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Prensa, pressão e paradoxo

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

(revisado em 10/08/2011)

 

PRENSA HIDRÁULICA
Apesar de ser uma máquina bastante antiga, a prensa hidráulica não perdeu, até nossos dias, nada do seu valor. Vejamos como ela é, acompanhando pela ilustração a seguir. 

Dois pistões, um grande e outro pequeno, deslocam-se dentro de cilindros (1 e 2) num recipiente hermético cheio de água.  Quando se aperta um deles (2), alguma coisa é transmitida ao outro (1), uma vez que este se eleva. Com isto, um certo volume de água (ou óleo) passará do cilindro (2) para o cilindro (1).  

Se indicarmos as áreas das superfícies dos pistões por A1 e A2 e os deslocamentos relativos que eles sofrem por d1 e d2, a igualdade dos volumes de líquido que sai de um e entra no outro (cálculo do volume de um cilindro = área da base x altura) permite-nos escrever:

  V1 = V2     ou     A1.d1 = A2.d2 

ou  ainda 

d1/d2 = A2/A1               (a)

Como já sabemos boas coisas sobre a Estática (lembra-se da máquinas simples?), pretendemos saber qual a condição de equilíbrio dos pistões.

Nada mais simples: basta considerar que o trabalho da força aplicada pelo operador (t2 = F2.d2) deve ser igual ao trabalho da força aplicada pela carga (t1 = F1.d1). Tem-se, portanto,

t1 = t2      ou     F1.d1 = F2.d2

ou ainda

d1/d2 = F2/F1                   (b)

Comparando as igualdades (a) e (b) vemos que:  

F2/F1 = A2/A1                    (c)  

Esta modesta equação abre possibilidades consideráveis: o pistão menor, sobre o qual o operador aplica a sua força, pode ter uma área centenas e mesmo milhares de vezes menor que a do pistão maior ¾ e a equação acima nos garante que a força que atua sobre este último será superior ao esforço muscular na mesma proporção. A prensa hidráulica multiplica a força do operador.

Uma prensa hidráulica permite forjar e estampar metais, esmagar uvas, elevar fardos, etc. O sistema de freios de um automóvel é aplicação direta da técnica da prensa hidráulica.

Claro que o ganho em força será acompanhado por uma perda em deslocamento. Para comprimir um objeto na extensão de 1 cm é preciso que a mão faça um trajeto que será tanto maior quanto maior for a relação entre as forças F1 e F2.

A equação (c) pode ser escrita assim:

  F1/A1 = F2/A2

Esta relação F/A, entre a força e a área sobre a qual ela atua, é denominada pelos físicos por pressão.  Em lugar de se dizer: uma força de 1 kgf atua perpendicularmente sobre uma área de um centímetro quadrado, é preferível dizer: a pressão é  p = 1 kgf/cm2.
Adotando-se esta nomenclatura, a expressão acima (F1/A1 = F2/A2) pode ser escrita assim:

p1  = p2

Portanto, as pressões exercidas sobre os dois pistões são iguais.

Esta conclusão não depende das suas posições.  Mantém-se quer a superfície de trabalho seja horizontal quer vertical ou inclinada. E, em geral, não se trata apenas de pistões: escolhendo ao acaso duas secções de uma superfície no interior de um líquido em equilíbrio pode-se sempre afirmar que as pressões sobre elas são idênticas.

Prova-se assim que a pressão no interior de um líquido é a mesma em todos os seus pontos e em todas as direções. Ou seja, sobre uma superfície de determinada área no interior de um líquido exerce-se a mesma força, independentemente da sua posição e da sua orientação. É o Princípio de Pascal.

Pressão hidrostática
O princípio de Pascal (válido para líquidos e gases), não leva em consideração um dado muito importante: o peso.
Nas condições terrestres, entretanto, não poderíamos esquecê-lo. A água também tem peso. Compreende-se, portanto, que duas superfícies situadas a profundidades diferentes estarão submetidas a pressões diferentes. Qual é esta diferença?

