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Hidrodinâmica Prof.
Luiz Ferraz Netto Introdução 1. O escoamento em que predominam forças de atrito ou movimento laminar. É característico do escoamento laminar, o movimento do líquido em camadas ou estratos. Neste tipo de escoamento pode existir circulação, mas não há formação de turbilhões ou vórtices. 2. O escoamento turbilhonar. Este escoamento aparece quando a velocidade ultrapassa um valor crítico Vk. O aspecto do escoamento, no caso da turbulência, é caracterizado pela formação de vórtices e pela mistura das camadas fluidas. A velocidade crítica Vk, na qual o escoamento laminar passa a turbulento, depende do fluido e da geometria das superfícies que o limitam (paredes dos condutos). Vk pode ser facilmente determinada mediante experimentos. Dinâmica
dos líquidos ideais O escoamento de um líquido transparente pode ser observado com o aparelho das linhas de fluxo ou de corrente onde se fazem montagens específicas para tais experimentos. Deitam-se, num. líquido em escoamento, gotas de tinta, orientando-se elas segundo certas linhas, as linhas de fluxo. Num escoamento estacionário a linha de fluxo é a trajetória que percorre uma partícula fluida. A velocidade v desta partícula é sempre tangencial à linha de fluxo.
Consideremos, agora, uma pequena superfície de área S, normal à direção do escoamento, e tracemos de cada ponto de seu contorno a linha de fluxo correspondente: obteremos, assim, um tubo de fluxo. Duas linhas de fluxo jamais se podem cortar, senão teríamos uma velocidade, no ponto de concurso, segundo duas direções, o que não é possível. Dada a configuração das linhas de fluxo por um diagrama, poderemos, a partir dele, calcular a distribuição das velocidades e das pressões, bem como das forças atuantes. Equação
da continuidade
Construíndo-se sobre a superfície S um cilindro com a altura v, passará através da superfície S, na unidade de tempo, uma quantidade de líquido justamente igual ao volume do cilindro. Para as duas secções S1 e S2 obtém-se, portanto:
Por meio desta equação pode-se calcular a distribuição das velocidades num tubo de fluxo (por exemplo, num conduto hidráulico). Onde a secção transversal é grande, a velocidade é pequena, e vice-versa (veja, nessa Sala, a experiência relativa a essa lei). É conveniente representar-se o escoamento por meio do campo vetorial v, isto é, fazer corresponder a cada ponto P (x, y, z) o vetor velocidade v (x, y, z). Suponhamos que o líquido tenha a massa específica (ou densidade absoluta) r. Em cada segundo entra no volume elementar DV a quantidade me, de massa líquida, saindo, simultaneamente, a massa ma. O acréscimo (da massa do volume DV) me — ma = Dm, calcula-se assim:
Este acréscimo, entretanto, nos líquidos incompressíveis deve ser nulo, obtendo-se, por isto (r ¹ 0 e DV ¹ 0):
A dedução da expressão de Dm pode ser obtida pela observação da figura acima , onde se efetuou o cálculo apenas do componente segundo x: (me)x = r.S.vx
e (ma)x = r.S.(vx
+ dvx) Equação
de Bernoulli Para deduzirmos a equação de Bernoulli, procederemos da maneira seguinte: Dado um tubo de fluxo delgado (filete líquido), limitaremos entre duas secções transversais S1 e S2 um certo volume dV do líquido (ilustração abaixo). A posição (localização) desse volume será dada pelo espaço s sobre a trajetória, ao longo da linha de fluxo QoQ (pontilhada no desenho). A velocidade v e a pressão em Q são funções da posição s: v = v(s), p = p(s).
