Redução de forças
(Parte 2)

Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
leo@feiradeciencias.com.br
leobarretos@uol.com.br

Aplicações
1- Transmissibilidade das forças
Em um sólido S agem forças diversas; seja (A, F) uma delas. Na linha de ação desta, seja B um ponto qualquer no mesmo sólido.
Aplicando-se a Operação Elementar III (OE-III), incorporemos o sistema nulo das forças (B, F) e (B, -F).

Conforme o item Sistema Nulo, (A, F) e (B, -F) formam par nulo, que pode ser suprimido conforme OE-IV. Assim tem-se, ao invés de (A, F), a força equivalente (B, F).
Em outras palavras, força é vetor deslizante no sólido.
Nos sistemas da ilustração que acompanha o item Sistema Binário, a equivalência se demonstra pela transmissibilidade de forças.

2- Rotação de binário
Dado o binário da ilustração (a), tracemos a circunferência de diâmetro AB; ilustração (b). Tracemos o novo diâmetro CD qualquer; ilustração (b). Em C e D apliquemos os pares nulos representados.

F em B e uma das F em C, convergem em E e ai compõem a resultante F'; ilustração (c).
F em A e uma das F em D, convergem em H e ai compõem a resultante F´; ilustração (c).
As duas F´, uma em E e a outra em H, formam par nulo. Suprimidas conforme OE-IV, resta o binário das forças F no braço CD.

Conclusão: O binário de braço AB equivale ao binário de braço CD. Girando-se um binário em seu plano, surge binário equivalente.

3- Translação de binário
1- Segundo as linhas-de-ação: Basta construir o segmento A´B´ paralelo a AB, com A´ e B´ sobre as correspondentes linhas-de-ação. Transfere-se F de A para A´; transfere-se F de B para B´. O novo par F, agora em A´, B´, gera binário equivalente em consequência da transmissibilidade.

2- Segundo o braço: Em (a) damos o binário. Em (b), na reta suporte do braço AB, façamos CD = AB = b. Em C e D apliquemos os pares nulos representados por F↑ e F↓.  Seja E o ponto médio de BC; ele será também o ponto médio de AD.

Por intuitivo, admitimos que F em B e F↑ em C constituem binário resultante nulo em relação a E e podemos suprimir o par (B, F) e (C, F↑); do mesmo modo e pelo mesmo motivo podemos suprimir (A, F) e (D, F↓). resta o binário formado pelo par (C, F) e (D, F↑), que é equivalente ao binário dado em (a).

Mediante translações em seu plano, uma na direção das forças e outra na direção do braço, realiza-se translação qualquer, no mesmo plano.

Em suma: Por rotação e/ou translação em seu plano, um binário se transforma em outro que lhe é equivalente.

4- Composição de forças paralelas
As figuras ilustram:

a) É dado um sistema de duas forças paralelas (A, F₁) e (B, F₂).
b) Incorporar o par nulo das forças f.
c) Compor as forças em A; idem em B.
d) As forças F´₁ e F´₂ concorrem em E.
e) Em E, decompor F´₁ e F´₂  segundo as direções originais.
f) Em E, as f formam par nulo; suprimem-se.
g) F₁ e F₂ geram a resultante F = F₁ + F₂  que se transmite para C.

Conclusão: O sistema dado das forças (A,F₁) e (B,F₂) equivale à força resultante (C,F), com F = F₁ + F₂ conforme os esquemas acima.

Semelhança de triângulos conduz à lei que determina C por cálculo :

CA/CE = f/F₁ ;  CB/CE = f/F₂ ... donde   CA/CB = F₂/F₁     ... (1)

O ponto C divide AB na razão inversa dos módulos F₁ e F₂.

Nota 1: Verificação da validade do Teorema de Varignon para a conclusão acima:
Da proporção (1) vem: CA.F₁ = CB.F₂   ou   -CA.F₁ + CB.F₂ = 0    ... (2)
Com D sobre AB, vale : CD.F₁ + CD.F₂ = CD.F  ... (3)

Somando as igualdades (2) e (3), vem: (CD-CA).F₁ + (CB+CD).F₂ = CD.F  ou  AD.F₁ + BD.F₂ = CD.F ... (4)

Com pólo em D, é pois: M(A,F₁) + M(B,F₂) = M(C,F)   <== re-encontramos o Teorema de Varignon!

Nota 2: Fica, como exercício proposto, refazer as demonstrações acima para o caso de forças paralelas (A, F₁) e (B, F₂) de sentidos opostos, com F₁ ≠ F₂.
             Se, com forças opostas, for F₁ = F₂, o sistema é binário, e resultará F´₁ = F´₂ paralelas e opostas: novo binário, equivalente ao primeiro.
              Conclusão: Binário é sistema irredutível!

Os entes primários da Estática são FORÇAS e BINÁRIOS.

5- Binários equivalentes com braços desiguais
No esquema representam-se dois binários no mesmo plano. Demonstrar que eles se equivalem se for  b₁.F₁ = b₂.F₂; ou seja, B₁ = B₂ .

Em C e D apliquemos os pares nulos representados.

