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O empuxo de Newton
(Nos referenciais acelerados: detalhes e aplicações)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Época, dois mil e duzentos (e tantos) anos atrás. Arquimedes, de Siracusa, repentinamente levanta-se da tina de um banho público e sai gritando pelas ruas: - Eureka! Eureka! Os jornais do dia, ainda em papiro, com o tradicional sensacionalismo publicaram:
"Princípio do Homem Nu"
"Nosso grande mestre das filosofias naturais descobriu hoje o segredo da coroa .....blá, blá, blá....... e enunciou o seguinte:

Quando um corpo é imerso, total ou parcialmente, ele desloca uma certa porção de liquido empurrando-o. O líquido, por sua vez, aplica no corpo imerso, uma força vertical para cima, cujo valor é igual ao peso da porção líquida deslocada". 

Época, trezentos e setenta (e tantos) anos atrás. O jovem inglês lsaac Newton, exercitando a mente, chegou à conclusão que deveria haver uma proporcionalidade entre força e aceleração. Essa conclusão, publicada por entidade acadêmica, ficou conhecida como a Segunda Lei de Newton ou simplesmente, Princípio Fundamental da Dinâmica. 
Os alunos atuais conhecem-no assim: "Força é igual a massa vezes aceleração".

Os professores atuais preferem, via de regra, enuncia-lo assim: 
"Em um sistema de referência inercial, a aceleração que um corpo apresenta é diretamente proporcional à resultante das forças externas que nele atuam e inversamente proporcional à sua massa; e escrevem:
a = R/m". 
Outros, preferem enuncia-lo assim:
"Para sistemas inerciais, a resultante das forças que agem sobre um corpúsculo é dada pelo produto de sua massa pela aceleração que apresenta; e escrevem: R = m.a , para deixarem explícito o caráter vetorial".

Desde os tempos de Arquimedes e Newton, muitos aparelhos, invenções, teorias e demonstrações têm sido feitas, utilizando-se dessas leis. Hoje, parece bastante normal ao aluno que, uma é um princípio fundamental na Hidrostática e a outra é um princípio fundamental na Dinâmica e, "como cada macaco tem seu galho" tais leis continuam a ser aplicadas, cada uma em seu setor.

Generalizando
Como esse é um 'Site' de sugestões, acrescento mais essa. Vamos fundir as duas numa só, enunciando:

"Quando um corpo é imerso, total ou parcialmente, num fluido acelerado, esse (o fluido) aplica sobre aquele (o corpo) uma força (N), que é proporcional ao produto da massa de fluido deslocado (m'), pela aceleração do fluido (a); ambas as grandezas vetoriais, N e a têm mesma direção e sentido ou, analiticamente, 
N = m'. a ”.

Essa força, de caráter geral, deveria ser batizada de Empuxo de Newton (proposta do autor), mantendo-se a denominação de Empuxo de Arquimedes, que é um principio "prático", bem particular, para os casos "terrestres" de fluído em equilíbrio sob a ação da gravidade.

No fundo, ainda que por causas distintas, ambos os empuxos têm um fator comum, a saber, um gradiente de pressão.

Empuxo é força existente em corpo imerso num fluido, desde que haja um gradiente de pressão (ou de densidade) nesse fluido. No caso do empuxo de Arquimedes, esse gradiente de pressão é proveniente do próprio peso do liquido. Uma camada comprime, pelo seu peso, a seguinte e assim, progressivamente, na vertical para baixo, vai determinando um gradiente de pressão.

É um caso muito particular, pois o gradiente de pressão (crescendo verticalmente para baixo) tem o mesmo sentido do peso (ou da aceleração da gravidade) e o empuxo de Arquimedes é vertical para cima. Empuxo de Arquimedes e aceleração da gravidade, em corpos imersos em fluido em equilíbrio, têm sentidos opostos. Quem ainda não percebeu a "coisa" verá, mais adiante, que isso é um caso único no mundo das forças e acelerações; é um caso restrito a forças de campo e, totalmente inválido para forças inerciais.

