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Fluidostática
Compressibilidade
(parte 2)
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Compressibilidade
dos fluidos
Consideremos um corpo fluido
aprisionado em um cilindro obturado por um êmbolo, como se ilustra
a seguir. Mantendo constantes todas as demais condições físicas
(em particular, a temperatura) verifica-se que o volume ocupado
depende da pressão exercida.
Seja V o volume ocupado pelo fluido quando submetido a pressão
p , e seja V + DV
volume sob pressão p + Dp.
Quando a pressão aumenta (Dp
> 0) volume diminui (DV<
0), e vice-versa. Ensaiando fluidos diversos, ocupando inicialmente
volumes iguais, verifica-se que a um mesmo incremento Dp
da pressão correspondem incrementos DV
do volume que variam grandemente de caso para caso. Ao maior
incremento de volume corresponde maior compressibilidade.
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Entende-se por coeficiente
de compressibilidade de um fluido o incremento de
volume por unidade de volume inicial e por unidade do
incremento de pressão, em valor absoluto; simbolicamente:
As
unidades de medida desta grandeza são os recíprocos das
unidades de pressão. O recíproco
C do coeficiente de compressibilidade é denominado
modulo de compressibilidade (esse conceito é posto em Estática). |
Para
os líquidos, o coeficiente de compressibilidade pode ser
considerado independente da pressão, desde que o intervalo de
variação desta não se torne muito amplo; o coeficiente de
compressibilidade é da ordem de 10-5 at(-1),
o que equivale a afirmar que um incremento de pressão de uma
atmosfera técnica determina em um líquido uma diminuição de
volume da ordem de 1/100 000 do volume inicial.
Para
os gases, o coeficiente de compressibilidade depende das
condições nas quais se realiza a compressão; por exemplo, tem-se
C = p na transformação isotérmica, e C = (cp/cv).p
na transformação adiabática.
Em
confronto com os líquidos, gases têm compressibilidade enorme e
densidade baixíssima sob pressões moderadas; sob pressões
elevadas, essa disparidade tende a desaparecer.
Em
Fluidostática entende-se por líquido perfeito o líquido
ideal incompressível, e por gás perfeito o gás ideal que
obedece à lei de Boyle-Mariotte (adiante vamos detalhar isso).
Nos
fluidos incompressíveis, a densidade absoluta independe da pressão;
nos fluidos compressíveis, a densidade absoluta aumenta com a
pressão.
Exemplo
- Em temperatura ordinária a compressibilidade da água sob pressões
moderadas é (1/C) = 4,6.10-5 at-1. Medem-se
1000 l de água sob pressão p = 1,0 at. De quanto varia o
volume da água quando se comprime até a pressão p' = 5,0
at ?
O
volume da água diminui do equivalente a um copo d’água.
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Compressibilidade
de alguns líquidos |
| Substância |
Temperatura |
Compressibilidade |
| Ácido
sulfúrico |
0 |
3,0
x 10-4 |
| Água |
20 |
4,6 x 10-5 |
| Benzeno |
16
20 |
9,0
x 10-5
7,9 x 10-5 |
| Etanol |
20 |
1,0 x 10-4 |
| Glicerina |
15 |
2,2
x 10-5 |
| Mercúrio |
20 |
3,9 x 10-6 |
| Óleo
de olivas |
15
20 |
5,6
x 10-6
6,3 x 10-5 |
| unidades
=> |
oC |
At-1 |
Trabalho
externo de deformação volumétrica
Consideremos um fluido em
equilíbrio, aprisionado em um cilindro obturado por um êmbolo de
área A. Suponhamos que o êmbolo sofra lentamente um deslocamento
elementar Dl
sob a ação de uma força constante F exercida pelo
ambiente (por exemplo, pelo operador).
O
trabalho realizado pelo ambiente é: Dt
= F.Dl
...(02)
Sendo p a pressão no fluido, tem-se:
F = p.A ...(03)
Introduzindo (03) em (02), resulta:
Dt
= p.A.Dl
...(04)
O incremento de volume do fluido é:
DV
= -A.Dl
...(05)
Introduzindo (05) em (04), obtém-se
a expressão do trabalho elementar
de deformação volumétrica:
Dt
= -p.DV
...(06)
Numa compressão finita, a pressão geralmente varia com o volume;
o trabalho das forças externas e então dado pela expressão:
... (07)
Se
a transformação se realizar sob pressão invariável, o
trabalho externo correspondente é:
text.=
-p.(Vfinal - Vinicial)
...(08)
Em
gráfico (V, p) -- ver figura acima -- o trabalho externo é
representado pela área da superfície compreendida entre a linha
representativa, e o eixo dos volumes (em amarelo, na figura).
