Fluidodinâmica
(Resistência dos fluidos - parte 2)
(Adequado aos alunos do Ensino Médio)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Resistência do meio
Já conhecemos as leis do atrito sólido; voltemos nossa atenção para a resistência dos fluidos.
Todo corpo que se move no seio de um fluido, relativamente a este, experimenta por parte do fluido a ação de forças que não se exercem quando o corpo se apresenta em repouso relativamente ao fluido. O conhecimento que se tem destas forças é fruto de investigações experimentais. Por exemplo, pêndulo que oscila no ar sem receber energia, executa oscilações amortecidas: a amplitude diminui ate tornar-se imperceptível.

Geralmente o fluido exerce no móvel uma força F e um conjugado C. Da força F, o componente F_r segundo a direção da velocidade é sempre oposta a esta e é denominada resistência ao movimento; o componente F_s perpendicular à velocidade é denominada sustentação.

Em vôo horizontal, o peso aparente de um avião é igual à intensidade da sustentação. Para o estudo do assunto em questão são úteis alguns conceitos que passamos a introduzir.

Denomina-se linha mestra do móvel o lugar dos pontos comuns ao móvel e a um cilindro de geratrizes paralelas à velocidade e tangentes ao móvel. A linha mestra separa no móvel a região anterior denominada proa, da região posterior denominada popa.

Denomina-se secção mestra do móvel a superfície obtida projetando a linha mestra sobre um plano perpendicular à velocidade.

Para a determinação da F e C não há teoria geral; em alguns casos particulares o problema pode ser resolvido mediante formulas empíricas mais ou menos aproximadas; os demais casos só se resolvem aplicando a teoria dos modelos (canal hidráulico, túnel aerodinâmico).

A resistência dos fluidos se exerce sempre com dissipação de energia.

Regimes de resistência
Ao passar o móvel, o fluido é deslocado por ele, saindo do espaço que esta sendo invadido e refluindo para o espaço que esta sendo desocupado.
As forças devidas ao movimento de um corpo, relativamente a um fluido, decorrem de duas causas, a saber:

a) Viscosidade do fluido, que dá nascimento a forças de atrito interno no fluido; forças de atrito entre o móvel e o fluido não se desenvolvem, pois a película adjacente ao móvel adere a este, acompanhando-o em seu movimento.

b) Inércia do fluido, manifestando-se nos choques do móvel com as partículas que constituem o fluido. O efeito da inércia está intimamente ligado à densidade e, em altas velocidades, à compressibilidade do fluido.

Consideram-se baixas aquelas velocidades do moveI para as quais são desprezíveis as acelerações das partículas do fluido e conseqüentemente, também, as forças resultantes que agem nelas; o regime é laminar; nestas condições a resistência ao movimento é determinada preponderantemente pela viscosidade do fluido; ela é denominada resistência viscosa.

Em velocidades maiores, já não são desprezíveis as acelerações das partículas do fluido, nem as correspondentes forças aceleradoras; portanto são consideráveis as variações de energia cinética das partículas do fluido; o regime é turbilhonar; a correspondente resistência do fluido ao movImento é dita resistência dinâmica.
Distinguem-se três regimes de resistência dinâmica: a resistência hidráulica, a resistência trans-sônica e a resistência balística.

Resistência viscosa - Lei de Stokes
A resistência viscosa é proporcional à velocidade relativa; simbolicamente:

F = - c.v  ......... (5)

onde  v  e  F recebem sinal positivo ou negativo como em Cinemática, O símbolo  c  representa o coeficiente de resistência viscosa para o caso; ele depende da natureza do fluido, da forma do móvel e de sua posição.

A resistência é viscosa em velocidades inferiores a 2 m/s no ar, e inferiores a 0,03 m/s na água.

Consideremos uma esfera pequena (bola de gude) movendo-se com baixa velocidade em um fluido viscoso. O fluido exerce na esfera uma força oposta ao movimento, obedecendo a Lei de Stokes
(1850):

A resistência do fluido ao movimento da esfera é proporcional ao raio desta, à sua velocidade, e à viscosidade do fluido:

|F| = 6p.h.r.v   ......... (6)

Esta lei rege o movimento das gotículas de neblina no ar, das pequenas bolhas gasosas nas bebidas gaseificadas, das partículas sólidas em suspensão nos líquidos e nos gases. A determinação da carga elétrica elementar foi feita mediante a memorável experiência de Millikan, lançando mão da lei apresentada.

Resistência dinâmica - Lei de Newton
Quando a resistência que o fluido oferece ao movimento em seu seio deixa de ser viscosa, ela é dita dinâmica.

