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Fluidostática
Compressibilidade (parte 2)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Compressibilidade dos fluidos
Consideremos um corpo fluido aprisionado em um cilindro obturado por um êmbolo, como se ilustra a seguir. Mantendo constantes todas as demais condições físicas (em particular, a temperatura) verifica-se que o volume ocupado depende da pressão exercida.
Seja V o volume ocupado pelo fluido quando submetido a
pressão p ,  e seja  V + DV  volume sob pressão p + Dp.  Quando a pressão aumenta (Dp > 0) volume diminui (DV< 0), e vice-versa. Ensaiando fluidos diversos, ocupando inicialmente volumes iguais, verifica-se que a um mesmo incremento Dp da pressão correspondem incrementos DV do volume que variam grandemente de caso para caso. Ao maior incremento de volume corresponde maior compressibilidade.

Entende-se por coeficiente de compressibilidade de um fluido o incremento de volume por unidade de volume inicial e por unidade do incremento de pressão, em valor absoluto; simbolicamente:

As unidades de medida desta grandeza são os recíprocos das unidades de pressão.  O recíproco C do coeficiente de compressibilidade é denominado modulo de compressibilidade (esse conceito é posto em Estática).

Para os líquidos, o coeficiente de compressibilidade pode ser considerado independente da pressão, desde que o intervalo de variação desta não se torne muito amplo; o coeficiente de compressibilidade é da ordem de 10-5 at(-1), o que equivale a afirmar que um incremento de pressão de uma atmosfera técnica determina em um líquido uma diminuição de volume da ordem de 1/100 000 do volume inicial.

Para os gases, o coeficiente de compressibilidade depende das condições nas quais se realiza a compressão; por exemplo, tem-se  C = p  na transformação isotérmica, e  C = (cp/cv).p na transformação adiabática.

Em confronto com os líquidos, gases têm compressibilidade enorme e densidade baixíssima sob pressões moderadas; sob pressões elevadas, essa disparidade tende a desaparecer.

Em Fluidostática entende-se por líquido perfeito o líquido ideal incompressível, e por gás perfeito o gás ideal que obedece à lei de Boyle-Mariotte (adiante vamos detalhar isso).

Nos fluidos incompressíveis, a densidade absoluta independe da pressão; nos fluidos compressíveis, a densidade absoluta aumenta com a pressão.

Exemplo - Em temperatura ordinária a compressibilidade da água sob pressões moderadas é (1/C) = 4,6.10-5 at-1. Medem-se 1000 l de água sob pressão  p = 1,0 at. De quanto varia o volume da água quando se comprime até a pressão  p' = 5,0 at ?

 

O volume da água diminui do equivalente a um copo d’água.

Compressibilidade de alguns líquidos

Substância Temperatura Compressibilidade
Ácido sulfúrico 0 3,0 x 10-4
Água 20 4,6 x 10-5
Benzeno 16
20
9,0 x 10-5
7,9 x 10-5
Etanol 20 1,0 x 10-4
Glicerina 15 2,2 x 10-5
Mercúrio 20 3,9 x 10-6
Óleo de olivas 15
20
5,6 x 10-6
6,3 x 10-5
unidades => oC At-1

Trabalho externo de deformação volumétrica
Consideremos um fluido em equilíbrio, aprisionado em um cilindro obturado por um êmbolo de área A. Suponhamos que o êmbolo sofra lentamente um deslocamento elementar Dl sob a ação de uma força constante F exercida pelo ambiente (por exemplo, pelo operador).

O trabalho realizado pelo ambiente é:      Dt = F.Dl        ...(02)
Sendo p a pressão no fluido, tem-se:         F = p.A         ...(03)
Introduzindo (03) em (02), resulta:            
Dt = p.A.Dl     ...(04)
O incremento de volume do fluido é:       
DV = -A.Dl       ...(05)
Introduzindo (05) em (04), obtém-se
 a expressão do trabalho
elementar
de deformação volumétrica:                      
Dt = -p.DV   ...(06)
Numa compressão finita, a pressão geralmente varia com o volume; o trabalho das forças externas e então dado pela expressão:

    ... (07)

Se a transformação se realizar sob pressão invariável, o trabalho externo correspondente é:

text.= -p.(Vfinal - Vinicial)     ...(08)

Em gráfico (V, p) -- ver figura acima -- o trabalho externo é representado pela área da superfície compreendida entre a linha representativa, e o eixo dos volumes (em amarelo, na figura).

