Fluidostática
Impulsão - Lei de Arquimedes - (parte 4)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Impulsão (Empuxo)
Seja dado um fluido pesante em equilíbrio absoluto; nenhuma restrição é imposta quanto a sua natureza (compressível ou incompressível, homogêneo ou heterogêneo). Consideremos em seu seio uma superfície imaginaria e fechada (S), envolvendo uma porção fluida de volume V. Neste corpo fluido --- como se ilustra abaixo, em (a) --- atuam a força de gravidade P_f (no baricentro G_f) e as forças de pressão exercidas pelo fluido ambiente (na superfície S).

Estando em equilíbrio o todo, está em equilíbrio cada uma de suas partes, e em particular a parte envolvida pela superfície (S). A resultante das forças de pressão do líquido ambiente é pois uma força I , que equilibra a força de gravidade P_f --- ilustração (b) ---; concluímos:

A resultante I das forças de pressão que o fluido ambiente aplica na superfície (S) é vertical, dirigida para cima, com linha de ação que passa pelo baricentro G_f do fluido envolvido pela superfície (S), e com intensidade igual ao peso do fluido envolvido.

Imaginemos que se substitua o fluido envolvido pela superfície (S) por um corpo C de peso P e baricentro G_f quaisquer, mas envolvido pela mesma superfície (S) --- ilustração (c). Esta substituição em nada afeta as forças de pressão exercidas sobre a superfície (S) pelo fluido ambiente; portanto, a resultante I das forças de pressão se conserva inalterada. Esta força I que o fluido ambiente aplica no corpo C é o empuxo resultante exercido no corpo e é denominada impulsão ou empuxo; seu ponto de aplicação G_f é denominado centro de impulsão.
Denomina-se fluido deslocado pelo corpo C o fluido que preenche, em equilíbrio, o espaço envolvido pela superfície (S), retirado o corpo C.

Lei de Arquimedes
Do que precede concluímos a proposição originalmente apresentada por Arquimedes (287 - 2l2 A.C.) como princípio:

Um fluido pesante em equilíbrio aplica sobre um corpo nele imerso uma impulsão de intensidade igual ao peso do fluido deslocado. O centro de impulsão coincide com o baricentro do fluido deslocado.

Temos portanto:                                    I = P_{fluido deslocado}
                                                                I = m_fl.desl..g
                                                                I = V_fl.desl..d_fl..g               ...(01)
A lei aplica-se a corpo imerso. Nem todo corpo banhado pelo fluido é imerso nele. Entende-se por corpo imerso em um fluido um corpo que, se fosse retirado do fluido, deixaria um vazio que o fluido invadiria atingindo uma situação de equilíbrio sem molhar novas superfícies.
A observância dessa condição (preencher todo o vazio e atingir situação de equilíbrio, sem molhar novas superfícies) é imprescindível para não cair no erro de aplicar a Lei de Arquimedes onde ela não cabe, com resultado paradoxal.

Verificação experimental da lei de Arquimedes
Para a verificação experimental da lei de Arquimedes lança-se mão de uma "balança hidrostática"; trata-se de uma balança de travessão, na qual um dos pratos é elevado e apresenta em baixo um gancho no qual se pode suspender um corpo. No prato elevado deposita-se um vaso cilíndrico V preenchido perfeitamente por um corpo cilíndrico C ; equilibra-se a balança com tara T . Mediante um fio leve suspende-se o corpo C ao gancho, deixando o vaso sobre o prato; evidentemente isto não afeta o equilíbrio da balança --- ilustração (a).

Em seguida coloca-se sob o prato elevado um vaso com água na qual corpo C fique completamente imerso; a água aplica uma impulsão I , que desequilibra a balança --- ilustração (b).
Enchendo com água o vaso V restabelece-se perfeitamente o equilíbrio --- ilustração (c) ---, portanto a impulsão I é compensada pelo peso da água que cabe no vaso V. Ora, o peso da água que cabe em V é igual ao peso da água deslocada pelo corpo C, donde se conclui a tese. A experiência pode ser realizada também com outros líquidos (querosene, óleo, mercúrio, soluções salinas etc.).

