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Hidrodinâmica

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Será conveniente, no que se segue, distinguir duas espécies de escoamentos:

1. O escoamento em que predominam forças de atrito ou movimento laminar. É característico do escoamento laminar, o movimento do líquido em camadas ou estratos. Neste tipo de escoamento pode existir circulação, mas não há formação de turbilhões ou vórtices.

2. O escoamento turbilhonar. Este escoamento aparece quando a velocidade ultrapassa um valor crítico Vk. O aspecto do escoamento, no caso da turbulência, é caracterizado pela formação de vórtices e pela mistura das camadas fluidas. A velocidade crítica Vk, na qual o escoamento laminar passa a turbulento, depende do fluido e da geometria das superfícies que o limitam (paredes dos condutos). Vk pode ser facilmente determinada mediante experimentos.

Dinâmica dos líquidos ideais
Consideraremos, agora, as leis do movimento de um líquido ideal. Este líquido deve ser incompressível e sem atrito interno. Em. muitos casos, os fenômenos de escoamento dos fluidos reais (líquidos ou gases) são muito semelhantes aos de um líquido ideal. As leis do escoamento de um tal líquido foram pela primeira vez tratadas teoricamente por Daniel Bernoulli e por Euler.

O escoamento de um líquido transparente pode ser observado com o aparelho das linhas de fluxo ou de corrente onde se fazem montagens específicas para tais experimentos. Deitam-se, num. líquido em escoamento, gotas de tinta, orientando-se elas segundo certas linhas, as linhas de fluxo. Num escoamento estacionário a linha de fluxo é a trajetória que percorre uma partícula fluida. A velocidade v desta partícula é sempre tangencial à linha de fluxo.

Consideremos, agora, uma pequena superfície de área S, normal à direção do escoamento, e tracemos de cada ponto de seu contorno a linha de fluxo correspondente: obteremos, assim, um tubo de fluxo.

Duas linhas de fluxo jamais se podem cortar, senão teríamos uma velocidade, no ponto de concurso, segundo duas direções, o que não é possível. Dada a configuração das linhas de fluxo por um diagrama, poderemos, a partir dele, calcular a distribuição das velocidades e das pressões, bem como das forças atuantes.

Equação da continuidade
As partículas do líquido, que pertencem a um filete de fluxo, nunca podem deixar o tubo de fluxo, porque a velocidade v é paralela às linhas de corrente que limitam o tubo (ou filete). Para um líquido incompressível, as quantidades do mesmo que passam pelas diversas secções transversais do tubo de fluxo, na unidade de tempo, devem ser iguais. Ilustremos isso:

Construíndo-se sobre a superfície S um cilindro com a altura v, passará através da superfície S, na unidade de tempo, uma quantidade de líquido justamente igual ao volume do cilindro. Para as duas secções S1 e S2 obtém-se, portanto:

Por meio desta equação pode-se calcular a distribuição das velocidades num tubo de fluxo (por exemplo, num conduto hidráulico).

Onde a secção transversal é grande, a velocidade é pequena, e vice-versa (veja, nessa Sala, a experiência relativa a essa lei).

É conveniente representar-se o escoamento por meio do campo vetorial v, isto é, fazer corresponder a cada ponto P (x, y, z) o vetor velocidade v (x, y, z).

Suponhamos que o líquido tenha a massa específica (ou densidade absoluta) r. Em cada segundo entra no volume elementar DV a quantidade me, de massa líquida, saindo, simultaneamente, a massa ma. O acréscimo (da massa do volume DV) me — ma = Dm, calcula-se assim:

Este acréscimo, entretanto, nos líquidos incompressíveis deve ser nulo, obtendo-se, por isto (r ¹ 0 e DV ¹ 0):

A dedução da expressão de Dm pode ser obtida pela observação da figura acima , onde se efetuou o cálculo apenas do componente segundo x:

(me)x = r.S.vx     e    (ma)x = r.S.(vx + dvx)
(
Dm)x = - r.S.dvx = - r.S.(dvx/dx).Dx = - r.DV(dvx/dx)

Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é um corolário da lei de Newton. Nos líquidos sem atrito, uma força que age sobre uma superfície é sempre normal à dita superfície. Nos líquidos com atrito interno aparecem, durante o escoamento, tensões de cisalhamento, de modo que a força que age sobre uma superfície (considerada no seio da massa líquida) não lhe é mais perpendicular. A não-presença de tensões de cisalhamento pode ser utilizada como definição dos líquidos sem atrito.

Para deduzirmos a equação de Bernoulli, procederemos da maneira seguinte:

Dado um tubo de fluxo delgado (filete líquido), limitaremos entre duas secções transversais S1 e S2 um certo volume dV do líquido (ilustração abaixo). A posição (localização) desse volume será dada pelo espaço s sobre a trajetória, ao longo da linha de fluxo QoQ (pontilhada no desenho). A velocidade v e a pressão em Q são funções da posição s: v = v(s), p = p(s).

Suporemos, também que o líquido está num campo de gravidade uniforme g. Então atuará sobre o líquido contido no volume dV, o peso dP. Introduziremos, por isso, ainda um eixo vertical de coordenadas z. Como já está dada a linha de fluxo, será também z função de s: z = z(s).

Sobre o volume de líquido dV, entre as duas secções S1 e S2 e atuam, então, as seguintes forças:

1 — Aquela proveniente da pressão p(s) no ponto Q; que indicaremos por p(s);
2 — Aquela proveniente da pressão p(s+ds) no ponto Q’; que indicaremos como:
 
3 — O peso dP. Interessa-nos somente o componente de dP na direção da tangente. Ela vale:
 

Valerá, então, para o componente da força total sobre dV, tomada na direção do movimento (tangente, portanto, à linha de fluxo Qo Q):

que é a equação de Newton, aplicada ao volume líquido dV.