Bem, antes de continuar o assunto, e só para pensar, vou propor duas situações envolvendo o novo conceito:

Considere A e B dois pontos do espaço sideral isento de massas próximas (é uma zona de imponderabilidade) e 'astronomicamente' bem afastados.
Em A temos um recipiente fechado contendo água. Ainda no seu interior, há um cordel preso a uma das paredes por um extremo e ligado a uma bolinha de pingue-pongue pelo outro. O sistema está em equilíbrio no referencial das estrelas fixas. Para acelerar tal recipiente temos duas propostas.

Uma é fazer surgir, "misteriosamente", em B um enorme corpo de massa M. As forças decorrentes da ação das massas incumbem-se de acelera-los na razão inversa de suas massas.
Nota: como a distância entre eles é 'astronomicamente' grande, essas forças, agentes em todas as partículas de A podem ser consideradas como paralelas.


Outra
, é acoplar ao recipiente um foguetinho e dispará-lo, na direção AB e sentido de A para B.
Os gases acelerados para trás aplicarão no recipiente uma força para frente, acelerando-o, na direção AB.

Em cada caso, qual a configuração do cordel e bolinha?

Explicação à frente.

Continuemos. 
O empuxo de Newton é lei bem mais geral, porém, também proveniente de um gradiente de pressão (ou de densidades).

Se um fluido acelera para a direita, o gradiente de pressão no fluido, por sua inércia, cresce para a esquerda, determinando no corpo imerso um empuxo de Newton para a direita, na mesma direção e sentido que a aceleração. Para clarear bem as idéias, vejamos três situações, envolvendo acelerômetros de pêndulo, em translação acelerada.

(1) pêndulo simples, (2) pêndulo simples imerso num líquido, com A < P e (3) pêndulo invertido com flutuador (bóia) imerso num líquido, com A > P

Na coluna (a), mostramos três sistemas físicos (acelerômetros de pêndulo) montados num carrinho base, com aceleração (a) horizontal para a direita. A coluna (b) mostra os diagramas do corpo-livre e a coluna (c) mostra os diagramas vetoriais. Nas ilustrações, A é o empuxo de Arquimedes, N é o empuxo de Newton, P é o peso da bolinha, T é atração aplicada pelo cordel e R é a força resultante.

Em (1), na esferinha do pêndulo, agem apenas duas forças: seu peso P e a tração T aplicada pelo fio ideal.

A componente de T, na vertical (T.cosq), equilibra o peso P (P = T.cosq) ; a componente de T, na horizontal (T.senq), não tem equilibrante, ela representa a resultante das forças atuantes na esferinha (R = T. senq). O sistema de equações:

R=T.senq 
P=T.cos
q 

fornece:  R = P.tgq  e, como  R=m.a  e  P=m.g,  vem  m.a=m.g.tgq  ou 

a = g.tgq 

o que faz do dispositivo um acelerômetro.

Em (2), na esferinha do pêndulo, mais densa que o líquido envolvente, agem quatro forças: o peso da esferinha (P = m . g), a tração devida ao cordel (T), o empuxo de Arquimedes (A), devido a um gradiente de pressão ocasionado pelo peso do liquido e o empuxo de Newton (N) determinado pelo gradiente de pressão ocasionado pela inércia do líquido acelerado. Para destacar A e N lembramos que: se o liquido é água, por exemplo, a pressão da água no fundo do recipiente é maior que em seu topo e, a pressão na parede interna traseira é maior que na parede interna dianteira. 
Assim, na vertical, a força hidrostática é maior na base da esferinha que no seu topo e dai nasce A [detalhes na ilustração abaixo, em (a)]; na horizontal, a força nascida da pressão sobre a  esferinha é maior da esquerda para a direta do que da direta para a esquerda [detalhes na ilustração abaixo, em (b)], e a resultante delas é o empuxo N.

(a) Gradiente de pressão devido ao peso, forças decorrentes desse gradiente e sua resultante A;
      Destaque: A e g sentidos opostos;
(b) Gradiente de pressão devido à inércia, forças decorrentes desse gradiente e sua resultante N
      Destaque:
N e a, mesmos sentidos

A componente de T, na vertical, é T.cosq e, na horizontal, é T.senq
Na vertical,  A + T.cos
q  equilibram o peso P; temos:

P = A + T.cosq  {1}

Na horizontal N + T.senq constitui a resultante R:

R = N + T.senq  {2}

Sendo  P = m.g,  R = m.a  (m = massa da esferinha), de {1} e {2} vem:

  mg - A = T.cosq  {3} 
ma - N = T.sen
q  {4}

Dividindo-se, membro a membro, {4} por {3}, tem-se:

ma - N
                  --------- = tg
q  {5}
mg - A

Recordemos que A tem intensidade igual ao peso do liquido deslocado, logo, A = m'.g; indicando-se por m' a massa do líquido deslocado pela esferinha.