Na expansão tem-se DV> O e Dt < 0; na compressão, DV < 0 e Dt > 0. O trabalho externo realizado sobre um fluido é uma das parcelas de energia que ele troca com o ambiente durante uma transformação qualquer; outra parcela é constituída por calor; tais energias trocadas com o ambiente afetam a energia interna do fluido.

No seio de um fluido consideremos um elemento de volume DV no qual reina a pressão p. Mediante uma seringa de injeção cuja agulha tem a ponta dentro do elemento de volume considerado, é possível extrair do fluido o elemento de volume DV. Nessa operação o fluido realiza o “trabalho de transvazamento” p.|DV|. Esse trabalho mede a energia que o elemento de volume DV do fluido possui por estar sujeito à pressão p. A energia de transvazamento por unidade de volume é a própria pressão p do fluido.

Exemplo - No processo de compressão de um fluido, a pressão varia conforme o gráfico abaixo:

Na compressão o volume diminui; trata-se portanto da transformação  A==>B. O trabalho externo deformação volumétrica é:

t = (6 + 2)/2 x 105 x (10 - 30) J; portanto, t = +8,0 x 106 joules.

O trabalho do operador é positivo, portanto motor; o operador fornece energia ao fluido. Na expansão (transformação B==>A) o trabalho seria  t' = - 8,0 x 106 joules; o trabalho do operador seria negativo, portanto resistente: o operador receberia energia do fluido.

Lei de Pascal

Em fluido em equilíbrio, livre da ação da gravidade, a pressão é a mesma em todos os pontos.

Esta proposição, apresentada por Pascal (1623 - 1662) na forma de princípio, pode ser demonstrada a partir do princípio da conservação do trabalho.

De fato, dado um fluido nas condições enunciadas, consideremos nele uma superfície tubular imaginária, rígida e fixa T (conforme se ilustra acima), obturada junto às suas extremidades por êmbolos imaginários, perpendiculares às paredes do tubo e de áreas Ao e A. O tubo e os êmbolos constituem uma superfície imaginária que envolve uma porção fluida em equilíbrio.
Supondo que estes êmbolos se desloquem lentamente (portanto, sem que o fluido adquira energia cinética), e sem que varie o volume
do fluido encerrado (portanto, sem variação de energia interna do fluido), é nula a soma dos trabalhos das forças externas.

Destas forças, aquelas Ft exercidas pelo tubo T não realizam trabalho; só realizam trabalho as forças de pressão Fo e F exercidas nos êmbolos.

Sejam Dlo e Dl  deslocamentos simultâneos dos êmbolos  Ao e A  respectivamente; como estes deslocamentos se realizam sem variação de volume do fluido encerrado, o volume que lhe é descontado pelo êmbolo Ao lhe é liberado pelo êmbolo A ; simbolicamente:

Ao.Dlo = A.Dl    ...(09)

Sendo po e p as pressões exercidas nos êmbolos, as forças que o ambiente exerce neles são:

Fo = po.Ao            e           F = p.A      ...(10)

Os respectivos trabalhos são:

Dto = Fo.Dlo = po.Ao.Dlo       e        Dt = - F.Dl = - p.A.Dl    ...(11)

O princípio da conservação do trabalho assegura:

Dto + Dt = 0  portanto  po.Ao.Dlo - p.A.Dl = 0    ...(12)

Em vista de (09), esta igualdade nos dá:          po = p       ...c.q.d.

Prensa hidráulica
Na transmissibilidade da pressão baseia-se uma máquina denominada 'prensa hidráulica' (ilustrada a seguir), e que serve para aplicar forças muito intensas.

Dois cilindros interligados, cujas secções transversais  Ao e A  são desiguais, encontram-se obturados por êmbolos e preenchidos completamente por um líquido. Aplicando-se no êmbolo menor uma força de intensidade  Fo  origina-se no líquido uma pressão p que obedece a igualdade  Fo = p.Ao. Esta pressão transmite-se também ao êmbolo maior, cujo equilíbrio exige o exercício de uma força de intensidade  F = p.A.

Conclui-se:                                                         ...(13)

Em palavras: As forças aplicadas nos êmbolos de uma prensa hidráulica têm intensidades proporcionais às áreas respectivas. No êmbolo menor a força é aplicada manualmente ou mediante motor; o êmbolo maior aplica a força útil, servindo para suspender cargas (elevador de automóvel, por exemplo), ou comprimir corpos (fardos de algodão, por exemplo), ou ainda para outras finalidades que exigem a aplicação de forças intensas (máquinas de ensaio de materiais de construção, freios hidráulicos em veículos motorizados etc.
Mediante golpes sucessivos do êmbolo Ao desloca-se gradativamente o êmbolo A; o líquido necessário é extraído de um reservatório R; válvulas V1 e V2 asseguram para o líquido o sentido conveniente de escoamento.

