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Fluidodinâmica
(Resistência dos
fluidos - parte 1)
(Adequado aos alunos do
Ensino Médio)
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Regimes de escoamento de um fluido
Consideremos um vaso V ao qual está ligado um tubo T.
Dentro do tubo façamos desembocar um fino tubo t
ligado a um vaso v contendo solução aquosa de permanganato de potássio
(cor vermelha arroxeada). Tendo enchido o vaso V com água ate
certo nível, deixemos que ela se escoe pelo tubo T, alimentando o
vaso V simultaneamente de modo que o nível d’água no mesmo não
mude; ao mesmo tempo, deixemos que se escoe lentamente a solução de água
colorida. Podem apresentar-se dois casos nitidamente distintos, a saber:
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Regimes de escoamento:
(a) laminar; (b) turbilhonar
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a)
O nível d’água no vaso V é relativamente baixo. A água
colorida descreve uma trajetória estável, cuja forma acompanha a do tubo
de escoamento da água (seja ele reto ou curvo); é o escoamento
laminar.
b)
O nível d’água no vaso V é relativamente alto. A água
colorida descreve trajetórias que variam rapidamente de
forma,espalhando-se por toda a água que se escoa; é o escoamento
turbilhonar.
O
regime laminar é sereno; as partículas do fluido descrevem trajetórias
invariáveis, o fluido podendo ser entendido como composto de lâminas de
formas definidas deslizando umas sobre as outras; este regime se
estabelece em velocidades relativamente baixas.
O
regime turbilhonar é, como diz o nome, turbulento; as partículas do
fluido descrevem trajetórias que variam de instante a instante; este
regime se estabelece em velocidades relativamente altas.
Nota:
Para um certo intervalo de variação do nível da água no vaso V,
o regime de escoamento pode ser laminar ou turbilhonar, mudando de um para
outro espontaneamente, sem causa aparente. Nestas condições observa-se
que a velocidade de escoamento é maior no regime laminar do que no
turbilhonar; portanto a resistência ao escoamento é maior no regime
turbilhonar do que no laminar.
Viscosidade
Consideremos um vaso amplo contendo
glicerina em duas camadas, sendo uma delas tingida com um corante (ilustração
abaixo). Mergulhemos na glicerina uma placa de vidro vertical, como se
ilustra em (a). Quando puxarmos esta placa para cima, observaremos que a
camada inferior de glicerina acompanha parcialmente o movimento da placa
(b). Esta experiência revela a ação de forças que arrastam o fluido no
sentido do movimento da placa.
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Viscosidade - ação
das forças
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No
fluido, a lamina elementar adjacente à placa adere a esta e acompanha-a
em seu movimento; a lamina elementar seguinte desliza sobre a primeira,
apresentando velocidade menor que a da placa; quanto mais distante da
placa for a lamina líquida considerada, tanto menor é sua velocidade.
O
fluido pode ser considerado em laminas paralelas à placa, cada uma
deslizando sobre as contíguas, sendo arrastada pela mais veloz e
arrastando a mais lenta. O dito aplica-se também a fluidos gasosos.
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(a) (b)
Velocidades de
escoamento - (a) água de um rio; (b) fluido em um tubo |
Generalizando,
consideremos um fluído em escoamento laminar com velocidade variável de
lamina para lâmina (ilustração abaixo). Seja Dx
a espessura de uma tal lâmina, as velocidades de escoamento em suas faces
sejam v e v + Dv.
Na lâmina em questão, consideremos uma região L cujas faces apresentam
área A. Nestas faces as lâminas contíguas exercem forças normais (de
pressão) e tangenciais (de cisalhamento); interessam-nos estas últimas.
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Forças de viscosidade
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No
elemento L, a lamina contígua mais veloz exerce uma força F a favor do
movimento, ao passo que a lamina contígua mais lenta exerce a força - F
contrária ao movimento.
Em analogia com as forças de atrito entre sólidos, essas forças
tangenciais se opõem ao deslizamento das laminas umas sobre as outras,
agindo com tendência a igualar as velocidades delas, opondo-se às mais
velozes e arrastando as mais lentas, Essas forcas tangenciais agentes
entre lâminas fluidas contíguas são denominadas forças de atrito
interno, ou forças de viscosidade.
Pondo-se
a girar um copo com água em torno de seu eixo de revolução, pouco a
pouco toda a água adquire o movimento do copo devido as forças de
viscosidade que se exercem entre as lâminas tubulares concêntricas de água.
Na
extensão Dx
medida perpendicularmente à velocidade, esta apresenta o incremento Dv;
a grandeza Dv/Dx
é denominada “gradiente de velocidade”.
Deve-se
a Newton (1687) a lei que rege as forças em questão:
As
forças de resistência viscosa agentes nas faces de uma lamina têm
intensidade proporcional à área das faces, e ao gradiente de velocidade
entre elas:
Esta
lei é tanto mais rigorosa quanto menor for Dx.
O símbolo h
representa uma grandeza física denominada coeficiente
de viscosidade dinâmica, ou simplesmente viscosidade do fluido
em questão; tem-se
Em
homenagem a Poiseuille, a unidade CGS de viscosidade é denominada poise
(símbolo P); é muito usual o submúltiplo centi-poise (cP), que é
sensivelmente igual à viscosidade da água a 20 oC.