Lembremos também, que o empuxo de Newton é dado pelo produto da massa de líquido deslocado pela aceleração do líquido, logo, N = m'. a.

Substituindo-se em {5} , A e N, respectivamente, por m'.g e m'.a, teremos:

 

o que faz do dispositivo em questão, também, um acelerômetro.

Perceba-se que, esse resultado (a = g.tgq), tanto para o acelerômetro (1) como (2), são independentes das densidades dos fluidos, das massas e dos volumes das esferinhas dos pêndulos. Por isso são chamados de acelerômetros: não importa formato, constituição, líquido, volume etc, conhecido g, a é função exclusiva de tgq (ou vice-versa).

Para o acelerômetro (3), vamos nos limitar ao equacionamento, visto ser análogo ao caso (2) :

Na horizontal :                  R = N - T.senq  {6};      na vertical:       A = P + T.cosq {7}
De {6} e {7} vem:

(N - R)/(A - P) = tgq

Sendo                                    N=m'.a,  A=m'.g,  R=m.a  e  P=m.g  vem:

a(m' - m)/g(m' - m) = tgq   ou, novamente,  a = g.tgq

Os resultados mostram que os acelerômetros "terrestres" dependem de g, logo, num satélite em órbita ou zonas de imponderabilidade, eles não funcionam. O empuxo de Arquimedes desaparece (pois é apenas uma lei "prática", "terrestre", particular), pois não há mais as forças de campo. Os pêndulos ficariam com os cordéis 'frouxos “, pois não há quem os tracione!”.

Eis uma solução "elástica" para tais situações: uma bóia é mantida imersa num líquido por duas molas cujas constantes elásticas k são ajustadas para serem as mesmas em todas as direções.

Acelerômetro inercial. Forças em relação às 'estrelas fixas'

Nesse acelerômetro, a indicação será dada pelo vetor deslocamento d. Do diagrama vetorial obtemos:

R = N - k.d 
m.a = m'.a - k.d 
a(m'-m) =  k.d 

Sendo  m' = u'.V  e  m = u.V,  onde u' e u são, respectivamente, as densidades absolutas do liquido e da bóia, com  u' > u  e  V  o volume da bóia, vem:

a.V(u' - u) = k.d 
ou

k
a = -----------------.d
V(u' - u)

O deslocamento d pode ser alterado atuando-se sobre k, V, u' e u.

Fixados esses valores, a aceleração a (no sistema inercial) e d são diretamente proporcionais.

Nota: Esses assuntos, acelerômetros (inclusive incluindo-os na rotação uniforme), e outros exemplos dos quais participem o Empuxo de Newton, merecem um reforço. Após a resposta à questão proposta faremos isso.

Respondendo à questão proposta
A questão, para pensar, colocada no início de nossas explanações, é agora facilmente respondida:

Primeira hipótese: No campo de gravidade devido à massa M (colocada no ponto B, muito afastado de A), todas as porções de nosso pequeno sistema (recipiente, água, cordel e bolinha) adquirem mesma aceleração, devido às forças de campo. No líquido não há gradiente de pressão, não há empuxo de Arquimedes ou de Newton. A configuração do cordel e bolinha é qualquer. Todas as partes ainda teriam essa mesma aceleração, mesmo que o sistema fosse desmembrado!

Segunda hipótese: No caso do foguetinho, surge gradiente de pressão, devido à inércia da água, o empuxo de Newton empurra a bolinha para a DIREITA até que o cordel estique aplicando força T. A resultante de N e T acelera a bolinha para a direita.
O recipiente, a água, o cordel e a bolinha terão a mesma aceleração para a direita. Não há empuxo de Arquimedes.