Exemplo 1 - Uma pedra no fundo de um rio desloca 3,0 litros de água. A massa de água deslocada é 3,0 kg; suposto g = 10 m/s², o peso da água deslocada é 30 N. A impulsão mede 30 N. Admitindo que a pedra tenha massa igual a 8,0 kg, seu peso é 80 N. O fundo do rio exerce sobre a pedra uma força de apoio de intensidade igual a 50 N. Ilustremos isso:

Paradoxo da Lei de Arquimedes 1- A seco apóia-se o cubo C, de aresta I, no fundo do vaso V. As faces em contato se casam perfeitamente. Verte-se água no vaso; por hipótese, ela não se insinua por entre a base do cubo e o fundo do vaso. Nessas condições o corpo C é banhado mas não é imerso.

De fato, se ele fosse retirado a água invadiria o vazio e ficaria em equilíbrio, mas molharia uma superfície antes seca: a superfície antes coberta pela base do cubo. Portanto, a lei de Arquimedes não se aplica ao cubo. Mesmo que o cubo fosse levíssimo, por exemplo de ISOPOR, ele permaneceria apoiado no fundo, comprimido contra ele, não só por seu peso próprio (m.g), como pelo empuxo da água em sua face superior (p.I²), ou seja, (m.g + p.l²) é a reação de apoio por parte do fundo do vaso.  Se por leviandade ou curiosidade aplicássemos ao caso a Lei de Arquimedes (?), seria fácil concluir que o peso do sistema deveria ser inferior a soma dos pesos de suas partes (?).
Nota: p.I² é o produto da pressão pela área da face superior do cubo.

Paradoxo da Lei de Arquimedes 2- Numa face lateral de um vaso V pratica-se um recorte no qual se encaixa perfeitamente uma roda em forma de cilindro de revolução, por hipótese giratória com pouco atrito e sem deixar frestas por onde pudesse extravasar a água vertida no vaso.

Levianamente poderíamos aplicar a Lei de Arquimedes à roda. A água deslocada (?) é a que preencheria o espaço EAB; a qual despertaria a impulsão I que faria a roda girar em sentido horário sem modificação no sistema; ... teríamos construído um MOTO PERPÉTUO.
Resolvamos a questão.
A roda é banhada mas não imersa; se ela fosse retirada, a água não poderia preencher o espaço EAB em equilíbrio, pois ela se escoaria pelo recorte, Portanto a Lei de Arquimedes não se aplica ao caso. Completando a solução, mencionemos que o empuxo da água na roda tem uma componente horizontal H , e que o empuxo resultante é uma força F cuja linha de ação intercepta o eixo de revolução da roda: o momento dessa força em relação ao eixo é nulo, portanto essa força no pode por a roda a girar.

Recíproca da Lei de Arquimedes
Pode-se demonstrar a recíproca da Lei de Arquimedes:

Quando se imerge um corpo em um fluido em equilíbrio sob a ação da gravidade, o empuxo resultante do fluido sobre o vaso que o contém sofre acréscimo igual ao peso do fluido deslocado.

Verificação experimental da recíproca da Lei de Arquimedes -
(a) A carga m equilibra os vasos v e V e a água que preenche V.

(b) Imergindo o sólido S transborda para v uma quantidade de água de volume igual ao do sólido. A balança se desequilibra.
(c) Despejada a água de v e reposto este vaso, o equilíbrio se restabelece. Portanto o empuxo que o fundo de V recebe, devido ao sólido imerso S, equivale ao peso da água que havia transbordado para v.

A lei de Arquimedes encontra inúmeras aplicações práticas: natação, embarcações, cais flutuantes, bóias, registros de bóia para caixas d’água e carburadores, aeróstatos, tiragem de chaminés, ventilação de recintos etc.; em laboratórios, aplica-se na determinação das densidades de sólidos e líquidos.