Imaginemos no interior de um líquido, um cilindro (de água --- estratificado para efeito de raciocínio) reto de bases horizontais. A água assim delimitada exerce uma pressão sobre a água que a rodeia e esta, por sua vez, exerce uma pressão sobre o cilindro imaginário.
A força total, devido a esta pressão, é igual ao peso (P = mg) do volume cilíndrico. Ela é uma resultante, composta pelas forças que agem sobre as bases do cilindro e sobre a sua superfície lateral. Ora, as forças que atuam de um e outro lado são iguais e de sentidos opostos
¾ elas se compensam. 

A soma de todas as forças que atuam sobre a superfície lateral é, pois, nula. O peso P = mg será igual à diferença das forças F2 - F1.   

F2 - F1 = P = mg

 Se indicarmos por h a altura do cilindro, A a área da base e d a densidade do líquido, poderemos substituir mg por dghA (onde hA é o volume do cilindro e dhA é a massa de água nele contida), e teremos:

F2 - F1  =  dghA

Para se obter a diferença de pressão entre as duas bases do cilindro, dividimos ambos os termos da expressão acima por A (ou, em outras palavras, divide-se o peso da coluna de água pela área de sua base), assim:  

(F2 - F1)/A = (dghA)/A     ou      p2 - p1 =   dgh

De acordo com o princípio de Pascal, a pressão exercida sobre iguais superfícies (quaisquer que sejam suas orientações), desde que se encontrem à mesma profundidade é a mesma.  A diferença de pressão entre dois pontos distanciados (desnivelados) de uma altura h será, portanto, igual ao peso de uma coluna de líquido de secção unitária e de altura h, ou seja: Dp = dgh .

A pressão que o ar exerce, devido a seu peso, sobre os pontos da superfície da Terra é denominada pressão atmosférica. A superfície de todos os líquidos expostos ao ar está sujeita à esta pressão.
A pressão que a água exerce devido ao seu peso é denominada pressão hidrostática.
Portanto, a pressão no interior de um líquido exposto ao ar, será sempre a soma das pressões atmosférica e hidrostática. É a denominada pressão total.

ptotal = patm + phid

Para calcular a pressão exercida pela água basta, portanto, conhecer as dimensões da superfície (sua área) banhada e a altura da coluna. O resto, nos termos do princípio de Pascal, não desempenha qualquer papel.

Onde estão os 9N!
Curiosa e oportuna questão
coloco abaixo:
Observe a ilustração e suponha para os êmbolos as áreas de 10 cm2 e 1 cm2. Aplicando-se no êmbolo maior a força de intensidade 10 N, já sabemos que deveremos aplicar, no menor, apenas 1 N, conforme desenvolvido acima. 
A questão é: se no sistema estamos aplicando 10 N de um lado e apenas 1 N do outro, onde estão os 9 N que faltam para garantir o equilíbrio?

A resposta está no conceito de máquina simples, que é o caso da prensa hidráulica. Nenhuma máquina pode trabalhar sem o devido apoio; o fulcro nas alavancas, o eixo nas polias e rodas, etc. Para que o líquido permaneça em equilíbrio, o recipiente (cilindros) fixo ao solo garante os restantes 9 N que faltam. Em suma, a parede interna, onde se localiza o cilindro menor, incumbe-se de aplicar no líquido a força de 9 N em questão, proveniente do apoio que sustenta esse recipiente.
Observe, portanto, que na ilustração acima falta algo muito importante: o apoio do recipiente! 
Veja a seguir a situação devidamente complementada, onde dispensamos as representações das forças verticais (pesos, forças normais): o apoio aplica no sistema os 9 N (da direita para a esquerda) e o sistema aplica no apoio uma força de 9 N (da direita para a esquerda). Ação e reação.

Paradoxo hidrostático
Vejamos uma coisa que pode parecer estranha.  As forças que atuam sobre os fundos de igual área dos dois recipientes da ilustração a seguir, serão verdadeiramente de mesmas intensidades?

  Note, para começar, que o vaso da esquerda contém muito mais água.  E, apesar de tudo, as forças que os líquidos aplicam sobre esses fundos são ambas iguais a dghA nos dois casos. É mais que o peso da água contida no vaso da direita e menos que o peso da água existente no da esquerda. Estranho não? Expliquemos: no primeiro caso as paredes inclinadas suportam o peso excedente e no segundo, pelo contrário, elas adicionam ao peso da água as forças de reação. O curioso fenômeno é denominado paradoxo hidrostático.  