Suporemos, também que o líquido está num campo de gravidade uniforme g. Então atuará sobre o líquido contido no volume dV, o peso dP. Introduziremos, por isso, ainda um eixo vertical de coordenadas z. Como já está dada a linha de fluxo, será também z função de s: z = z(s). Sobre o volume de líquido dV, entre as duas secções S1 e S2 e atuam, então, as seguintes forças:
Valerá, então, para o componente da força total sobre dV, tomada na direção do movimento (tangente, portanto, à linha de fluxo Qo Q):
que é a equação de Newton, aplicada ao volume líquido dV. Designemos, ainda, por r a densidade absoluta do líquido e recordemos que: dV = S.ds, de modo que a equação de Newton adquire, ao longo de uma linha de fluxo, o seguinte aspecto:
Essa
equação é conhecida como equação de
Bernoulli. Para escoamento horizontal, z = const. Então se reduz a equação de Bernoulli a: p + (r/2).v2 = const. ... ao longo de uma linha de fluxo. Aplicações da equação de Bernoulli 1 — Tubo de Venturi De acordo com a equação da continuidade, ter-se-á v1/v2 = S2/S1. De acordo com Bernoulli, verifica-se também (no caso de z = const), logo: p1 + (r/2).v12 = p2 + (r/2).v22
Na região estreita, a velocidade v é maior, sendo, portanto, menor a pressão p. Nisto se baseia a construção da bomba a jato d'água (trompa), como a ilustrada abaixo:
Seja, em particular, p2 menor que a pressão barométrica po, de modo que o líquido é impulsionado para cima, mesmo se p1 for maior que po. Pode-se, também, pôr a secção transversal S2 em comunicação com um recipiente, no qual se deseja obter o vácuo. O conteúdo fluido desse recipiente escoa, então, para o trecho onde reina a pequena pressão p2, até que a pressão, no interior do recipiente considerado, se iguale a p2. De acordo com Bernoulli, será:
Com o aumento de v1, poder-se-ia conseguir que p2 e, portanto, também a pressão no recipiente, se anulasse ou mesmo se tornasse negativa (sucção, p2 < po). Por causa da vaporização da água, nunca se chega, entretanto, a uma pressão inferior à que corresponde à tensão de vapor d'água à temperatura ambiente. A 20oC essa tensão vale 17,5 mmHg. Para
obter-se um vácuo ainda melhor usa-se a bomba a jato de vapor de mercúrio
ou a bomba de vapor de óleo, que operam segundo o mesmo princípio da
bomba a jato d'água. Em lugar do jato d'água, usa-se neste caso, um jato
de vapor de mercúrio ou de óleo. 2 — Tubo de Pitot O tubo de Pitot serve para as medidas da velocidade, por exemplo, de aviões.
No ponto 1 reina a velocidade v = 0 (ponto em que é barrado o fluido). A este ponto corresponde uma pressão p = p1. No ponto 2 reina a velocidade v2, que é aproximadamente igual à velocidade do líquido (ou ar) no espaço exterior. A esta velocidade corresponde a pressão p = p2. Segundo Bernoulli será:
A medida da velocidade pode, portanto, ser reduzida à medida de uma pressão. A diferença de pressão (p1 - p2) é medida no dispositivo manométrico, por meio da diferença de altura H das colunas líquidas. Designando-se por rgás a densidade do gás em movimento e por rlíq. a densidade do líquido manométrico, será:
3 — Escoamento sob a influência de uma sobrepressão Para o dispositivo representado a seguir, vale, segundo Bernoulli:
p1 + (r/2).v12 = p2 + (r/2).v22 Se a abertura do orifício for pequena, em relação à seção do conduto, será então, como se deduz da equação da continuidade, v1 pequena, de maneira que poderemos em primeira aproximação considerá-la nula. Decorre, então, para a velocidade de saída:
É característico neste resultado ser a velocidade v2 diretamente proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão e inversamente à raiz quadrada da densidade absoluta do líquido. 4 — Escoamento sob a influência da gravidade Para
o ponto 1 vale: z = z1; v = v1; p = p1 =
po = pressão barométrica.
Segundo
a equação da continuidade será: v1 / v2 = S2
/ S1 . Decorre
portanto, para a velocidade v2: O líquido tem no escoamento a mesma velocidade que atingiria em queda livre da altura h (Princípio da Energia). 5 — Empuxo Para o caso de velocidades muito pequenas, a equação de Bernoulli transforma-se na equação fundamental da hidrostática. Ela se reduz a: p2 - p1 = r.g.(z1 - z2) = r.g.h
O empuxo E que sofre um corpo mergulhado num fluido de densidade r obtém-se como a resultante de todas as forças (de pressão) elementares. Acha-se, pois, para o empuxo a expressão: E = r.g.Vliq.deslocado onde Vlíq.desl. representa o volume do fluido deslocado pelo corpo. O ponto de aplicação do empuxo é o centro de gravidade do volume anteriormente ocupado pelo fluido deslocado, e não o centro de gravidade do corpo mergulhado. Somente para corpos homogêneos coincidem esses dois pontos. O empuxo E pode ser utilizado para a avaliação cômoda da densidade r de gases, líquidos e sólidos.
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