Fluidostática
Equilíbrio de fluidos pesantes - (parte 3)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Conforme vimos na parte 1, o equilíbrio de um fluido pode ser absoluto (fluido estacionário em relação a referencial inercial), ou relativo (fluido estacionário em relação a referencial acelerado). O problema do equilíbrio relativo será abordado no último parágrafo dessa parte 3.

Superfície livre
Entende-se por superfície livre de um líquido a superfície de separação entre o mesmo e o meio gasoso ambiente. Nos fluidos em equilíbrio não se desenvolvem forças tangenciais; portanto:

Dado um líquido em equilíbrio, um elemento de volume do mesmo, junto à superfície livre, experimenta por parte do líquido subjacente a ação de uma força normal à superfície livre.

Da propriedade enunciada decorre a seguinte:

Dado um líquido em equilíbrio absoluto sob a ação da gravidade, a correspondente superfície livre é horizontal.

Do fato, imaginemos por absurdo que a superfície livre de um líquido em equilíbrio absoluto sob a ação da gravidade seja não horizontal, como se representa na ilustração a seguir. Junto à superfície livre, um elemento de volume do líquido está sujeito à força de gravidade P e à força N aplicada pelo líquido subjacente (sendo N normal à superfície livre, no ponto ocupado pelo elemento de volume em questão).

Para que a força N seja equilibrante de P é preciso que ela seja dirigida verticalmente para cima; portanto a superfície livre é horizontal.

Esta propriedade não se aplica à superfícies livres exíguas, nas quais adquirem importância as forças de tensão superficial; a propriedade também não se aplica à superfícies livres de líquidos em equilíbrio relativo (referencial acelerado).

A superfície livre da água em equilíbrio absoluto em um copo ou em uma piscina pode ser considerada plana. Em mares e oceanos a superfície livre acompanha a curvatura da superfície do geóide. Em qualquer caso, a superfície livre é, em cada ponto, perpendicular ao fio de prumo no mesmo ponto.

Nível de bolha contém, como peça essencial, um tubo de vidro selado, quase completamente cheio de um líquido bem fluido (álcool, éter); a “bolha de ar" é saturada com o vapor do líquido. Mais leve do que o líquido, a bolha sobrenada. 

O tubo é ligeiramente convexo para cima.  Na tendência de formar superfície livre horizontal, a bolha se situa na parte mais elevada do tubo. Confrontando a posição da bolha com traços gravados no vidro, pode-se acertar a horizontalidade da base do instrumento.

Lei de Stevin
Consideremos um fluido homogêneo e incompressível, em equilíbrio absoluto sob a ação da gravidade, cuja aceleração local tem intensidade g. Sendo d a densidade absoluta do fluido, seu peso específico é:

g = d.g     ...(01)

Imaginemos no fluido uma superfície tubular, rígida e fixa T, obturada por êmbolos, como na figura: 

Seja h a diferença de nível entre os êmbolos. Deslocando-se lentamente os êmbolos de AB para A'B' e de CD para C’D’, é nula a soma dos trabalhos das forças externas; estes trabalhos são realizados pela força de gravidade, e pelas forças F_o e F aplicadas pelo ambiente sobre os êmbolos; o trabalho das forças F_t aplicadas pelas paredes do tubo é nulo.

Quanto à gravidade, o trabalho se determina tendo em vista que nada se modifica no espaço A’B’DC , o deslocamento dos êmbolos produzindo o mesmo efeito como se a porção fluida ABB’A' fosse deslocada para CDD’C’ (observe bem esse comportamento!) ; resulta:

Para as forças F_o e F os trabalhos são:

Dt_o = F_o.Dl_o = p_o.A_o.Dl_o                    ... (03)
Dt   = - F.Dl  = - p.A.Dl = - p.A_o.Dl_o   ...(04)

Somando membro a membro as igualdades (02), (03) e (04), resulta:

0 = A_o.Dl_o.d.g.h + p_o.A_o.Dl_o - p.A_o.Dl_o

do se conclui:                                   p = p_o + d.g.h       ou      p = p_o + g.h     ...(05)

É esta a Equação Fundamental da Hidrostática, que simboliza a Lei de Stevin (1548 - 1620):

Em um fluido homogêneo e incompressível em equilíbrio sob a ação da gravidade, a pressão cresce linearmente com a profundidade; a diferença de pressão entre dois pontos é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de nível entre os pontos considerados.

Nenhuma hipótese foi feita com respeito à forma do vaso que contém o fluido e à forma do tubo imaginário T; portanto a tese se aplica, seja qual for a forma do vaso.