Talvez alguém relute em não entender porque na primeira situação (forças de campo) não há empuxo de Newton, uma vez que o sistema está acelerado, e porque na segunda situação não há empuxo de Arquimedes.

Na primeira situação, todas as partículas da água já estão sob a ação de forças externas (decorrentes da ação das massas) e nenhuma quer ficar individualmente para trás (para obedecer ao princípio da inércia), por isso, não precisam ser empurradas quer pelas outras partículas de água ou pela parede "traseira" do recipiente. Não há forças normais 'de contato'. Cada partícula é independente por si só, apenas estão juntas por forças internas de coesão (que não determinam acelerações). Como as inércias dessas partículas já foram "vencidas" pelas forças de campo e já estão aceleradas, não há necessidade de alguma outra força (que seria o empuxo de Newton) para acelerá-las.
Nota: Para 'visualizar' algo equivalente aqui na Terra, imagine que alguém abandone do alto de um prédio uma caixa de sapatos cheio de bolinhas de aço (rolamentos). Tanto a caixa como cada bolinha irá adquirir aceleração g, devido ao campo gravitacional, e, nenhuma empurrará a outra! Não haverá forças de contato entre elas ou delas com a caixa!

Na segunda situação, não há forças de campo. Cada partícula de água quer manter a velocidade atual (princípio da inércia). Para acelerá-la, a partícula de trás deve-lhe aplicar uma força normal (fluido não resiste a esforços tangenciais). A partícula que precede a de trás deve aplicar força normal de intensidade duplicada (pois tem que acelerar duas partículas) e assim sucessivamente, até que chega na parede "de trás", que tem que aplicar a força necessária para acelerar toda a massa de água.
Dessa distribuição de forças normais decorrentes das inércias das partículas de água é que surge o empuxo de Newton sobre a bolinha, pois para as partículas de água, não interessa quem vem pela frente, tudo se passa como se fosse água. Daí a expressão do empuxo de Newton. Se no lugar da bolinha houvesse água, de massa m', a resultante das forças nela, também seria m'.a.
O gradiente de pressão nasce da inércia da massa de água e não do peso da água; por isso não há empuxo de Arquimedes. Ressalte-se, ainda, que o sistema não está em equilíbrio.
Nota: Para 'visualizar' isso aqui na Terra, basta colocar sobre uma mesa lisa (negligenciaremos o atrito) uma meia dúzia de blocos alinhados e separados por dinamômetros. Empurrando o último deles, as indicações do dinamômetros (do último até o da frente) mostrarão leituras decrescentes.

Encerramos propondo uma situação mais "terrestre", simplesmente colocando nosso recipiente com o pêndulo de bóia dentro de um elevador em queda livre. Discuta essa situação.

Que o empuxo inercial de Newton lhe seja útil.
O autor agradece críticas e comentários sobre esse trabalho.


Empuxo de Newton
(detalhes e aplicações)

Introdução
Como foi visto acima Empuxo de Newton em sistemas acelerados, tanto o empuxo de Arquimedes como o de Newton têm, como causa básica, o gradiente de pressão no fluído. No de Arquimedes, o gradiente de pressão deriva do próprio peso do fluído em equilíbrio e no de Newton, da inércia do fluido sob aceleração.
Para comentar o empuxo de Arquimedes, ilustramos abaixo, um cilindro de madeira mantido imerso no líquido pelo cordel fixo no fundo do frasco. A situação é de equilíbrio.

Cilindro de densidade absoluta m  imerso em líquido de densidade absoluta m’, com m ' > m

 Ao nível (1), a pressão nos portos do líquido vale:

P1 = Patm + m'.g.h1    {1}

 e, a força hidrostática que o líquido exerce na base superior do cilindro, de área A, tem intensidade:

F1 = P1. A    {2}

Ao nível (2), a pressão nos pontos do líquido vale:

P2 = Patm + m'.g.h2     {3}

e, a força hidrostática na base inferior do cilindro, tem intensidade:

F2 = P2.A    {4}

A figura abaixo ilustra a distribuição das forças hidrostáticas sobre o cilindro, destacando-se as resultantes F1 e F2 (em vermelho).

Distribuição de forças

As forças laterais equilibram-se, as verticais não.

