Fluidodinâmica
(Resistência dos fluidos - parte 1)
(Adequado aos alunos do Ensino Médio)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Regimes de escoamento de um fluido
Consideremos um vaso V ao qual está ligado um tubo T. Dentro do tubo façamos desembocar um fino tubo  t  ligado a um vaso v contendo solução aquosa de permanganato de potássio (cor vermelha arroxeada). Tendo enchido o vaso V com água ate certo nível, deixemos que ela se escoe pelo tubo T, alimentando o vaso V simultaneamente de modo que o nível d’água no mesmo não mude; ao mesmo tempo, deixemos que se escoe lentamente a solução de água colorida. Podem apresentar-se dois casos nitidamente distintos, a saber:

a) O nível d’água no vaso V é relativamente baixo. A água colorida descreve uma trajetória estável, cuja forma acompanha a do tubo de escoamento da água (seja ele reto ou curvo); é o escoamento laminar.

b) O nível d’água no vaso V é relativamente alto. A água colorida descreve trajetórias que variam rapidamente de forma,espalhando-se por toda a água que se escoa; é o escoamento turbilhonar.

O regime laminar é sereno; as partículas do fluido descrevem trajetórias invariáveis, o fluido podendo ser entendido como composto de lâminas de formas definidas deslizando umas sobre as outras; este regime se estabelece em velocidades relativamente baixas.

O regime turbilhonar é, como diz o nome, turbulento; as partículas do fluido descrevem trajetórias que variam de instante a instante; este regime se estabelece em velocidades relativamente altas.

Nota: Para um certo intervalo de variação do nível da água no vaso V, o regime de escoamento pode ser laminar ou turbilhonar, mudando de um para outro espontaneamente, sem causa aparente. Nestas condições observa-se que a velocidade de escoamento é maior no regime laminar do que no turbilhonar; portanto a resistência ao escoamento é maior no regime turbilhonar do que no laminar.

Viscosidade
Consideremos um vaso amplo contendo glicerina em duas camadas, sendo uma delas tingida com um corante (ilustração abaixo). Mergulhemos na glicerina uma placa de vidro vertical, como se ilustra em (a). Quando puxarmos esta placa para cima, observaremos que a camada inferior de glicerina acompanha parcialmente o movimento da placa (b). Esta experiência revela a ação de forças que arrastam o fluido no sentido do movimento da placa.

No fluido, a lamina elementar adjacente à placa adere a esta e acompanha-a em seu movimento; a lamina elementar seguinte desliza sobre a primeira, apresentando velocidade menor que a da placa; quanto mais distante da placa for a lamina líquida considerada, tanto menor é sua velocidade.

O fluido pode ser considerado em laminas paralelas à placa, cada uma deslizando sobre as contíguas, sendo arrastada pela mais veloz e arrastando a mais lenta. O dito aplica-se também a fluidos gasosos.

Generalizando, consideremos um fluído em escoamento laminar com velocidade variável de lamina para lâmina (ilustração abaixo). Seja Dx a espessura de uma tal lâmina, as velocidades de escoamento em suas faces sejam v e v + Dv. Na lâmina em questão, consideremos uma região L cujas faces apresentam área A. Nestas faces as lâminas contíguas exercem forças normais (de pressão) e tangenciais (de cisalhamento); interessam-nos estas últimas.

No elemento L, a lamina contígua mais veloz exerce uma força F a favor do movimento, ao passo que a lamina contígua mais lenta exerce a força - F contrária ao movimento.
Em analogia com as forças de atrito entre sólidos, essas forças tangenciais se opõem ao deslizamento das laminas umas sobre as outras, agindo com tendência a igualar as velocidades delas, opondo-se às mais velozes e arrastando as mais lentas, Essas forcas tangenciais agentes entre lâminas fluidas contíguas são denominadas forças de atrito interno, ou forças de viscosidade.

Pondo-se a girar um copo com água em torno de seu eixo de revolução, pouco a pouco toda a água adquire o movimento do copo devido as forças de viscosidade que se exercem entre as lâminas tubulares concêntricas de água.

Na extensão Dx medida perpendicularmente à velocidade, esta apresenta o incremento Dv; a grandeza Dv/Dx é denominada “gradiente de velocidade”.