“Poise
é a viscosidade de um fluido no qual se exercem forças tangenciais de
um dina em faces paralelas de áreas iguais a um centímetro quadrado,
quando o gradiente de velocidade entre elas mede um centímetro por
segundo por centímetro de distancia entre as faces”.
As
outras unidades coerentes de viscosidade são definidas de modo análogo,
conforme se resume na tabela seguinte:
| |
CGS |
SI |
MTS |
MkgfS |
| F |
1 d |
1 N |
1 sn |
1 kgf |
| A |
1 cm2 |
1 m2 |
1 m2 |
1 m2 |
| Dv/Dx |
1 s-1 |
1 s-1 |
1 s-1 |
1 s-1 |
| h |
d/cm2.s-1 |
N/m2.s-1 |
sn/m2.s-1 |
kgf/m2.s-1 |
| nos
proporc. |
10 |
1 |
103 |
9,8.103 |
Quando
a temperatura se eleva, o coeficiente de viscosidade diminui
acentuadamente para os líquidos, aumenta para os gases, devido a causas
distintas.
Do mesmo modo que as forças de atrito sólido (caso geral), as forças de
viscosidade são agentes de dissipação de energia mecânica.
| Coeficiente
de viscosidade - Líquidos e Gases |
| Líquidos |
q
(oC) |
h
(cP) |
Gases |
q
(oC) |
h
(cP) |
| água |
0 |
1,80 |
Ar |
0 |
0,01733 |
| água |
20 |
1,006 |
Ar |
100 |
0,0202 |
| água |
100 |
0,29 |
H2 |
0 |
0,0085 |
| Éter sulfúrico |
20 |
0,24 |
He |
0 |
0,0189 |
| Mercúrio |
20 |
1,55 |
A |
0 |
0,0210 |
| Glicerina anidra |
20 |
1390 |
O2 |
0 |
0,0192 |
| Óleo de rícino |
20 |
1200 |
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|
Nota:
Chama-se viscosidade cinemática de um fluido o quociente da
viscosidade dinâmica pela densidade absoluta do fluido.
Lei
de Hagen-Poiseuille
Consideremos um fluido que se escoa por uma canalização; seja DV
o volume escoado no tempo Dt.
Entende-se por vazão do fluido, o volume escoado por unidade de
tempo:
No
escoamento através de um conduto o líquido adere às paredes que o
limitam. Por causa do atrito interno aparecerá então uma variação de
velocidade. Junto à parede do conduto a velocidade v dependerá somente da
distância r ao eixo do conduto: v = v(r) . O fenômeno
foi investigado independentemente por Hagen
e Poiseuille, que estabeleceram a lei
(1840).
Consideremos um tubo cilíndrico de raio r e comprimento l
(letra ele cursiva),
pelo qual se escoa um fluido de viscosidade h em regime laminar; seja |Dp|
a diferença de pressão do fluido no início e no fim do tubo. O fluido
se escoa através do tubo no sentido da pressão decrescente.
Sobre
este volume de líquido atuam, paralelamente ao eixo do conduto, as
seguintes forças:
1-
A força de pressão, a saber, pressão vezes a seção: pr2p1
- pr2p2
= pr2(p1-p2)
= pr2|Dp|
.
2-
A força de atrito : hA(dv/dr)
= h.2prl(dv/dr)
.
Num
escoamento estacionário, devem ser iguais e diretamente opostas as forças
de pressão e de atrito, logo, teremos:
pr2|Dp|
= - h.2prl(dv/dr)
ou
dv/dr
= - (1/2h)(|Dp|/l).r
donde,
integrando,
v
= (1/4h)(|Dp|/l).(R2
- r2)
sendo
R o raio do conduto que aparece no resultado final como constante de
integração, determinada pela condição: v(R)= 0.
A distribuição das velocidades é representada, portanto, por uma
parábola (ilustração acima, à direita).
Calcularemos
ainda o volume total de líquido que escoa através do conduto na unidade de
tempo (que, afinal, é a vazão, motivo dessa demonstração!).
Através da região entre r e r + dr, passa por segundo, uma quantidade de
líquido que é igual a área (da seção transversal) da região
multiplicada pela velocidade correspondente a r, v(r). Seja df
essa quantidade:
df
= 2prdr.v(r)
= 2prdr(1/4h)(|Dp|/l).(R2
- r2)
A
quantidade de líquido que escoa através de todo o conduto, por segundo, ou
seja a vazão f,
resulta portanto igual a:
f
= (integral de 0 a rmáx.)2prdr.v(r)
donde
A
grandeza |Dp|/l
é denominada “gradiente de pressão”. A lei evidencia que a vazão
é proporcional ao gradiente de pressão, ao inverso da viscosidade e à
quarta potencia do raio útil do tubo.
Medindo-se
a vazão, pode-se determinar a viscosidade de um líquido, a partir da lei
de Hagen-Poiseuille. também os gases têm uma certa viscosidade, embora
pequena. Maxwell descobriu que a viscosidade dos gases independe da pressão
(veja experimento na Sala 07). Isto, entretanto, só é verdadeiro para
pressões elevadas. A pressões bastante pequenas dá-se um decréscimo do
atrito interno; algo assim, para o ar:
Excetuando os vasos maiores, a
circulação sanguínea obedece à lei enunciada.
***
segue parte 2 - Resistência
do meio ***
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