Resistência hidráulica é determinada predominantemente pela densidade do fluido, sem que intervenha de modo sensível a compressibilidade dele. As correspondentes velocidades são ditas médias; são velocidades compreendidas entre 10 m/s e 200 m/s para o ar, entre 0,05 m/s e 2 m/s para a água. A intensidade da resistência hidráulica é dada pela Lei de Newton (1687):

onde A é a área da secção mestra do móvel, d é a densidade absoluta do fluído, v a velocidade do móvel relativamente ao fluido, e C é um número denominado coeficiente de resistência do fluido para o móvel em questão. O valor de C depende da forma do móvel, da direção e do sentido de seu movimento, e da natureza do fluido. Pode-se admitir C = 0,41 para uma esfera, C = 0,45 para um ciclista, C = 1,40 para um pára-quedas. A resistência hidráulica tem intensidade proporcional ao quadrado da velocidade.

Resistência trans-sônica é determinada predominantemente pela densidade e pela compressibilidade do fluido. As correspondentes velocidades são ditas trans-sônicas e são próximas da velocidade de propagação do som no fluido (desde pouco abaixo até pouco acima). No ar, a velocidade do som é vizinha de 340 m/s ~= 1 200 km/h, e o regime trans-sônico se realiza no intervalo de velocidades que se estende de 1 000 km/h até 1 400 km/h. A resistência trans-sônica tem intensidade proporcional a uma potencia n da velocidade, com n >2 :

Resistência balística ou super-sônica é a que se verifica em velocidades ditas altas, sensivelmente superiores à velocidade do som. Aplica-se a lei precedente, porém com n diminuindo e avizinhando-se de 2 à medida que a velocidade aumenta.

A mesma lei de Newton aplica-se aos regimes trans-sônico e balístico, contanto que se conceba o coeficiente de resistência C como função da velocidade; essa função é adequadamente representada mediante gráficos cartesianos.

Evidentemente, as proporcionalidades acima mencionadas valem em igualdade de todas as outras condições; a natureza do fluido, a forma do corpo e suas dimensões, a direção e o sentido do seu movimento devem ser conservados, variando unicamente a força de resistência do fluido e a velocidade.

Velocidade limite
Consideremos um móvel abandonado na atmosfera, em repouso. Inicialmente atuam no móvel a força de gravidade e a impulsão (empuxo) do ar; porem, à medida que aumenta a velocidade de queda, aumenta também a resistência do ar ao movimento corpo; a aceleração diminui tendendo a Zero. Quando a resistência do ar equilibrar as demais forças agentes, a aceleração se anula e o movimento se torna uniforme; a correspondente velocidade é denominada velocidade limite ou velocidade terminal.

Analiticamente pode-se demonstrar que o móvel tende à velocidade limite sem atingi-la o que explica sua designação. Via de regra, pode-se considerar atingida a velocidade limite após queda inferior a um quilometro no ar, sob ação da gravidade.
Durante a queda, a energia potencial de gravidade diminui para o corpo em queda, aumenta para o ar ambiente, diminui para o sistema. Enquanto o movimento é acelerado, a diminuição de energia potencial do sistema se distribui em duas parcelas: o aumento de energia cinética do móvel e a energia dissipada por efeito da resistência do meio. Após ser atingida a velocidade terminal, a diminuição de energia potencial do sistema é igual à energia dissipada, pois a energia cinética não aumenta mais.
O exposto aplica-se também à queda no seio de um líquido.

Vale a pena destacar:
(a) Para corpos geometricamente iguais na superfície externa, a velocidade limite cresce com o peso.
(b) Os pára-quedas são dimensionados de modo que a velocidade limite seja suficientemente baixa para uma aterragem segura.
(c) Quando corpos diversos caem no ar, as acelerações podem ser muito desiguais; após queda mais ou menos extensa, o que se nota é a velocidade limite, que também pode variar muito de um corpo para outro.
(d) Dentre esferas de raios iguais, cai mais depressa a mais densa.
(e) Dentre esferas com densidades iguais, cai mais depressa a maior.
(f) Corpos lançados verticalmente para baixo com velocidade superior à velocidade limita, retardam até a velocidade limite.