Princípio de Pascal
Em um fluido em equilíbrio sob a ação da gravidade, os pontos nos quais reinam pressões iguais pertencem a superfícies denominadas superfícies de nível;   a lei de Stevin nos dá   p = constante  quando  h = constante, logo as superfícies da nível são horizontais.

Se a pressão  p_o  sofrer uma variação tornando-se  p_o' , a pressão em um ponto qualquer torna-se 

p’= p_o' + g.h          ...(06)

Subtraindo membro a membro as igualdades (06) e (05), resulta:

p' - p = p_o' - p_o      ...(07)

Esta igualdade simboliza o Princípio de Pascal para fluidos pesantes:

Dado um fluido incompressível em equilíbrio sob a ação da gravidade, um incremento de pressão em um ponto qualquer é acompanhado de igual incremento em todos os demais pontos.

As teses apresentadas aplicam-se também a fluidos compressíveis, em particular gases, contanto que as diferenças de nível sejam suficientemente pequenas para que a densidade possa ser considerada constante em relação ao nível.

Sifão
Uma primeira explicação para o funcionamento do sifão, abaixo ilustrado, pode ser dada a partir da Lei de Stevin.

Admitamos inicialmente que o sifão esteja fechado em C e completamente cheio de líquido em equilíbrio (sifão 'escorvado'). A pressão do líquido em C é   p = p_at + d.g.(y-z), portanto  p > p_at. Quando abrirmos o sifão em C, o equilíbrio não pode perdurar; o liquido se escoa da região de pressão maior (dentro do tubo) para a de pressão menor (fora do tubo). A altura  y  deve ser inferior a  p_at/(d.g)  sob pena de resultar líquido tenso (pressão absoluta negativa) com risco de formação de uma bolha de vapor; esta interromperia a coluna líquida e assim faria cessar o escoamento (veja Exemplo 2).

Exemplo 1 - Um caçador submarino mergulhou até a profundidade de 10 m em água do mar com densidade absoluta igual a 1030 kg/m³. A pressão atmosférica é 101 x 10³ pascal e a aceleração local da gravidade é  g = 9,80 m/s². O mergulhador suporta a pressão absoluta:

p = p_at + d.g.h = 101x10³ + 1030x9,80x10 =202 x 10³ pascal

que corresponde a pressão efetiva  p_e = p - p_at = 101 x 10³ pascal. O mergulhador fica submetido à pressão dupla da pressão atmosférica.

Medição de pressões mediante colunas líquidas
Os instrumentos para a medição de pressões são denominados barômetros, manômetros e vacuômetros (ilustrações, mais adiante, no item Pressão atmosférica), conforme sejam destinados a medir a pressão atmosférica, pressões superiores ou inferiores a pressão atmosférica, respectivamente. Tais instrumentos existem em diversas modalidades, classificando-se em medidores de pressão metálicos (manômetros e vacuômetros de Bourdon, barômetro aneróide) e medidores de pressão de coluna líquida.

Apresentaremos aqui o barômetro de Torricelli; as descrições dos demais instrumentos podem ser vistas no artigo Barômetros e Manômetros, nesta Sala 07.

A superfície livre do mercúrio contido na cuba está sujeita à pressão atmosférica  p. Sendo  g a aceleração local da gravidade,  d  a densidade do mercúrio e  h o desnível entre as superfícies livres do mercúrio no tubo e na cuba (coluna “local” de mercúrio), a lei de Stevin nos dá:

p = d.g.h    ...(08) 

Denominaremos  coluna normal de mercúrio  a coluna de mercúrio que exerce a mesma pressão, sendo supostas normais a gravidade e a densidade absoluta do mercúrio (g_n = 9,806 65 m/s² ; d_n = 13 595,1 kg/m³, densidade do mercúrio a 0 ^oC), temos pois:

p = d_n.g_n.H    ...(09)         [Observe!  p = (constante).H]

Por exercerem pressões iguais, as colunas local e normal  são ditas equivalentes.  Geralmente tem-se h diferente de H, sendo que a altura h da coluna local depende de  p, d e g, ao passo que a altura H da coluna normal equivalente só depende de  p  (pois d_n e g_n são fixados por convenção). O confronto das igualdades (08) e (09) nos dá a altura  H da coluna normal equivalente à coluna local de altura  h:

Unidades incoerentes de pressão
Da igualdade (09) depreendemos haver proporcionalidade entre a pressão  p, e a altura  H  da coluna líquida normal que exerce aquela pressão; esta propriedade sugere exprimir a pressão  p  mediante a altura H. Surgiram assim algumas 'unidades incoerentes de pressão', das quais passamos a apresentar as mais usuais:

(a)- Denomina-se “torricelli” (símbolo Torr) ou “milímetro de mercúrio” (símbolo mm de mercúrio, ou mm de Hg) a pressão exercida por uma coluna normal de mercúrio, de altura igual a um milímetro. O número que mede  H  em milímetros é igual ao número que mede  p  em milímetros de mercúrio. De maneira análoga definem-se o "centímetro de mercúrio" (cm de Hg), o "metro de água" (m de ág.), e outras unidades que tais.  
Convertamos torricelli (Torr) para pascal (Pa):  

1 mm de Hg = 1 Torr = 13 595,1 kg/m³ x 9,806 65 m/s²  x 10^-3 m ... (definição) = 133,322 P ...(11)
____ d_n ____       ___ g_n ____      _1mm_                

(b)- Denomina-se “atmosfera normal” (símbolo At ou atm, a não ser confundido com o símbolo  at , que simboliza a atmosfera métrica ou técnica equivalente a 1 kgf/cm²) a pressão equivalente a 760 Torr:

1 At = 1 atm = 760 Torr = 101 325 Pa    ...(12)

A atmosfera normal (atm) é ligeiramente superior à atmosfera técnica métrica (at):

1 At = 1 atm = 1,033 23 at = 1,033 23 kgf/cm²     ...(13)

Entende-se por “pressão normal” a pressão equivalente a uma atmosfera normal (p_N = 1 atm)

Exemplo 2- Admitindo por hipótese que a água não emita vapor, determinar a maior altura a qual ela pode ser elevada mediante uma bomba aspirante idealmente perfeita. Supõem-se dados: densidade absoluta da água (d), aceleração local da gravidade (g) e pressão atmosférica (p_at).

Equilíbrio de líquidos não miscíveis
Consideremos dois líquidos L e L’ imiscíveis, juntos e sujeitos a ação da gravidade; suas densidades sejam  d e d’, sendo por hipótese d < d’. Estabelecido o equilíbrio absoluto dos dois líquidos, a superfície de separação entre eles é horizontal, conclusão a qual se pode chegar por redução ao absurdo. 

Vasos comunicantes
Em Fluidostática, denominam-se “vasos comunicantes” sistemas de dois ou mais vasos (frascos, tubos) contendo um ou mais líquidos em equilíbrio e interligados mediante comunicações banhadas pelos líquidos; as pressões exercidas nas superfícies livres podendo ser iguais ou diferentes. Fica subentendido que os vasos sejam suficientemente amplos para que possa ser desprezado o efeito da tensão superficial (capilaridade).

O problema dos vasos comunicantes consiste em relacionar entre si os níveis relativos das superfícies de separação entre fluidos, as densidades dos fluidos e as pressões exercidas nas superfícies livres.

Elucidemos o assunto mediante um exemplo, considerando o sistema abaixo esquematizado e suposto em equilíbrio absoluto sob a ação da gravidade.

Tracemos o plano horizontal  p que contém a mais baixa das superfícies de separação entre fluidos do sistema (no caso da figura, esta superfície é S_d). A superfície S_d está sujeita a pressões  p'_d e  p'_e em suas faces, e para o equilíbrio é necessário que seja:  

p'_d = p'_e   ...(14)

A pressão em S_e é:                                            p"_e = p_e + d_e1.g.h_e1  ...(15)

A pressão que os líquidos do ramo esquerdo exercem em S_d é:  

                      p'_e = p"_e + d_e2.g.h_e2    ... (16)

donde, em vista da igualdade (15), resulta:

                       p'_e = p_e + d_e1.g.h_e1 + d_e2.g.h_e2    ... (17)

A pressão que os líquidos do ramo direito exercem em S_d é:

p'_d = p_d + d_d.g.h_d    ... (18)

Em vista da condição de equilíbrio (14), podemos escrever a relação procurada:

p_e + d_e1.g.h_e1 + d_e2.g.h_e2 = p_d + d_d.g.h_d    ... (19)

Estendendo a conclusão a qualquer sistema de líquidos em equilíbrio em dois vasos comunicantes, podemos escrever:

Quando o sistema compreende mais de dois vamos comunicantes, a conclusão se aplica a cada par deles.

Em vasos comunicantes que contêm um único líquido suposto homogêneo, este se eleva ao mesmo nível em todos os ramos desde que a pressão na superfície livre do líquido seja a mesma em todos. Quando não se usam bombas de recalque, o abastecimento de água através de redes hidráulicas urbanas se baseia no principio dos vasos comunicantes. 
Em engenharia de construções, uma mangueira plástica transparente contendo água e operada como par de vasos comunicantes permite fazer nivelamento expedito e preciso (nível de mangueira).
Em laboratório, vasos comunicantes encontram aplicação na determinação de densidades e na medição de pressões.