Comentários finais
Se unirmos por um tubo dois vasos de formas diferentes, mas nos quais a água esteja ao mesmo nível, não se estabelecerá corrente alguma em qualquer dos sentidos. O escoamento só poderá ocorrer se as pressões nos dois vasos forem diferentes. Em qualquer outra circunstância, o líquido conserva sempre o mesmo nível nos vasos comunicantes, independentemente da forma destes.
Pelo contrário, se houver diferenças de níveis, a água escoará até que os níveis fiquem iguais.

A pressão exercida pela água é muito superior à do ar. À profundidade de 10 metros ela adiciona à pressão atmosférica um valor complementar de 1 kgf por cm2. A um quilômetro de profundidade será de 100 kgf por cm2..

Em certos locais onde a profundidade do oceano ultrapassa 10 km a pressão é excepcionalmente grande.  Pedaços de madeira colocados a uma profundidade de 5 km são comprimidos a tal ponto que, colocados a seguir num recipiente com água (na superfície da Terra), afundam como tijolos. Esta enorme pressão prejudica muito o estudo da vida submarina. Para mergulhar a grandes profundidades utilizam-se esferas de aço denominadas batisferas ou batiscafos capazes de suportar pressões superiores a l tonelada-força por cm2.
Os submarinos não podem ultrapassar uma profundidade de cerca de 200 m.

Encontramos todos os dias pressões consideráveis exercendo-se sobre pequenas superfícies. Vejamos, por exemplo, a pressão que se estabelece sobre a ponta de uma agulha.  Suponhamos que a área da ponta de uma agulha ou de um prego seja algo como 0,0001 cm2. Se aplicarmos somente uma força de 10 quilogramas-força a ponta do prego irá exercer uma pressão de 100 000 atmosferas. Compreende-se assim porque é que os objetos pontiagudos penetram tão facilmente nos corpos densos.

Este exemplo mostra que a criação de grandes pressões sobre pequenas superfícies é algo muito corrente.  Isso já não acontece quando se trata de criar altas pressões em superfícies consideráveis. Nos laboratórios estas altas pressões obtêm-se recorrendo a máquinas poderosas, a prensas hidráulicas, por exemplo.  A força da prensa, como vimos, é transmitida a um pistão de pequena área que penetra no recipiente no interior do qual se pretende criar uma pressão elevada. Deste modo, obtêm-se com facilidade pressões de vários milhares de atmosferas. Se quisermos obter pressões extra elevadas, as coisas complicam. Isso se deve á limitada resistência do material de que é feito o recipiente.
Entretanto, a natureza facilitou as coisas. Verificou-se que, a pressões da ordem de 20 000 atmosferas, os metais se tornam consideravelmente mais resistentes. Mergulha-se, pois, a máquina da qual se pretende pressões extra-elevadas num líquido, submetido ele próprio a uma pressão da ordem de 30 000 atmosferas. Consegue-se assim criar no recipiente interior (sempre com o auxílio de um pistão) pressões de várias centenas de milhares de atmosferas. O recorde, 400 000 atmosferas, pertenceu durante bom tempo, ao físico americano Bridgman.

O interesse que se tem na obtenção de pressões extra-elevadas nada tem de gratuito. Com efeito, elas dão lugar a fenômenos que é impossível desencadear de outro modo. Foi em 1955 que se obtiveram os primeiros diamantes artificiais. O seu fabrico precisa de pressões da ordem de 100 000 atmosferas e de uma temperatura de 2300oC.
Pressões que podem atingir 300 000 atmosferas e repartidas sobre grandes superfícies acompanham a detonação de explosivos sólidos ou líquidos como a nitroglicerina e o trinitrotolueno (TNT). A explosão de uma bomba atômica dá origem a pressões mais elevadas, atingindo 1013 atmosferas.
Notemos que as pressões que resultam de uma explosão têm uma duração muito curta e que praticamente as altas pressões permanentes só existem no interior dos corpos celestes e, bem entendido, no interior da Terra.
No centro do globo terrestre a pressão é de cerca de 3 milhões de atmosferas.



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