Um exemplo
Uma esfera maciça de raio r e densidade absoluta d cai lentamente sob a ação da gravidade em um fluido em equilíbrio com densidade absoluta d_o e viscosidade dinâmica h .
Determinar a velocidade terminal  v da esfera.
Solução:
Na esfera agem o peso P , a impulsão E e a resistência viscosa F; essas forças se equilibram quando a esfera atinge a velocidade terminal v; então:

P = E + F Temos: P = (4/3)pr3.d.g    ; E = (4/3)pr3.do.g   ;   F = 6ph.r.v portanto:            (4/3)pr3.d.g = (4/3)pr3.do.g  +  6ph.r.v logo: v = (2/9).(g/h).r2.(d - do)

Com nebulizador pode-se produzir minúsculas gotas de óleo que caem lentamente no ar. As gotas são excessivamente pequenas para que seu raio possa ser determinado diretamente, mesmo sob microscópio. Todavia, sob microscópio é fácil determinar a velocidade de queda de uma gota; a equação precedente permite então determinar o raio da gota, conseqüentemente sua massa e seu peso.
Admitindo que sejam: g = 9,80 cm/s²; d = 0,800 g/cm³; d_o = 1,20x10^-3 g/cm³; h = 1,81x10^-4 poise; v = 0,10 cm/s; resulta  r = 3,9x10^-4 cm .

É assim que se determina o raio da gotícula de óleo na experiência de Millikan, para a determinação da carga do elétron.

Outro exemplo
Um pára-quedista de peso total P = 1,0 x 10³ newton quer descer com velocidade terminal  v = 6,0 m/s.
O coeficiente de resistência do sistema é C = 1,4.  A densidade absoluta do ar é d = 1,2 kg/m³. A impulsão do ar é desprezível. Determinar a secção mestra do pára-quedas, e a potência mecânica dissipada à velocidade limite.

Aplica-se diretamente a fórmula de Newton:  1,0x10³ = 1,4x(1,2x6,0²/2).A  ==> A = 33 m² .

O diâmetro do pára-quedas é próximo de 6,5 m.

A potência mecânica dissipada no fenômeno é: Pot_mec.= P.v = 1,0x10³x6,0 (SI) = 6,0x10³ W = 6,0 kW .

Número de Reynolds
O regime de escoamento de um fluido por um tubo é determinado pelo número de Reynolds:

uma grandeza adimensional (impropriamente dito 'número puro') que depende da densidade absoluta d do fluido, da velocidade media v de escoamento, do raio r do tubo e da viscosidade dinâmica h do fluido. O número de Reynolds não depende das unidades de medida adotadas, desde que pertençam a algum dos sistemas coerentes usuais.

A grandeza r pode ser qualquer comprimento convenientemente escolhido (raio ou diâmetro de uma esfera que se move no fluido, raio ou diâmetro do tubo cilíndrico pelo qual se escoa o fluido), devendo ser especificada em cada caso a escolha que se fez.

O número de Reynolds pode ser interpretado como razão entre forças aceleradoras e forças viscosas em fluido escoante; aplica-se a fenômenos fluidodinâmicos nos quais intervém inércia e viscosidade; ele goza de propriedades que lhe conferem enorme importância em Fluidodinâmica.

Em sistemas geometricamente semelhantes, basta o número de Reynolds para caracterizar o regime de escoamento; para fluidos escoando em tubos cilíndricos, por exemplo, o regime é laminar quando N_R < 1160, sendo então aplicável a lei de Hagen-Poiseuille; a lei de Stokes aplica-se quando N_R < 1.

Além disso, o número de Reynolds permite unificar a expressão da resistência do meio ao movimento dos corpos; seja qual for o regime, aplica-se a lei de Newton, na qual o coeficiente de resistência C é concebido como função do numero de Reynolds. Obtém-se assim a lei de Hagen-Poiseuille fazendo C = 8/N_R, a lei de Stokes fazendo C = 12/N_R.

O estudo analítico dos fenômenos em que intervem a resistência de fluidos esbarra com dificuldades matemáticas intransponíveis; daí a necessidade da pesquisa experimental desses fenômenos.

Quando o sistema é avantajado, reduzem-se os custos efetuando as experiências em modelos reduzidos (embarcações, aeronaves, portos, barragens, regularização de rios, etc.).

Através do número de Reynolds estabelece-se o conceito de semelhança fluidodinâmica: dizemos que dois sistemas geometricamente semelhantes gozam de semelhança fluidodinâmica quando os correspondentes números de Reynolds são iguais (embora possam ser desiguais as velocidades, as densidades e as viscosidades dos fluidos em escoamento).
A semelhança fluidodinâmica entre um sistema projetado e um modelo reduzido do mesmo sistema permite aplicar ao sistema as conclusões obtidas do comportamento experimental do modelo.

O número de Reynolds é uma dentre diversas "variáveis adimensionais" (número p); outra é o número de Mach, que se aplica ao escoamento de fluidos compressíveis (caso das aeronaves):

M = velocidade de escoamento/velocidade do som  ....... (10)

**** segue parte 3 - Lei de Bernouilli ***