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Equivalente mecânico do calor

Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Não precisa muito, basta que esfreguemos uma mão contra a outra para, através do atrito despertado, constatarmos o aquecimento das palmas das mão, ou seja, através da execução de trabalho mecânico, produzimos calor. É o mesmo calor que pode ser fornecido a um corpo através da incidência da radiação solar ou através da chama de um bico de Bunsen.

Isto não é tão evidente como a princípio parece ser. Antigamente acreditava-se que o calor fosse uma substância etérea e não mensurável, produzida pelo fogo e que podia passar de um corpo a outro. Esta teoria, no entanto, não explica como o calor pode ser produzido através de trabalho mecânico. Este fato já havia sido notado pelo conde Von Rumford (1753 -1814) em 1789, quando, em Munique, ele observou que na usinagem de um cano de canhão, este se aquecia a tal ponto, que a água podia chegar ao ponto de ebulição; e sem fogo!  Naquela época, como hoje, é um fenômeno surpreendente. A usinagem de canhão, naqueles dias, era algo como hoje furar um caibro de peroba com uma broca totalmente cega.Apesar disso, manteve-se a teoria.

O genial médico Robert Mayer (1814 -1878) publicou em 1842 um artigo no qual ele rejeitava a teoria da substância (teoria do calórico). Suas idéias correspondiam a uma concepção sobre o método de estudo das ciências naturais, que tinha sido até lá conscientizada por bem poucos. Ele escreveu:

"A mais importante, para não dizer a única regra para o verdadeiro estudo das ciências naturais, é ter em mente que nossa missão é conhecer os fenômenos antes de procurarmos explicações ou tentarmos perguntar por causas maiores. Se um fato for conhecido em todos os seus ângulos, então ele estará explicado e a tarefa da ciência está terminada. Mesmo que isto possa ser trivial para alguns, e atacado por outros com muitos argumentos, uma coisa permanece certa: até os nossos dias esta regra básica tem sido comumente desprezada.
O método que devemos utilizar para estabelecer os fundamentos da ciência natural o mais rapidamente possível, pode ser descrito em poucas palavras. Os fenômenos naturais mais próximos e comuns devem ser submetidos, por meio de instrumentos funcionais, a uma pesquisa cuidadosa, que deve continuar até que tenha sido feita a determinação de suas grandezas, expressas em números. Sabemos, no entanto, há muito tempo que em uma série de casos há surgimento de calor mesmo onde não se dá nenhum processo químico; por exemplo em todo atrito, em choques não elásticos e na compressão de corpos gasosos.
O que concorre para o surgimento desse calor? A história ensina que as hipóteses sobre a existência e a natureza de uma "substância térmica", ora em repouso ora em vibração, de um "éter térmico", de "átomos térmicos" que preencheriam os espaços entre a massa de átomos, e assim por diante, não conseguiram resolver aquela problema. E isto sobre fatos tão simples como a lei das alavancas!
Pelo que foi dito acima, o leitor não pode mais ter dúvidas sobre o que devemos fazer aqui. Devem ser feitas sempre determinações de grandezas, deve-se medir e contar."

(Robert Mayer, Anotações Sobre o Equivalente Mecânico do Calor. Impresso em: Mirow, Cadernos de Física, 1958).

A História da Ciência, no tema do reconhecimento do calor como forma de energia e o assentamento do princípio da conservação da energia é especialmente empolgante. Convém uma leitura em:
                                                 http://www.feiradeciencias.com.br/sala19/texto79.asp.

Experimentações
1- Experimento básico
O trabalho mecânico pode ser transformado em calor.
Para isto façamos a seguinte experiência: em um tubo de metal colocamos um pouco de éter e o fechamos com uma rolha. Prendemos o tubo em um ´banco de rotações´, não representado na ilustração a seguir (*), colocando-o em movimento giratório, e pressionamos firmemente as paredes do tubo com dois mordentes articulados (algo parecido a um quebra-nozes) forrados com feltro. Depois de algum tempo a rolha é expelida pela força de pressão do vapor de éter formado.

Enquanto girarmos o aparelho, formar-se-á constantemente calor.
Durante esse tempo é executado um determinado trabalho mecânico (trabalho das forças de atrito) e produzida uma determinada quantidade de calor.
Este trabalho mecânico que foi realizado para se produzir uma determinada quantidade de calor, deve  tratado numericamente (medido, transformado em dado numérico). É evidente que para a transformação de trabalho mecânico em calor, utilizamos o atrito. O aparelho de produção de calor pelo atrito utilizado acima é pouco adequado para medições. Teremos que alterá-lo para que possamos medir o trabalho mecânico e a quantidade de calor formada.

(*) Banco de rotações: http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_11.asp

2- Experimento de Wildermuth
Isto pode ser facilmente conseguido se, em lugar do tubo metálico, utilizarmos um corpo oco cilíndrico contendo uma determinada quantidade de água. O aumento de temperatura da água durante a rotação pode ser facilmente lida em um termômetro. No cálculo da quantidade de calor devemos considerar que o recipiente e o termômetro também são aquecidos.
Como determinamos, no entanto, o trabalho mecânico? Para este fim teríamos que medir a força de atrito. Neste propósito é melhor distender uma tira de linho em volta do tambor, ao invés de mordentes de madeira.
Se girarmos agora o tambor (girando a manivela do banco de rotações, não incluído na ilustração), deve ser executado trabalho contra a força de atrito, que é tanto maior quanto mais distendida estiver a tira.