A explicação do vento é baseada na Lei de Arquimedes: A radiação solar aquece o solo e a água, e em contato com estes também o ar se aquece. Ao aquecer-se, o ar se expande e sofre diminuição de densidade. Onde o ar for mais quente, a impulsão supera o peso, portanto o ar quente forma corrente ascendente (como o ar que sobe junto com a fumaça numa fogueira). O ar ambiente mais frio invade a região de onde se eleva o ar quente: forma-se o vento.

Fora os ventos de âmbito local há a considerar ventos que afetam o globo terrestre em conjunto e são da maior importância no ciclo das águas: de modo geral as correntes de ar se dirigem dos pólos para o equador junto ao solo, e do equador para os pólos em grandes altitudes. O vento rasteiro vai se enriquecendo de umidade (o que contribui para reduzir a densidade do ar); a corrente elevada arrasta essa umidade para as regiões polares, onde ela congela.

Encarada desse modo a Terra funciona como gigantesco motor térmico tendo o Sol como fonte quente, o espaço ambiente como fonte fria e o ar atmosférico como fluido operante.

Peso aparente e massa aparente
Denomina-se peso aparente de um corpo imerso em um fluido à diferença entre seu peso P e a intensidade I da impulsão nele exercida pelo fluido:

P_ap = P - I     ...(02)

O peso aparente mede a resultante das forças de gravidade e de impulsão agentes no corpo; portanto ela mede também a equilibrante das forças de gravidade e de impulsão.  Tem-se  P_ap > 0  quando P > I , e  P_ap < 0 quando P < I.

Um corpo abandonado em repouso no seio de um fluido vai ao fundo (acelerado) quando seu peso aparente é positivo (a), aflora (acelerado) quando seu peso aparente é negativo (b) e permanece estacionário (aceleração nula) quando seu peso aparente é nulo (c).

Entende-se por massa aparente de um corpo o quociente de seu peso aparente pela intensidade da aceleração local da gravidade:

m_ap = P_ap/g      ...(03)

Dividindo a igualdade (02) membro a membro por g e, tendo-se em vista a (3), obtemos:

m_ap = m - m_fl.desl.   ...(04)

Exemplo 2 - A pedra do exemplo 1  tem peso igual a 80 N e sofre impulsão de 30 N. O peso aparente da pedra é + 50 N.  Isto significa que a força de gravidade e a impulsão agentes na pedra têm resultante dirigida para baixo (pois P > I), com intensidade igual a 50 N. Significa também que a equilibrante da pedra é uma força dirigida para cima, com intensidade igual a 50 N. Ilustração abaixo, à esquerda.

Exemplo 3 - É dada uma lata vazia hermeticamente fechada, com massa m = 1,0 kg e volume V = 20 l . Determinar a intensidade F da força que é preciso aplicar à lata, para mantê-la completamente submersa em água. Adotar g = 10 m.s^-2. Ilustração acima, à direita.

O diagrama vetoriaL nos dá:     F = I - P
O volume da água deslocada é V; sendo d a densidade absoluta da água, temos:  I = V.d_a.g
Por outro lado, temos:    P = m.g
Finalmente:    F = V.d_a.g - m.g    portanto    F = (V.d_a - m).g    ou  F = (20x10^-3x1000 -1) x 10  unidades SI
Então     F = 190 N dirigida para baixo.
NOTA - O peso aparente da lata submersa é P_ap = - 190 N.

Corpos flutuantes --- metacentro
Um corpo se diz flutuante quando ele se encontra em equilíbrio sob as ações conjuntas da força de gravidade e da impulsão somente. Um balão flutua no ar, um navio flutua parcialmente imerso em água, um submarino pode flutuar totalmente imerso em água.

Para um corpo flutuante é satisfeita a condição:     P = I                ...(05)
O peso é igual à impulsão (empuxo), portanto o peso aparente do corpo flutuante é nulo. 

Dividindo a igualdade (05) membro a membro por g resulta:    m = m_fl.desl.    ...(06)
A massa de um corpo flutuante é igual a massa do fluido que ele desloca.

Para corpos de densidade média elevada em confronto com a dos gases, a impulsão destes pode ser desprezada, via de regra.