Exemplo 3 - 

Exemplo 4 -  

Empuxo em superfícies planas
Consideremos uma superfície plana S de contorno qualquer e área A , sujeita em uma de suas faces a ação de um líquido homogêneo de peso especifico g e em equilíbrio absoluto. 

Num elemento de superfície de área DA o líquido exerce empuxo de intensidade:

Têm-se:  SDA = A , e  Sh.DA  = momento estático da superfície S em relação à superfície livre do líquido; este último é igual ao produto da área A pela distancia de seu centróide à superfície livre do líquido, isto é:

S h.DA = h_G.A    ...(23)

Podemos escrever :                                F_res.= (p_at + g.h_G).A ...(24)
donde enfim:                                                          F_res. = p_G.A  ...(25)

A intensidade do empuxo que um liquido pesante em equilíbrio absoluto exerce em uma superfície plana é igual ao produto da área desta superfície pela pressão que o líquido exerce em seu centróide.

O empuxo resultante F_res. aplica-se em um ponto C denominado “centro de empuxo” da superfície em questão. Quando a superfície S é horizontal, o centro de empuxo coincide com o centróide; quando a superfície é oblíqua, o centro de empuxo situa-se abaixo do centróide.

Paradoxo hidrostático
Da lei de Stevin resulta um aparente contra-senso, denominado “paradoxo hidrostático”. Consideremos o sistema abaixo ilustrado:

Sendo  p_at  a pressão atmosférica,  d  a densidade absoluta do liquido e  g  a aceleração local da gravidade, a pressão que o líquido exerce no fundo do vaso é:     p = p_at + d.g.h . 
Sendo A a área do fundo do vaso, o empuxo resultante no mesmo é:       F_res. = (p - p_at).A = d.g.h.A .

O produto  h.A  nos dá o volume de líquido que cabe no vaso cilíndrico imaginário de base A e altura h (indicado em linha tracejada); portanto o empuxo no fundo é igual ao peso do líquido que preenchesse aquele vaso imaginário. Assim sendo, o empuxo no fundo é maior do que o peso do líquido realmente presente, o que à primeira vista pode parecer absurdo. 
Para a elucidação do problema basta ter em conta as forças que as regiões oblíquas da parede do vaso exercem sobre o liquido, e que admitem componentes verticais dirigidas para baixo.

Aparelho de HALDAT - Um suporte S mantém fixo um cilindro C ao qual se adapta por cima um vaso V (parafusado no cilindro), por baixo há um disco D (simplesmente encostado). O disco está suspenso ao travessão de uma balança. O vaso V pode ser substituído por outros de formas diferentes e alturas iguais.

Exemplo 5 - Em uma piscina completamente cheia uma das faces laterais é um retângulo de base  b = 10,0 m e altura  h = 2,0 m. Adotar  g = 10,0 m/s². Determinar o empuxo efetivo na face considerada.

O centróide da face fica à profundidade  h/2 = 1,0 m. A pressão efetiva no centróide é  p_G = d.g.h/2 = 1 000 x 10,0 x 1,0 (S.I.); logo,  p_G = 10,0 x 10³ Pa. A área da face é  A = 20,0 m². A intensidade do empuxo efetivo é:  F = p_G.A = 10,0 x 10³ x 20,0 = 2,00 x 10⁵ N ~= 20 tf

Pressão atmosférica
Qualquer superfície horizontal que imaginarmos no ar atmosférico suporta o peso de todo o ar que lhe fica por cima; daí resulta a pressão atmosférica. Em cada ponto, a pressão atmosférica se exerce com igual intensidade qualquer que seja a direção em que se faça a sua medição --- na linguagem simplificada diz-se que "a pressão se exerce igualmente em todas as direções". No tampo de uma mesa as forças decorrentes da pressão atmosférica agem de cima para baixo na face superior, de baixo para cima na face inferior --- pressão não se representa com "setas"; as forças decorrentes dessas pressões sim.

Por ser relativamente simples a medição da pressão atmosférica  p , a equação precedente (26) e outras mais perfeitas se prestam excelentemente para a determinação de altitudes; o processo é chamado nivelamento barométrico. Levando em conta a temperatura absoluta  T  do ar, aplica-se com boa aproximação a formula:

h = 29,4.T.(Dp/p)   ...(27)

sendo  h  o desnível entre dois pontos nos quais a diferença das pressões é  Dp ;  p  e  T  são pressão e temperatura medias; h  pode atingir alguns quilômetros.