A resultante das forças hidrostáticas sobre o cilindro reduz-se à F2 - F1. Essa resultante F2 - F1, nascida do gradiente de pressão P2 - P1 é o denominado empuxo de Arquimedes.
Indicando-se por EA a intensidade desse empuxo (que é vertical, para cima) tem-se :

EA = F2 - F1   {5}

Substituindo-se {2} e {4} na {5} vem:

EA= P2.A - P1.A    ou    EA= (P2 - P1).A   {6}

Levando-se {1}  e  {3}  na  {6}  vem:

EA = (Patm + m'gh2 - Patm - m'gh2). A          ou           EA= m'.g.A(h2 - h1)     {7}

Na {7} , h2 - h1 é a altura (H) do cilindro. O volume do cilindro será expresso, então, por V = H.A.
Substituindo-se na {7} A(h2 - h1) por V, vem:

EA = m'.V.g

Como m' = m'.V  é a massa do líquido de volume V deslocado pela presença do cilindro, teremos;

EA = m'.g     ou     EA = Plíquido deslocado

que é o princípio de Arquimedes, simplesmente intuído pelo grego de Siracusa.

"O empuxo hidrostático sobre um corpo totalmente imerso num fluido é vertical, para cima, e tem intensidade igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo." 

Por isso o classificamos como um princípio "prático", particular, restrito ao peso do líquido. Ficaria mais conceitual denominá-lo de empuxo gravitacional de Arquimedes.

Comentemos agora o empuxo de Newton ou, mais conceitualmente, empuxo inercial de Newton.
Esse empuxo também deriva de um gradiente de pressão no fluido. O gradiente de pressão, no caso, é determinado pela inércia do fluido que está sendo acelerado.

Fluidos só transmitem esforços normais e podem sofrer grandes compressões para transmitirem tais esforços. Essas compressões determinam variações na massa específica do fluido. Sob aceleração, a inércia do fluido determina compressões no ato de transmitir forças normais de uma parte do fluido para outras, na direção da aceleração. 
Nos sólidos, onde o coeficiente de compressibilidade é muito pequeno, não observamos esse efeito. Sólidos transmitem esforços sem apreciável compressão (ou distensão) e disso deriva o principio da transmissibilidade das forças. Um bloco de ferro acelera identicamente, sob resultante R, quer sendo puxado como empurrado, sua forma não muda. Uma mola não aceita esse princípio; o efeito sobre ela, quanto à deformação, não é o mesmo nos atos de puxa-la ou empurra-la. Ilustremos isso:

Acelerando corpos não deformáveis e corpos deformáveis

Repare, no caso da mola, que a densidade das partes do conjunto, ao ser acelerada "por  trás", é maior na parte traseira que na dianteira.

O empuxo de Newton despertado sobre os corpos imersos em fluidos acelerados, tem origem justamente nesse fato.
Na direção da aceleração, o fluido é empurrado por trás (pela parede traseira do recipiente que o contém), de modo que sua densidade absoluta é maior na parte traseira que na dianteira. Ilustramos abaixo, um líquido sendo acelerado para a direita:

Porções líquidas sob aceleração

Vamos mostrar que a resultante das forças (F') que acelera uma parte do líquido (estratificado em forma de um cilindro) de massa m' é F' = m'.a. Vejamos:

A parede traseira do recipiente aplica força F na massa total destacada (m2 + m' + m1) e a acelera com aceleração a; escrevemos:

  F=(m2 + m' + m1).a

Força para acelerar a massa total

Isolando-se a porção de massa  m2 tem-se:

F2 = F - (m'+m1)a = (m2+m'+m1-m'-m1)a=m2.a

onde F2 é a resultante sobre a porção de massa m2. Veja:

Forças na massa m2

Isolando-se a porção de massa  m' tem-se :

F' = (F - F2) - m1.a = (m2+m'+m1-m2-m1)a = m'.a

Forças na massa m'

Isolando-se a porção de massa  m1  tem-se:

F1= F - F2 - F' = (m2+m'+m1-m2-m').a = m1.a

Forças na massa m1

NOTA: Observe que a massa m1 não aplica força alguma sobre a parede dianteira do recipiente. A aceleração do recipiente é devida uma parcela da força total aplicada contra ele, caso sua massa venha a sr considerada na questão. Estamos fazendo a hipótese de esse recipiente tem massa negligenciável; sua presença reduz-se à operação de confinar o fluido. Nesse caso, a força total externa vale F.

