Hidrodinâmica
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Introdução
Será conveniente, no que se segue,
distinguir duas espécies de escoamentos:
1.
O escoamento em que predominam forças de atrito ou movimento
laminar. É característico do escoamento laminar, o movimento do líquido
em camadas ou estratos. Neste tipo de escoamento pode existir circulação,
mas não há formação de turbilhões ou vórtices.
2.
O escoamento turbilhonar. Este escoamento
aparece quando a velocidade ultrapassa um valor crítico Vk. O
aspecto do escoamento, no caso da turbulência, é caracterizado pela
formação de vórtices e pela mistura das camadas fluidas. A velocidade
crítica Vk, na qual o escoamento laminar passa a turbulento,
depende do fluido e da geometria das superfícies que o limitam (paredes
dos condutos). Vk pode ser facilmente determinada mediante
experimentos.
Dinâmica
dos líquidos ideais
Consideraremos, agora, as leis do movimento de um líquido ideal. Este líquido
deve ser incompressível e sem
atrito interno. Em. muitos casos, os fenômenos de escoamento dos
fluidos reais (líquidos ou gases) são muito semelhantes aos de um líquido
ideal. As leis do escoamento de um tal líquido foram pela primeira vez
tratadas teoricamente por Daniel Bernoulli
e por Euler.
O
escoamento de um líquido transparente pode ser observado com o aparelho
das linhas de fluxo ou de corrente onde se fazem montagens específicas
para tais experimentos. Deitam-se, num. líquido em escoamento, gotas de
tinta, orientando-se elas segundo certas linhas, as linhas de fluxo. Num
escoamento estacionário a linha de fluxo é a trajetória que percorre
uma partícula fluida. A velocidade v desta partícula é sempre
tangencial à linha de fluxo.
Consideremos,
agora, uma pequena superfície de área S, normal à direção do
escoamento, e tracemos de cada ponto de seu contorno a linha de fluxo
correspondente: obteremos, assim, um tubo de fluxo.
Duas
linhas de fluxo jamais se podem cortar, senão teríamos uma velocidade,
no ponto de concurso, segundo duas direções, o que não é possível.
Dada a configuração das linhas de fluxo por um diagrama, poderemos, a
partir dele, calcular a distribuição das velocidades e das pressões,
bem como das forças atuantes.
Equação
da continuidade
As partículas do líquido, que pertencem a
um filete de fluxo, nunca podem deixar o tubo de fluxo, porque a
velocidade v é paralela às linhas de corrente que limitam o tubo
(ou filete). Para um líquido incompressível, as quantidades do mesmo que
passam pelas diversas secções transversais do tubo de fluxo, na unidade
de tempo, devem ser iguais. Ilustremos isso:
Construíndo-se
sobre a superfície S um cilindro com a altura v, passará através
da superfície S, na unidade de tempo, uma quantidade de líquido
justamente igual ao volume do cilindro. Para as duas secções S1 e S2 obtém-se,
portanto:
Por
meio desta equação pode-se calcular a distribuição das velocidades num
tubo de fluxo (por exemplo, num conduto hidráulico).
Onde
a secção transversal é grande, a velocidade é pequena, e vice-versa
(veja, nessa Sala, a experiência relativa a essa lei).
É
conveniente representar-se o escoamento por meio do campo vetorial v,
isto é, fazer corresponder a cada ponto P (x, y, z) o vetor velocidade v
(x, y, z).
Suponhamos
que o líquido tenha a massa específica (ou densidade absoluta) r.
