portanto, PC.x₂ = b₂.F₂.
6- Ângulos amarelos  ==> x/b = F/PC , portanto, PC.x = b.F.

     Resulta:             b₁.F₁ + b₂.F₂ = b.F , portanto,  M₁ + M₂ = M  ... CQD.

Binário
Também chamado conjugado ou par-de-forças, é sistema constituído por duas forças anti-paralelas de intensidades iguais, em linhas-de-ação distintas.

É S[(P₁, F₁) e (P₂, F₂)] com  F₁ = -F₂  ou seja F₁ + F₂ = 0, logo  |F₁| = |F₂|.

Braço do binário é a distância  b  entre as linhas-de-ação das forças (segue ilustração). Eixo do binário é toda reta normal a seu plano.

A soma das forças é nula, mas suas linhas-de-ação são distintas. Por isso elas não formam sistema nulo (ver Sistema nulo): o sistema exerce ação de giro, podendo causar rotação (exemplos: chave-de-roda, volante automotivo, torneira, maçaneta,), ou torcer (exemplo: torcer roupa molhada), ou fletir (exemplo: tábua de andaime).

A ação de giro se um binário é medida por seu momento B, soma dos momentos das forças que o constituem, o pólo sendo C qualquer no plano das forças:

B = M_1C + M_2C

Em relação a C, seja b₁ o braço de F₁, b₂ o braço de F₂.
Fazendo-se  |F_j| = F_j , resulta:

B = b₁.F₁.(-1) + b₂.F₂.(+1) = -b₁.F₁ + b₂.F₁ (aqui substituímos |F₂| por |F₁|)
B = (b₂ - b₁).F₁ = b.F₁

Genèricamente, momento de binário pode-se exprimir na forma   B = b.|F₁|.(±1).

O sinal de B prende-se ao sentido de sua ação-de-giro, conforme vimos em Momento polar de força. O momento B não depende do pólo adotado, é grandeza característica do par-de-forças. Dois pares de forças no mesmo plano se equivalem só e sempre quando tem momentos iguais em valor absoluto e sinal. O termo “binário” representa o par-de-forças, e também seu momento B.
Nota: A equivalência dos binários pode ser justificada pela "transmissibilidade das forças" (ver item adiante).

Operações elementares
Todo sistema de forças (inclusive as que constituem binários) se transforma em sistema equivalente quando nele se efetua qualquer das seguintes operações elementares:

I) Composição: Substituir duas ou mais forças aplicadas a um ponto pela força-soma aplicada ao mesmo ponto; esta é a força resultante daquelas. 
II) Decomposição: Substituir uma força aplicada a um ponto por duas ou mais forças aplicadas ao mesmo ponto e tendo aquela por soma.
III) Incorporação: Acrescentar ao sistema dado um sistema nulo.
IV) Supressão: Eliminar do sistema dado um sistema nulo.

Aplicadas a um sistema S de forças (P_j, F_j), estas operações alteram o sistema de variados modos, mas não influem nem na força resultante (P, F), nem no momento resultante M_C do sistema (com pólo C fixado arbitrariamente).

Dois sistemas de forças se equivalem, só e sempre, se um deles se transformar no outro mediante operações elementares. Para isto, é necessário e suficiente que eles possuam força-soma F igual e momento resultante M_C igual.

No corpo ao qual se aplica um sistema de forças S1, ou seu equivalente S2 , a equivalência vale quanto à participação para o equilíbrio (Estática) ou para as acelerações linear e angular (Dinâmica). Todavia, a equivalência não vale quanto às tensões geradas no corpo considerado.

Exemplo (a): Fio leve e tenso. A transmissibilidade assegura a equivalência de (B, F) e (C, F). Com (C, F) está tenso o segmento de fio AC, e ao passo que com (B, F) o segmento BC está livre de tensão.
Exemplo (b): Barra leve e horizontal AB                         (forças em newton ). Os sistemas (b1) e (b2) são equivalentes, mas em (b1) a barra sofre flexão, em (b2) só compressão nas extremidades A e B.

Segue Parte 2 - Aplicações

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