Designemos, ainda, por r a densidade absoluta do líquido e recordemos que: dV = S.ds, de modo que a equação de Newton adquire, ao longo de uma linha de fluxo, o seguinte aspecto:

Essa equação é conhecida como equação de Bernoulli
A grandeza p é denominada pressão estática, a grandeza (
r/2).v2 é a pressão dinâmica (ou cinética) e a grandeza r.g.z é a pressão por gravidade, (ou de posição).

Para escoamento horizontal, z = const. Então se reduz a equação de Bernoulli a:

p + (r/2).v2 = const.  ... ao longo de uma linha de fluxo.

Aplicações da equação de Bernoulli

1 — Tubo de Venturi

De acordo com a equação da continuidade, ter-se-á  v1/v2 = S2/S1. De acordo com Bernoulli, verifica-se também (no caso de z = const), logo: 

p1 + (r/2).v12 = p2 + (r/2).v22 

Na região estreita, a velocidade v é maior, sendo, portanto, menor a pressão p. 

Nisto se baseia a construção da bomba a jato d'água (trompa), como a ilustrada abaixo:

Seja, em particular, p2 menor que a pressão barométrica po, de modo que o líquido é impulsionado para cima, mesmo se p1 for maior que po. Pode-se, também, pôr a secção transversal S2 em comunicação com um recipiente, no qual se deseja obter o vácuo. O conteúdo fluido desse recipiente escoa, então, para o trecho onde reina a pequena pressão p2, até que a pressão, no interior do recipiente considerado, se iguale a p2. De acordo com Bernoulli, será:

Com o aumento de v1, poder-se-ia conseguir que p2 e, portanto, também a pressão no recipiente, se anulasse ou mesmo se tornasse negativa (sucção, p2 < po). Por causa da vaporização da água, nunca se chega, entretanto, a uma pressão inferior à que corresponde à tensão de vapor d'água à temperatura ambiente. A 20oC essa tensão vale 17,5 mmHg. 

Para obter-se um vácuo ainda melhor usa-se a bomba a jato de vapor de mercúrio ou a bomba de vapor de óleo, que operam segundo o mesmo princípio da bomba a jato d'água. Em lugar do jato d'água, usa-se neste caso, um jato de vapor de mercúrio ou de óleo.
Como o Hg e o óleo possuem tensões de vapor menores que a da água (10-3 a 10-6 mmHg), obtém-se, com essas bombas, um vácuo efetivamente melhor.

2 — Tubo de Pitot

O tubo de Pitot serve para as medidas da velocidade, por exemplo, de aviões. 

No ponto 1 reina a velocidade v = 0 (ponto em que é barrado o fluido). A este ponto corresponde uma pressão p = p1.

No ponto 2 reina a velocidade v2, que é aproximadamente igual à velocidade do líquido (ou ar) no espaço exterior. A esta velocidade corresponde a pressão p = p2. Segundo Bernoulli será:

A medida da velocidade pode, portanto, ser reduzida à medida de uma pressão. A diferença de pressão (p1 - p2) é medida no dispositivo manométrico, por meio da diferença de altura H das colunas líquidas. Designando-se por rgás a densidade do gás em movimento e por rlíq.  a densidade do líquido manométrico, será:

3 — Escoamento sob a influência de uma sobrepressão

Para o dispositivo representado a seguir, vale, segundo Bernoulli:

p1 + (r/2).v12 = p2 + (r/2).v22 

Se a abertura do orifício for pequena, em relação à seção do conduto, será então, como se deduz da equação da continuidade, v1 pequena, de maneira que poderemos em primeira aproximação considerá-la nula. Decorre, então, para a velocidade de saída:

É característico neste resultado ser a velocidade v2 diretamente proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão e inversamente à raiz quadrada da densidade absoluta do líquido.

4 — Escoamento sob a influência da gravidade

Para o ponto 1 vale: z = z1; v = v1; p = p1 = po = pressão barométrica.
Para o ponto 2 vale: z = z2 = z1 - h;  v = v2 ; p = p2 = po = pressão barométrica.

Segundo a equação da continuidade será: v1 / v2 = S2 / S1 .
Se, porém, S1 é muito maior que S2, podemos considerar nula v1, sendo então p1 igual a p2. A equação de Bernoulli reduz-se
agora a: (r/2).v22 = r.g.(z1 - z2)

Decorre portanto, para a velocidade v2:
                                                                      

O líquido tem no escoamento a mesma velocidade que atingiria em queda livre da altura h (Princípio da Energia).

5 — Empuxo

Para o caso de velocidades muito pequenas, a equação de Bernoulli transforma-se na equação fundamental da hidrostática. Ela se reduz a:

p2 - p1 = r.g.(z1 - z2) = r.g.h

O empuxo E que sofre um corpo mergulhado num fluido de densidade r obtém-se como a resultante de todas as forças (de pressão) elementares. Acha-se, pois, para o empuxo a expressão:

E = r.g.Vliq.deslocado

onde Vlíq.desl. representa o volume do fluido deslocado pelo corpo. O ponto de aplicação do empuxo é o centro de gravidade do volume anteriormente ocupado pelo fluido deslocado, e não o centro de gravidade do corpo mergulhado. Somente para corpos homogêneos coincidem esses dois pontos. O empuxo E pode ser utilizado para a avaliação cômoda da densidade r de gases, líquidos e sólidos.

 


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