NOTAS:
(a) Prensa hidráulica é uma máquina e, como tal, deve estar apoiada; tal máquina jamais ficaria em equilíbrio sob ação exclusiva das forças Fo e F!
(b) O líquido contido na prensa hidráulica está sujeito à ação da gravidade; todavia, esta é desprezível em face das forças aplicadas nos êmbolos.
(c) A estanqueidade do sistema é assegurada mediante pormenores construtivos especiais.

Exemplo - Numa prensa hidráulica com Ao = 10 cm2 e A = 2 000 cm2 a vantagem mecânica ideal é 200 . Com Fo = 30 kgf resulta F = 6 000 kgf. Para que o êmbolo maior suba  1 m  é preciso que o êmbolo menor percorra 200 m (evidentemente não continuamente, mas em golpes consecutivos).

Lei de Boyle-Mariotte
Dentre as leis básicas dos gases, é esta a única que se estuda em Mecânica; as demais pertencem à Termologia.

Mantendo-se constante a temperatura de um gás, sua pressão varia na razão inversa do volume ocupado.

  ... (14)

Em transformação isotérmica, o produto da pressão pelo volume de um gás é invariável.

Esta lei, estabelecida experimentalmente (1676), é um teorema da Teoria Cinética dos Gases. Todo diagrama cartesiano (V, p) é chamado diagrama de Clapeyron; em diagrama de Clapeyron, a lei de Boyle-Mariotte é representada por hipérbole eqüilátera (abaixo, à esquerda). O gráfico (1/V, p) é uma reta passando pela origem (abaixo, à direita)

(figura à esquerda): Lei de Boyle-Mariotte em diagrama de Clapeyron; as escalas representam V em abscissas, p em ordenadas.
(figura à direita): Lei de Boyle-Mariotte em diagrama cartesiano com escalas (1/V) e (p).

A lei é seguida com boa aproximação pelos gases rarefeitos, em temperaturas bem acima da temperatura crítica; ela se afasta do comportamento real dos gases à medida que a densidade aumenta e a temperatura baixa.

Densidades dos gases
As variações de volume de um corpo gasoso repercutem na densidade do mesmo. Seja m a massa de um corpo gasoso que ocupa volume V1 sob pressão P1 , e volume V2 sob pressão P2, em temperatura invariável.  A densidade absoluta do gás é  d1 = m/V1 no primeiro estado, é d2 = m/V2 no segundo estado, portanto:

d1/d2 = V2/V1    ...(15)

Em virtude da lei de Boyle-Mariotte, conclui-se: 

Em temperatura constante, a densidade absoluta de um gas perfeito varia na razão direta da pressão.

Entende-se por densidade relativa de um gás qualquer  Gx  em relação a um gás padrão  Gp  a razão de suas densidades absolutas  dx  e  dp  quando se encontram ambos nas mesmas condições de temperatura e pressão:

Consideremos dois gases que obedecem à Lei de Boyle-Mariotte, mantidos em temperaturas iguais e invariáveis. Quando ambos suportam a mesma pressão  p , suas densidades absolutas são dx e dp e a densidade relativa é dr = dx/dp.  Quando ambos os gases são levados a uma pressão  p’ , suas densidades absolutas passam a ser:

Em transformação isotérmica de gases que obedecem à lei de Boyle-Mariotte, a densidade relativa se mantém invariável.

Esse assunto é especialmente desenvolvido em Termologia, onde se demonstra que a densidade relativa se mantém mesmo quando a temperatura comum dos gases varia.

O funcionamento das máquinas pneumáticas e dos compressores de gás em regime isotérmico é regido pela lei de Boyle-Mariotte.

Nota: Demonstra-se que em transformação isotérmica de gás perfeito o trabalho externo é dado pela expressão:

Exemplo: Um gás que obedece à lei de Boyle-Mariotte expande-se isotermicamente. Inicialmente a pressão é p = 72 x 103 pascal e o volume é  V = 10 m3. Representar a transformação em diagrama de Clapeyron.

V p
10 72.103
20 36.103
30 24.103
40 18.103
60 12.103
80 9.103
m3 pascal

 

Segue parte -3:  Equilíbrio de Fluidos Pesantes

 


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