Nas porções destacadas , de massas m2, m' e m1, respectivamente, todas com a mesma aceleração a, as forças resultantes sobre elas valem, como vimos: m2.a,  m'.a  e  m1.a.

Repare, na ilustração --- Forças na massa m'---, que m'.a (ou F') é a diferença entre a força na parte de trás (F - F2) e a força na parte da frente (F1 ou m1.a). Se você substituir o cilindro líquido por um cilindro sólido de mesmas dimensões, as forças sobre ele continuarão a ser F- F2 (por trás) e F1 (pela frente), de modo que a resultante das forças que o liquido acelerado exerce nele continua a ser F' = m',a (ilustração a seguir). 
É essa força F' = m'.a, que passaremos a indicar por EN e denominaremos empuxo inercial de Newton.

O pêndulo de bóia inclina-se para frente quando o sistema é acelerado para frente

Para uso posterior grave bem isso:

“Todo corpo imerso, total ou parcialmente, em um fluido acelerado, recebe por parte do fluido, uma força de mesma direção e sentido da aceleração e cuja intensidade é proporcional ao produto, da massa de fluido deslocado, pela aceleração do fluido”.

Vetorialmente:     EN = m'.a

Essa lei é geral, independente da massa do corpo imerso, da posição do corpo dentro do fluido e, principalmente, independente de campos gravitacionais.

Obviamente, para todo o exposto, as forças são referidas a um sistema inercial de coordenadas, sistema newtoniano ou sistema das "estrelas fixas".

Se o fluido, além de acelerado, estiver sujeito à aceleração da gravidade, ao empuxo de Newton deve-se somar (vetorialmente) o empuxo de Arquimedes, no corpo imerso. Esse é o caso dos exercícios típicos, em Dinâmica, dos corpos imersos em fluidos acelerados.

Para encerrar, propomos uma montagem, bem simples, com a finalidade de evidenciar o gradiente de pressão em um líquido acelerado. Abaixo ilustramos um arranjo experimental.

a) Em repouso ou MRU a água alcança níveis iguais nos dois tubos; as pressões nas paredes laterais são iguais. b) Na translação acelerada, o nível desce no tubo da direita e sobe no da esquerda; a pressão na parede lateral da esquerda é maior que na da direita

Para evidenciar a resultante das pressões nas paredes laterais, devidas ao peso do líquido e à aceleração do fluido, propomos a montagem abaixo:

a) Pressões nas paredes laterais quando em repouso ou MRU. b) Na translação acelerada todos os níveis da direita descem da mesma quantidade, os da esquerda sobem de mesma quantidade

Eis algumas situações onde ambos empuxos (o de Arquimedes e o de Newton) se associam e participam das resoluções às questões propostas.

a) Nível de bolha acelerado para a esquerda. Para que lado vai a bolha?

b) Frasco que leva preso ao seu fundo um cordel ligado a uma bolinha de pingue-pongue. Um barbante impede o frasco de deslizar plano abaixo. 

(1) Vertendo-se água no frasco, como fica a bóia?
(2) Queimando-se o barbante, o frasco com água desce o plano inclinado com aceleração constante. Como ficam a superfície livre da água e a bóia?

c) O reservatório com água e pêndulo de bóia é centrado sobre o prato do toca disco. Quando o prato girar com velocidade angular constante, como fica a superfície livre da água? Como se dispõe a bóia?

d) Bóia flutuante na posição x em reservatório com água centrado em um prato de toca-disco. Localize a bóia quando o prato mantém velocidade angular escalar constante.

e) Frasco fechado, contendo água e pêndulo de bóia. Conjunto fixado no piso do elevador.

Para que situação de movimento do elevador, o empuxo de Newton tem mesma intensidade de que o empuxo de Arquimedes? (cuidado!)

Recomendamos, como continuidade ao assunto, que veja o experimento 32, na Sala 05, Dinâmica. Clique aqui para esse propósito.



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