Barômetro aneróide. A pressão atmosférica pat age sobre a mem- brana ondulada M; a deformação desta se transmite ao ponteiro P.	Pressão atmosférica em função da altitude; h em km, p em cm de Hg.
Vacuômetro barométrico  (de Regnault): p = d.g.y	(a) Manômetro a ar livre:  p = pat + d.g.y . (b) Manômetro a ar comprimido. Aplica-se a lei de Boyle-Mariotte.

Equilíbrio relativo
Caso comum de equilíbrio relativo é o de um tanque em translação retilínea com aceleração constante, e contendo um fluido (detalhes sobre Equilíbrio relativo pode ser visto no artigos  Vertical Para Cima - Mecânica de Newton em referenciais acelerados e O empuxo de Newton). Esclareçamos o assunto, nesse caso comum, mediante um exemplo.

Exemplo 6 - Um carro-tanque, parcialmente cheio de um líquido homogêneo, percorre com aceleração constante a um trecho reto e horizontal de estrada, Determinar o ângulo j que a superfície livre do líquido, suposto em equilíbrio, forma com o horizonte.

A força  m.a  agente no corpúsculo (cuja massa é m) é resultante da força de campo m.g (de gravidade) e da força de contato N (do líquido subjacente), Com |a| = a , a poligonal vetorial nos dá:

tgj = m.a/m.g       portanto      tgj = a/g

Em movimento uniforme (a = 0) resulta j = 0  (superfície livre horizontal).

Exemplo 7 - O carro-tanque do exercício anterior é abandonado em um plano inclinado perfeitamente liso e que forma com o horizonte o ângulo q .  Determinar o ângulo j que a superfície livre do líquido forma com o horizonte, em sua configuração de equilíbrio (relativo).

Projetando as forças sobre uma reta de maior declive do plano, obtemos:

m.g.cos(90^o - q) - N.sen(q - j) = m.a
m.g.senq - N.sen(q - j) = m.g.senq
sen(q - j) =0
j = q

Isto é: A superfície livre do líquido é paralela ao plano inclinado.

Referencial acelerado - forças de inércia
O estudo do equilíbrio relativo pode simplificar-se mediante adoção de referencial preso no vaso e introdução das forças de inércia correspondentes.

Em relação ao vaso, o fluido se comporta como se a aceleração da gravidade fosse  g' = g - a , sendo g a aceleração local da gravidade, a  a aceleração do vaso em sua translação retilínea, ambas em relação a Terra. Por exemplo, deixa-se cair livremente uma lata contendo água, fundo em baixo, Despreza-se a resistência do ar. A aceleração do sistema é  a = g , portanto em relação a lata a água se comporta como se a aceleração da gravidade fosse g’ = 0 . Conclui-se que a pressão da água é a mesma em todos os seus pontos, igual a pressão atmosférica, Se a lata fosse furada no fundo e nos flancos, constataríamos que a água não se escoa pelos furos, Faça a experiência!

Retomemos aos exemplos precedentes, adotando referencial fixo no vaso.

Exemplo 8 - No exemplo 6, com referencial fixo no vaso o corpúsculo P se apresenta em repouso sob a ação das três forças esquematizadas em (a).

A força de contato N equilibra a resultante  m.g'  das forças de gravidade m.g e de inércia  -m.a, conforme o esquema (b). Em relação ao vaso, o líquido se comporta como se a força de gravidade fosse m.g' e a aceleração da gravidade fosse  g' = g - a ; resulta novamente:  tgj = a/g .

No exemplo 7 , o líquido se comporta, em relação ao vaso, como se a força de gravidade fosse m.g' = m.g - m.a  com  |a| = g.senq ; resulta  g' perpendicular ao plano inclinado. Portanto a superfície livre do líquido, perpendicular g' , é paralela ao plano inclinado.

Outro caso interessante é o de um vaso que gira uniformemente em torno de um eixo vertical.

Uma partícula P na superfície livre do líquido contido apresenta-se em equilíbrio relativo sob a ação do peso m.g, da força centrifuga de inércia  -m.a  e da força de conta to N exercida pelo líquido subjacente; esta é normal a superfície livre em P. A superfície livre toma a forma de um parabolóide de revolução tanto mais aprofundado quanto mais veloz for a rotação. O fenômeno encontra aplicação na medição de velocidade angu lar, por exemplo em centrífugas; o vaso é um tubo de vidro coaxial. com o eixo da centrífuga e solidário a ele; ao nível do vértice do parabolóide lê-se a freqüência de revolução do eixo, numa escala gravada no tubo.

A seguir:   Impulsão e Lei de Arquimedes (Parte 4)