Dado um corpo flutuante em equilíbrio, o baricentro G do corpo e o centro de impulsão G_fl situam-se numa mesma vertical.

 Inclinando-se o corpo ligeiramente, o centro de impulsão geralmente se desloca; a vertical pelo novo centro de impulsão intercepta a reta l em um ponto M denominado metacentro.

O equilíbrio do corpo flutuante é estável quando M se situa acima de G; instável quando M se situa abaixo de G; indiferente quando M coincide com G .

Exemplo 4 - Um cubo de aresta a = 20 cm e densidade absoluta  d = 0,80 g.cm^-3  flutua em água (d_a = 1 g.cm^-3 ), apresentando duas faces horizontais. Determinar a altura imersa h.

Densímetros e areômetros
Densímetro de massa constante é instrumento que, posto a flutuar em um líquido, permite ler no ponto de afloramento a densidade absoluta do fluido (ilustração abaixo, à esquerda).
Areômetro é instrumento que funciona igualmente; mas que ao invés da densidade dá um número que guarda certa correspondência com a densidade; conforme a natureza da lei de correspondência distinguem-se “graus Baumé”, “graus Gay-Lussac” etc.

Alcoômetro é instrumento análogo, dando a riqueza alcoólica de misturas álcool + água. Tais densímetros são corpos ocos de vidro compreendendo um bulbo lastrado que se prolonga em uma baste cilíndrica. A escala é desenhada em um cilindro de papel contido na haste.

Densímetros ou areômetros de volume constante afloram sempre ao mesmo nível, para isso possuem cesto imerso e/ou prato emerso que permite adicionar carga. O areômetro de Fahrenheit tem prato emerso [ilustração acima (a)]; serve para determinar a densidade de líquidos. O areômetro de Nicholson tem prato emerso e cesto imerso [ilustração acima (b)]; destina-se essencialmente à determinação da densidade de sólidos.

Exemplo 5 - Certo densímetro de massa constante tem massa m. A secção transversal da haste é s e o volume do instrumento é V.

Flutuando em equilíbrio em líquido homogêneo, a parte emersa da haste tem comprimento y . Exprimir a densidade absoluta d do liquido.

A massa do instrumento é igual a massa de líquido deslocado: m = m_fl.desl. = (V -s.y).d  ; logo  d = m/(V-s.y).

Redução das pesadas ao vácuo
Consideremos uma balança de braços iguais na qual um corpo de massa X e densidade absoluta x é equilibrado por massores de massa M e densidade absoluta m. Seja a a densidade absoluta do ar atmosférico.

Os volumes são X/x para o corpo a pesar e M/m para os massores.

A balança se apresenta em equilíbrio sob a ação dos pesos aparentes do corpo a pesar e dos massores, e que são iguais entre si:

A correção das pesadas com respeito à impulsão do ar é imprescindível quando se pesam corpos cuja densidade é comparável à do ar (caso de gases e vapores). Para corpos de densidade relativamente elevada (líquidos e sólidos maciços) a correção é dispensável, via de regra; sendo  x >> a  tem-se a/x << 1, e então pode-se escrever, com boa aproximação:

Em particular, quando  x = m, resulta  X = M; é o que acontece, por exemplo, quando se pesa um corpo de latão mediante massores de latão.

Exemplo 6 - Em uma balança de braços iguais, a massa que equilibra certo corpo é M = 200,00 g. A densidade absoluta é m = 9,0 g/cm³ para os massores, x = 3,0 g/cm³ para o corpo a pesar, a = 1,2 x 10^-3 g/cm³ para o ar. Determinar a massa X do corpo.

a[(1/x) - (1/m)] = 1,2x10^-3x[(1/3,0) - (1/9,0)] = 2,64 x 10^-4

Resulta:                                X = (1 + 2,64x10^-4)x200,0    ou     X = 200,05 g

Aeróstatos
Entende-se por aeróstato um balão que flutua no ar. Ele é constituído por um invólucro leve e impermeável encerrando um gás menos denso do que o ar atmosférico; este gás pode ser hidrogênio, hélio; gás de iluminação etc., ou também ar quente. Excluímos de nossas considerações o estudo dos balões a ar quente, e admitimos que a temperatura do gás encerrado seja igual a do ar ambiente. Fazemos abstração de correntes de ar na atmosfera.