F₁↓ em A e F₂ ↓ em D equivalem a (F₁ + F₂)↓ em E, sendo  AE.F₁ = DE.F₂ ,portanto, (b₁+ BE).F₁ = (b₂+ CE.F₂), o que nos leva a: BE.F₁ = CE.F₂ e também a: BE = CE.(F₂/F₁).
Da figura: BE + CE = BC, portanto, CE.(F₂/F₁) + CE = BC ou ainda  CE.(F₂/F₁ + 1) = BC, donde:
CE = BC/[F₂/F₁ + 1] ... (1)
F₁↑ em B e F₂↑  em C equivalem a  (F₁ + F₂)↑  em H, sendo BH.F₁ = CH.F₂ . Repetindo-se o raciocínio anterior e retirando-se da figura: BH + CH = BC, chega-se à:
CH = BC/[F₂/F₁ + 1] ... (2)

De (1) e (2) conclui-se  CE = CH, logo  E ≡ H . (F₁ + F₂)↓ em E  e  (F₁ + F₂)↑  em H, formam par nulo. Persiste o binário F₂ ↓ em C e F₂↑  em D.
O binário   b₁.F₁ = B₁   foi transformado no binário equivalente   b₂.F₂ = B₂  .

Nota
Binário também é chamado torque, sugerindo torção e/ou rotação do corpo ao qual ele é aplicado.

Torque e trabalho são entidades com significado físico distintos. Torque é (braço) x (força). Trabalho é (força) x (deslocamento).
No Sistema Internacional de Unidades, SI, medem-se braço e deslocamento em metros (símbolo m), força em newtons (símbolo N).
A unidade de torque é (metro) x (newton) = m.N, torque exercido com braço de 1 m por força de intensidade 1 N. Não há outra denominação específica para a unidade m.N.
Formalmente, também a unidade de trabalho é m.N, trabalho da força de intensidade 1 N em deslocamento de 1 m na mesma direção e no mesmo sentido. Para distingui-la, a unidade de trabalho é chamada Joule (símbolo J): 1 m.N = 1 J.

No Sistema Técnico Britânico (que não é oficializado no Brasil e, portanto, deve ser evitado) a unidade de torque é   pé.lbf   (pé.libra-força = ft.Lb = foot.pound-weight).

Dão-se:  1 pé = 1 ft = 1 foot = 0,3048 m
                1 lb  = 1 pound-mass = 0,4536 kg
                1 Lb = 1 pound-weight = 4,448 N

                   g_n = 9,806 65 m.s^-2 = 32,174 ft.s^-2

Converter  ft.Lb = pé.lbf  para o Sistema Internacional.

                 1 ft.Lb = (0,3048 m).(4,448 N)
                 1 ft.Lb = 1,356 m.N

Cuidado: libra-massa = unidade de massa ==> escreve-se "lb" (l minúsculo)
                 libra-força    = unidade de força    ==> escreve-se "Lb" (L maiúsculo)

Assim, a unidade de pressão P = |F|/A = Lb/in² (leia-se: libra-força por polegada ao quadrado) --- que nada tem a ver com a linguagem popular "libras", por ocasião de ´calibrar´ os pneus.

6- Composição de binários
No plano da figura são dados os binários B₁ e B₂, conforme o esquema (a). Com braço b arbitrário (não nulo) as forças respectivas são F₁ e F₂, conforme o esquema (b): b = B₁/F₁ = B₂/F₂ .  Sobrepondo-se os braços resulta o esquema (c). O binário resultante está no esquema (d), com F = F₁ + F₂ .

Depreende-se o cálculo: B = b.F = b.F₁ + b.F₂ ; donde   B = B₁ + B₂ .
Respeitados os sinais, o binário resultante equivale à soma dos binários componentes.

7- Redução de Força-e-Binário
No plano da figura são dados uma força (C, F) e um binário B, conforme o esquema (a). O binário B equivale ao par-de-forças do esquema (b), com   B = b.F  , donde   b = B/F.
O par-de-forcas é posicionado conforme o esquema (c).

As forças em C constituem par nulo. Persiste a força (P, F) com CP _|_ F  e  b = CP = B/P, esquema (d).

Conclusão: Sistema plano [Força e Binário ] equivale a uma força (P, F), e só.

Alternativa - Com F ≠ 0 vale o Teorema de Varignon.
                     Com pólo C o momento de (C, F) é nulo: O + B (esquema a) = CP.F (esquema d)

donde:         CP = B/F     ... CQD.

Sistema reduzido
Em um plano p seja dado um sistema generico S de forças (P_j, F_j) (inclusive as que formam binários). 0 sistema equivalente mais simples é chamado "sistema reduzido" de S. Se não for sistema nulo (sistema em equilíbrio), ele compreende só a força resultante (P, F) com P e F a serem determinados, ou só o binario B, jamais os dois simultaneamente (ver item anterior - Redução de Força-e-Binário).

Para a redução do sistema proposto S de forças e binarios em um plano procede-se sistematicamente como segue:

I) Deterninar a força-soma F = S F_j .
II) Em relação a pólo C fixado arbitrariamente no plano p calcula-se para o sistema o momento

M_C = S M_jC = S b_j.F_j

Apresentam-se os seguintes casos:

Fim ... Eventualmente seguiremos com forças no espaço tri-dimensional.