Em cada segundo entra no volume elementar DV
a quantidade me, de massa líquida, saindo, simultaneamente, a
massa ma. O acréscimo (da massa do volume DV)
me — ma = Dm,
calcula-se assim:
Este
acréscimo, entretanto, nos líquidos incompressíveis deve ser nulo,
obtendo-se, por isto (r ¹ 0 e
DV ¹
0):
A
dedução da expressão de Dm
pode ser obtida pela observação da figura acima , onde se efetuou o cálculo
apenas do componente segundo x:
(me)x = r.S.vx
e (ma)x = r.S.(vx
+ dvx)
(Dm)x = - r.S.dvx
= - r.S.(dvx/dx).Dx
= - r.DV(dvx/dx)
Equação
de Bernoulli
A equação de Bernoulli é um corolário da
lei de Newton. Nos líquidos sem atrito, uma força que age sobre uma
superfície é sempre normal à dita superfície. Nos líquidos com atrito
interno aparecem, durante o escoamento, tensões de cisalhamento, de modo
que a força que age sobre uma superfície (considerada no seio da massa líquida)
não lhe é mais perpendicular. A não-presença de tensões de
cisalhamento pode ser utilizada como definição dos líquidos sem atrito.
Para
deduzirmos a equação de Bernoulli, procederemos da maneira seguinte:
Dado
um tubo de fluxo delgado (filete líquido), limitaremos entre duas secções
transversais S1 e S2 um certo volume dV do líquido
(ilustração abaixo). A posição (localização) desse volume será dada
pelo espaço s sobre a trajetória, ao longo da linha de fluxo QoQ
(pontilhada no desenho). A velocidade v e a pressão em Q são funções
da posição s: v = v(s), p = p(s).
Suporemos,
também que o líquido está num campo de gravidade uniforme g. Então
atuará sobre o líquido contido no volume dV, o peso dP. Introduziremos,
por isso, ainda um eixo vertical de coordenadas z.
Como já está dada a linha de fluxo, será também z função de s: z = z(s).
Sobre
o volume de líquido dV, entre as duas secções S1 e S2
e atuam, então, as seguintes forças:
1
— Aquela proveniente da pressão p(s) no ponto Q; que
indicaremos por p(s);
2 — Aquela proveniente da pressão p(s+ds) no ponto Q’;
que indicaremos como:
3 — O peso dP. Interessa-nos somente o componente de dP na direção da
tangente. Ela vale:
Valerá,
então, para o componente da força total sobre dV, tomada na direção do
movimento (tangente, portanto, à linha de fluxo Qo Q):
que
é a equação de Newton, aplicada ao volume líquido dV.
Designemos,
ainda, por r a
densidade absoluta do líquido e recordemos que: dV = S.ds, de modo que a
equação de Newton adquire, ao longo de uma linha de fluxo, o seguinte
aspecto:
Essa
equação é conhecida como equação de
Bernoulli.
A grandeza p é denominada pressão
estática, a grandeza (r/2).v2
é a pressão dinâmica (ou cinética) e a
grandeza r.g.z
é a pressão por gravidade, (ou de
posição).
Para
escoamento horizontal, z = const. Então se
reduz a equação de Bernoulli a:
p + (r/2).v2
= const. ... ao longo de uma linha de fluxo.
Aplicações
da equação de Bernoulli
1
— Tubo de Venturi
De
acordo com a equação da continuidade, ter-se-á v1/v2
= S2/S1. De acordo com
Bernoulli, verifica-se também (no caso de z = const), logo:
p1 +
(r/2).v12
= p2 + (r/2).v22
Na
região estreita, a velocidade v é maior,
sendo, portanto, menor a pressão p.
Nisto
se baseia a construção da bomba a jato d'água (trompa), como a
ilustrada abaixo:
Seja,
em particular, p2 menor que a pressão barométrica po,
de modo que o líquido é impulsionado para cima, mesmo se p1
for maior que po. Pode-se, também, pôr a secção transversal
S2 em comunicação com um recipiente, no qual se deseja obter
o vácuo. O conteúdo fluido desse recipiente escoa, então, para o trecho
onde reina a pequena pressão p2, até que a pressão, no
interior do recipiente considerado, se iguale a p2. De acordo
com Bernoulli, será:
Com
o aumento de v1, poder-se-ia conseguir que p2 e,
portanto, também a pressão no recipiente, se anulasse ou mesmo se
tornasse negativa (sucção, p2 < po). Por causa
da vaporização da água, nunca se chega, entretanto, a uma pressão
inferior à que corresponde à tensão de vapor d'água à temperatura
ambiente. A 20oC essa tensão vale 17,5 mmHg.