Ao ser libertado junto ao solo, o balão geralmente se apresenta flácido por não ser preenchido completamente pelo gás; nestas condições a pressão do gás de enchimento é igual à pressão atmosférica. Por serem iguais as pressões e as temperaturas do gás aprisionado e do ar atmosférico, suas densidades absolutas  d_g e d_a  guardam entre si uma relação  d_r  constante; esta relação é a densidade do gás em relação ao ar:

d_r = d_g/d_a   ...(09)

Ao elevar-se na atmosfera, o balão encontra regiões onde a pressão atmosférica é cada vez menor. Enquanto o balão for flácido, a pressão do gás encerrado se iguala à pressão atmosférica, o balão aumentando de volume gradativamente.

Atingindo certa altitude, o invólucro se retesa e o gás nele contido ocupa o volume máximo  V_m  que o invólucro comporta; uma elevação suplementar pode então determinar a ruptura do balão, devido ao excesso de pressão interna relativamente à externa, que é cada vez menor. Daí a conveniência de uma válvula que de escapamento ao gás excedente, não permitindo que a pressão interna supere sensivelmente a pressão atmosférica.

Entende-se por força ascensional do gás  a diferença F_asc.gás entre a impulsão I do ar sobre o balão, e o peso P_g do gás contido nele:

F_asc.gás = I - P_g    ...(10)

Entende-se por força ascensional do balão a diferença   F_asc.bal.  entre a impulsão I e o peso total  P_b do balão (gás + invólucro + gôndola + carga).

F_asc.bal. = I - P_b     ...(11)

O sentido do movimento do balão é determinado pela força ascensional do balão:  com  F_asc.bal. > 0  o balão ascende, com  F_asc.bal. = 0 o balão permanece em equilíbrio estático, com  F_asc.bal. < 0  o balão baixa.

O peso global do invólucro, da gôndola e de seu conteúdo é  P = P_b - P_g ; de (10) e (11) vem :
F_asc.bal. = F_asc.gás - P; o balão sobe enquanto for  F_asc.gás > P.

Como vimos, há dois regimes de ascensão a considerar:

1) balão flácido: a pressão interna é igual a externa; o volume V do balão aumenta durante a ascensão; as densidades absolutas do gás e do ar diminuem, mas a razão delas (densidade relativa do gas) é constante; a massa de gás é constante. Temos:

I = V.d_a.g = V.(d_g/d_r).g  ;  P_g = V.d_g.g

F_asc.gás = I - P_g = V.d_g.g.[(1/d_r) - 1] = m_g.g.[(1/d_r) - 1]     ...(12)

Todas as grandezas que figuram no último membro são constantes, portanto também a força ascensional do gás é constante.

2) balão retesado: o volume V_m do gás é constante; a pressão interna se mantém igual à externa graças ao escapamento de gás; as densidades absolutas do gás e do ar diminuem mantendo razão constante; a massa  m_g'  de gás diminui. Temos:

F_asc.gás = V_m.d_g.g.[(1/d_r) - 1] = m_g'.g.[(1/d_r) - 1]     ...(13)

portanto a força ascensional do gás diminui durante a ascensão.

0 balão atinge seu “teto” quando for  F_asc.gás = P.  Descarregando lastro, o peso  P diminui e o balão continua a subir.

O balão desce quando  F_asc.gás < P ; então ele fica sujeito a pressão atmosférica crescente; o volume do balão diminui, logo ele fica flácido continua sendo  F_asc.gás < P  e o balão baixa ao solo se não for descarregado lastro.

Nota - A aplicação das equações apresentadas exige a determinação prévia das densidades absolutas do gás de enchimento e do ar nas condições vigentes de pressão e temperatura; para isto, torna-se necessário recorrer as leis gerais dos gases, que são estudadas em Termologia.

Segue: Tensão superficial (Parte 5)