Deve-se a Newton (1687) a lei que rege as forças em questão:

As forças de resistência viscosa agentes nas faces de uma lamina têm intensidade proporcional à área das faces, e ao gradiente de velocidade entre elas:

Esta lei é tanto mais rigorosa quanto menor for Dx. O símbolo h representa uma grandeza física denominada coeficiente de viscosidade dinâmica, ou simplesmente viscosidade do fluido em questão; tem-se

Em homenagem a Poiseuille, a unidade CGS de viscosidade é denominada poise (símbolo P); é muito usual o submúltiplo centi-poise (cP), que é sensivelmente igual à viscosidade da água a 20 ^oC.

“Poise é a viscosidade de um fluido no qual se exercem forças tangenciais de um dina em faces paralelas de áreas iguais a um centímetro quadrado, quando o gradiente de velocidade entre elas mede um centímetro por segundo por centímetro de distancia entre as faces”.

As outras unidades coerentes de viscosidade são definidas de modo análogo, conforme se resume na tabela seguinte:

Quando a temperatura se eleva, o coeficiente de viscosidade diminui acentuadamente para os líquidos, aumenta para os gases, devido a causas distintas.
Do mesmo modo que as forças de atrito sólido (caso geral), as forças de viscosidade são agentes de dissipação de energia mecânica.

Nota: Chama-se viscosidade cinemática de um fluido o quociente da viscosidade dinâmica pela densidade absoluta do fluido.

Lei de Hagen-Poiseuille
Consideremos um fluido que se escoa por uma canalização; seja DV o volume escoado no tempo Dt. Entende-se por vazão do fluido, o volume escoado por unidade de tempo:

No escoamento através de um conduto o líquido adere às paredes que o limitam. Por causa do atrito interno aparecerá então uma variação de velocidade. Junto à parede do conduto a velocidade v dependerá somente da distância r ao eixo do conduto: v = v_(r) . O fenômeno foi investigado independentemente por Hagen e Poiseuille, que estabeleceram a lei (1840).
Consideremos um tubo cilíndrico de raio r e comprimento l (letra ele cursiva), pelo qual se escoa um fluido de viscosidade h em regime laminar; seja |Dp| a diferença de pressão do fluido no início e no fim do tubo. O fluido se escoa através do tubo no sentido da pressão decrescente.

 Sobre este volume de líquido atuam, paralelamente ao eixo do conduto, as seguintes forças:

1- A força de pressão, a saber, pressão vezes a seção: pr²p₁ - pr²p₂ = pr²(p₁-p₂) = pr²|Dp| .

2- A força de atrito : hA(dv/dr) = h.2prl(dv/dr) .

Num escoamento estacionário, devem ser iguais e diretamente opostas as forças de pressão e de atrito, logo, teremos: 

pr²|Dp| = - h.2prl(dv/dr)

ou

dv/dr = - (1/2h)(|Dp|/l).r

donde, integrando,

v = (1/4h)(|Dp|/l).(R² - r²)

sendo R o raio do conduto que aparece no resultado final como constante de integração, determinada pela condição: v_(R)= 0.
A distribuição das velocidades é representada, portanto, por uma parábola (ilustração acima, à direita).

Calcularemos ainda o volume total de líquido que escoa através do conduto na unidade de tempo (que, afinal, é a vazão, motivo dessa demonstração!).
Através da região entre r e r + dr, passa por segundo, uma quantidade de líquido que é igual a área (da seção transversal) da região multiplicada pela velocidade correspondente a r, v_(r). Seja df essa quantidade:

df = 2prdr.v_(r) = 2prdr(1/4h)(|Dp|/l).(R² - r²)

A quantidade de líquido que escoa através de todo o conduto, por segundo, ou seja a vazão f, resulta portanto igual a:

f = (integral de 0 a r_máx.)2prdr.v_(r)

donde

A grandeza |Dp|/l é denominada “gradiente de pressão”. A lei evidencia que a vazão é proporcional ao gradiente de pressão, ao inverso da viscosidade e à quarta potencia do raio útil do tubo.

Medindo-se a vazão, pode-se determinar a viscosidade de um líquido, a partir da lei de Hagen-Poiseuille. também os gases têm uma certa viscosidade, embora pequena. Maxwell descobriu que a viscosidade dos gases independe da pressão (veja experimento na Sala 07). Isto, entretanto, só é verdadeiro para pressões elevadas. A pressões bastante pequenas dá-se um decréscimo do atrito interno; algo assim, para o ar:

Excetuando os vasos maiores, a circulação sanguínea obedece à lei enunciada.

*** segue parte 2 - Resistência do meio ***