Para
obter-se um vácuo ainda melhor usa-se a bomba a jato de vapor de mercúrio
ou a bomba de vapor de óleo, que operam segundo o mesmo princípio da
bomba a jato d'água. Em lugar do jato d'água, usa-se neste caso, um jato
de vapor de mercúrio ou de óleo.
Como o Hg e o óleo possuem tensões de vapor menores que a da água (10-3
a 10-6 mmHg), obtém-se, com essas bombas, um vácuo
efetivamente melhor.
2
— Tubo de Pitot
O
tubo de Pitot serve para as medidas da velocidade, por exemplo, de aviões.
No
ponto 1 reina a velocidade v = 0 (ponto em que é barrado o fluido). A
este ponto corresponde uma pressão p = p1.
No
ponto 2 reina a velocidade v2, que é aproximadamente igual à
velocidade do líquido (ou ar) no espaço exterior. A esta velocidade
corresponde a pressão p = p2. Segundo Bernoulli será:
A
medida da velocidade pode, portanto, ser reduzida à medida de uma pressão.
A diferença de pressão (p1 - p2) é medida no
dispositivo manométrico, por meio da diferença de altura H das colunas líquidas.
Designando-se por rgás
a densidade do gás em movimento e por rlíq.
a densidade do líquido manométrico, será:
3
— Escoamento sob a influência de uma
sobrepressão
Para
o dispositivo representado a seguir, vale, segundo Bernoulli:
p1
+ (r/2).v12
= p2 + (r/2).v22
Se
a abertura do orifício for pequena, em relação à seção do conduto,
será então, como se deduz da equação da continuidade, v1
pequena, de maneira que poderemos em primeira aproximação considerá-la
nula. Decorre, então, para a velocidade de saída:
É
característico neste resultado ser a velocidade v2 diretamente
proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão e inversamente à
raiz quadrada da densidade absoluta do líquido.
4
— Escoamento sob a influência da gravidade
Para
o ponto 1 vale: z = z1; v = v1; p = p1 =
po = pressão barométrica.
Para o ponto 2 vale: z = z2 = z1 - h; v = v2
; p = p2 = po = pressão barométrica.
Segundo
a equação da continuidade será: v1 / v2 = S2
/ S1 .
Se, porém, S1 é muito maior que S2, podemos
considerar nula v1, sendo então p1 igual a p2.
A equação de Bernoulli reduz-se agora
a: (r/2).v22
= r.g.(z1
- z2)
Decorre
portanto, para a velocidade v2:
O
líquido tem no escoamento a mesma velocidade que atingiria em queda livre
da altura h (Princípio da Energia).
5
— Empuxo
Para
o caso de velocidades muito pequenas, a equação de Bernoulli
transforma-se na equação fundamental da hidrostática. Ela se reduz a:
p2
- p1 = r.g.(z1
- z2) = r.g.h
O
empuxo E que sofre um corpo mergulhado num fluido de densidade r
obtém-se como a resultante de todas as forças (de pressão) elementares.
Acha-se, pois, para o empuxo a expressão:
E
= r.g.Vliq.deslocado
onde
Vlíq.desl. representa o volume do fluido deslocado pelo corpo.
O ponto de aplicação do empuxo é o centro de gravidade do volume
anteriormente ocupado pelo fluido deslocado, e não o centro de gravidade
do corpo mergulhado. Somente para corpos homogêneos coincidem esses dois
pontos. O empuxo E pode ser utilizado para a avaliação cômoda da
densidade r
de gases, líquidos e sólidos.