Na
expansão tem-se DV>
O e Dt
< 0; na compressão, DV
< 0 e Dt
> 0. O trabalho externo
realizado sobre um fluido é uma
das parcelas de energia que ele troca com o ambiente
durante uma transformação qualquer; outra parcela é constituída
por calor; tais energias trocadas com o ambiente
afetam a energia interna do fluido.
No
seio de um fluido consideremos um elemento de volume DV
no qual reina a pressão p. Mediante uma seringa de injeção cuja
agulha tem a ponta dentro do elemento de volume considerado, é
possível extrair do fluido o elemento de volume DV.
Nessa operação o fluido realiza o “trabalho de transvazamento”
p.|DV|.
Esse trabalho mede a energia que
o elemento de volume DV
do fluido possui por estar sujeito à pressão p. A energia de
transvazamento por unidade de volume é a própria pressão p
do fluido.
Exemplo
- No processo de compressão de um fluido, a pressão varia
conforme o gráfico abaixo:
Na
compressão o volume diminui; trata-se portanto da transformação
A==>B. O trabalho externo deformação volumétrica é:
t
= (6 + 2)/2 x 105 x (10 - 30) J; portanto, t
= +8,0 x 106 joules.
O
trabalho do operador é positivo, portanto motor; o operador
fornece energia ao fluido. Na
expansão (transformação B==>A) o trabalho seria t'
= - 8,0 x 106 joules; o trabalho do operador seria
negativo, portanto resistente: o operador receberia energia
do fluido.
Lei
de Pascal
Em
fluido em equilíbrio, livre da ação da gravidade, a pressão é
a mesma em todos os pontos.
Esta
proposição, apresentada por Pascal (1623 - 1662) na forma de
princípio, pode ser demonstrada a partir do princípio da conservação
do trabalho.
De
fato, dado um fluido nas condições enunciadas, consideremos nele
uma superfície tubular imaginária, rígida e fixa T (conforme se
ilustra acima), obturada junto às suas extremidades por êmbolos
imaginários, perpendiculares às paredes do tubo e de áreas Ao
e A. O tubo e os êmbolos constituem uma superfície imaginária
que envolve uma porção fluida
em equilíbrio.
Supondo que estes êmbolos se desloquem lentamente (portanto, sem
que o fluido adquira energia cinética), e sem que varie o volume
do fluido encerrado (portanto, sem
variação de energia interna do fluido), é nula a soma dos
trabalhos das forças externas.
Destas
forças, aquelas Ft exercidas pelo tubo T não
realizam trabalho; só realizam trabalho as forças de pressão Fo
e F exercidas nos êmbolos.
Sejam
Dlo
e Dl
deslocamentos simultâneos dos êmbolos Ao e A
respectivamente; como estes deslocamentos se realizam sem variação
de volume do fluido encerrado, o volume que lhe é descontado pelo
êmbolo Ao lhe é liberado pelo êmbolo A ;
simbolicamente:
Ao.Dlo
= A.Dl
...(09)
Sendo
po e p as pressões exercidas nos êmbolos, as forças
que o ambiente exerce neles são:
Fo
= po.Ao
e F =
p.A ...(10)
Os
respectivos trabalhos são:
Dto
= Fo.Dlo
= po.Ao.Dlo
e Dt
= - F.Dl
= - p.A.Dl
...(11)
O
princípio da conservação do trabalho assegura:
Dto
+ Dt
= 0 portanto po.Ao.Dlo
- p.A.Dl
= 0 ...(12)
Em
vista de (09), esta igualdade nos dá:
po = p ...c.q.d.
Prensa
hidráulica
Na transmissibilidade da
pressão baseia-se uma máquina denominada 'prensa hidráulica'
(ilustrada a seguir), e que serve para aplicar forças muito
intensas.
Dois
cilindros interligados, cujas secções transversais Ao
e A são desiguais, encontram-se obturados por êmbolos e
preenchidos completamente por um líquido. Aplicando-se no êmbolo
menor uma força de intensidade Fo
origina-se no líquido uma pressão p que obedece a igualdade
Fo = p.Ao. Esta pressão transmite-se também
ao êmbolo maior, cujo equilíbrio exige o exercício de uma
força de intensidade F = p.A.
Conclui-se:
...(13)
Em
palavras: As forças aplicadas nos êmbolos de uma prensa hidráulica
têm intensidades proporcionais às áreas respectivas. No êmbolo
menor a força é aplicada manualmente ou mediante motor; o êmbolo
maior aplica a força útil, servindo para suspender cargas
(elevador de automóvel, por exemplo), ou comprimir corpos (fardos
de algodão, por exemplo), ou ainda para outras finalidades que
exigem a aplicação de forças intensas (máquinas de ensaio de
materiais de construção, freios hidráulicos em veículos
motorizados etc.
Mediante golpes sucessivos do êmbolo Ao desloca-se
gradativamente o êmbolo A; o líquido necessário é extraído de
um reservatório R; válvulas V1 e V2
asseguram para o líquido o sentido conveniente de escoamento.
NOTAS:
(a) Prensa hidráulica é uma máquina e, como tal, deve estar
apoiada; tal máquina jamais ficaria em equilíbrio sob ação
exclusiva das forças Fo e F!
(b) O líquido contido na prensa hidráulica está sujeito à ação
da gravidade; todavia, esta é desprezível em face das forças
aplicadas nos êmbolos.
(c) A estanqueidade do sistema
é assegurada mediante pormenores construtivos especiais.
Exemplo
- Numa prensa hidráulica com Ao = 10 cm2 e A
= 2 000 cm2 a vantagem mecânica ideal é 200 . Com Fo
= 30 kgf resulta F = 6 000 kgf. Para que o êmbolo maior suba
1 m é preciso que o êmbolo menor percorra 200 m
(evidentemente não continuamente, mas em golpes consecutivos).
Lei
de Boyle-Mariotte
Dentre as leis básicas dos
gases, é esta a única que se estuda em Mecânica; as demais
pertencem à Termologia.
Mantendo-se
constante a temperatura de um gás, sua pressão varia na razão
inversa do volume ocupado.
... (14)
Em
transformação isotérmica, o produto da pressão pelo volume de
um gás é invariável.
Esta
lei, estabelecida experimentalmente (1676), é um teorema da Teoria
Cinética dos Gases. Todo diagrama cartesiano (V, p) é chamado
diagrama de Clapeyron; em diagrama de Clapeyron, a lei de
Boyle-Mariotte é representada por hipérbole eqüilátera (abaixo,
à esquerda). O gráfico (1/V, p) é uma reta passando pela origem
(abaixo, à direita)
(figura
à esquerda): Lei de Boyle-Mariotte em diagrama de Clapeyron; as
escalas representam V em abscissas, p em ordenadas.
(figura à direita): Lei de Boyle-Mariotte em diagrama cartesiano
com escalas (1/V) e (p).
A
lei é seguida com boa aproximação pelos gases rarefeitos, em
temperaturas bem acima da temperatura crítica; ela se afasta do
comportamento real dos gases à medida que a densidade aumenta e a
temperatura baixa.
Densidades
dos gases
As variações de volume de
um corpo gasoso repercutem na densidade do mesmo. Seja m a
massa de um corpo gasoso que ocupa volume V1 sob pressão
P1 , e volume V2 sob pressão P2,
em temperatura invariável. A densidade absoluta do gás
é d1 = m/V1 no primeiro estado, é d2
= m/V2 no segundo estado, portanto:
d1/d2
= V2/V1 ...(15)
Em
virtude da lei de Boyle-Mariotte, conclui-se:
Em
temperatura constante, a densidade absoluta de um gas perfeito
varia na razão direta da pressão.
Entende-se
por densidade relativa de um gás qualquer Gx
em relação a um gás padrão Gp a razão
de suas densidades absolutas dx e dp
quando se encontram ambos nas mesmas condições de temperatura e
pressão:
Consideremos
dois gases que obedecem à Lei de Boyle-Mariotte, mantidos em
temperaturas iguais e invariáveis. Quando ambos suportam a mesma
pressão p , suas densidades absolutas são dx e dp
e a densidade relativa é dr = dx/dp.
Quando ambos os gases são levados a
uma pressão p’ , suas densidades absolutas passam a ser:
Em
transformação isotérmica de gases que obedecem à lei de
Boyle-Mariotte, a densidade relativa se mantém invariável.
Esse
assunto é especialmente desenvolvido em Termologia, onde se
demonstra que a densidade
relativa se mantém mesmo quando a temperatura comum dos gases
varia.
O
funcionamento das máquinas pneumáticas e dos compressores de gás
em regime isotérmico é regido pela lei de Boyle-Mariotte.
Nota:
Demonstra-se que em transformação isotérmica de gás perfeito o
trabalho externo é dado pela expressão:
Exemplo:
Um gás que obedece à lei de Boyle-Mariotte expande-se
isotermicamente. Inicialmente a pressão é p = 72 x 103
pascal e o volume é V = 10 m3. Representar a
transformação em diagrama de Clapeyron.
| V |
p |
 |
| 10 |
72.103 |
| 20 |
36.103 |
| 30 |
24.103 |
| 40 |
18.103 |
| 60 |
12.103 |
| 80 |
9.103 |
| m3 |
pascal |
Segue
parte -3: Equilíbrio de Fluidos
Pesantes
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