A força de atrito é medida por dois medidores de intensidade de força (dinamômetros), instalados nas extremidades da tira de linho. Se o tambor estiver em repouso, os dois medidores estarão igualmente alongados e indicam a mesma força. Quando giramos o tambor, a tira é deslocada por causa do atrito. Um dos medidores, no entanto, segurando firmemente a tira, indicará uma intensidade de força maior, enquanto que o outro indicará uma menor. A diferença entre elas é exatamente a intensidade da força de atrito resultante que está agindo contra a rotação do tambor. Durante um giro do tambor, o trabalho mecânico, W, é igual ao produto da intensidade da força de atrito, Fat, pela circunferência do tambor, p.d, onde d é o seu diâmetro.    ===> W = Fat.p.d

Para que o calor formado seja conduzido o mais rapidamente possível à água, usamos um tambor de cobre. Também a tira de linho pode ser substituída por uma de cobre. Como há dissipação de calor para o meio ambiente, a medição deve ser efetuada em um tempo relativamente curto. Então para se obter neste curto intervalo de tempo uma elevação de temperatura mensurável satisfatoriamente, temos que exercer uma grande força de atrito. Isto pode ser conseguido, enrolando-se a tira de cobre diversas vezes em volta do tambor.

3- Experimento de Shurholz
Colocamos agora o tambor horizontalmente, substituímos um dos medidores por um peso e ajustamos tudo de tal forma que ao girarmos o tambor, o medidor de força indique zero: a intensidade resultante das forças de atrito, portanto, será igual ao peso, e a experiência ficará de tal modo simplificada que já podemos iniciar a medição.

Iniciamos a medição um pouco abaixo da temperatura ambiente. Por que?
A seguir, numa sequência experimental, medimos o aumento de temperatura
Dq para cada quantidade do número de voltas executadas pelo tambor, e representamos graficamente o par de pontos (ilustração acima, à direita).

Resultado: a quantidade de calor produzida pelo atrito é proporcional ao trabalho mecânico executado.

Exemplo de cálculo: Para a interpretação quantitativa da experimentação deve-se determinar previamente a capacidade térmica do recipiente, da tira e do termômetro, isto é, conhecer sua capacidade térmica específica; ou, em outras palavras, obter o equivalente em água dos componentes participantes.

Sejam os dados, com unidades no Sistema Técnico:

diâmetro do tambor d = 46,75 mm = 0,04675 m
número de rotações
n = 200
peso
P = 5 kgf

massa de água no tambor
m1= 73,5 g
massa de cobre (tambor + tira)
m2= 127,5 g
capacidade térmica do termômetro
C = 0,2 cal/ºC
elevação da temperatura
Dq = 4 ºC

calor específico da água c1= 1 cal/(g.ºC)
calor específico do cobre
c2 = 0,09 cal/(g.ºC)

para o trabalho realizado teremos:    

           W = n.p.d.P = 200.3,14.0,04675 m.5 kgf = 146,6 kgm ; [Lembrete: {W} = 1 kgf.1m = 1 kgf.m = 1 kgm]

para a quantidade de calor desenvolvida tem-se:

Q = m1.c1.Dq + m2.c2.Dq + C.Dq =
    = 73,5 g.1 cal/(g.ºC).4 ºC + 127,5 g.0,09 cal/(g.ºC).4 ºC + 0,2 cal/ºC.4 ºC =
    = 340,6 cal

De um trabalho mecânico de 146,6 kgm obteve-se, portanto, uma quantidade de calor de 340,6 cal.
Para se obter 1 kcal, teríamos que empregar, então, 430 kgm ("regra de três" direta).
Medições mais precisas mostraram que é necessário, sempre, um trabalho mecânico de 427 kgm para se produzir 1 kcal.

427 kgm   converte-se em    1 kcal

A experimentação (gráfico) mostra que a quantidade de calor Q formada através do atrito, é proporcional ao trabalho mecânico W realizado, ou seja:

Q ~ W   ou    Q = A.W

Para a constante A, resulta, tomando-se por base a equivalência acima:  A = 0,00234 kcal/kgm .

Esta constante é denominada equivalente térmico do trabalho mecânico.

Se escrevermos inversamente   W
~ Q   ou    W = J.Q    então resultará para a nova constante J o valor:
                                                                              J
= 427 kgm/kcal

Ela se denomina equivalente mecânico do calor.

4- Experimento de Joule
Um dos grandes feitos de Joule foi conseguir medir, meticulosamente, a quantidade de calor que se pode obter a partir de uma outra dada quantidade de energia. Ele trabalhou sobre três experimentos básicos:

1- Energia elétrica -- energia mecânica -- calor: Para tanto, ele utilizou um ímã permanente em forma de ferradura imerso num recipiente contendo água e bem isolado do ambiente (calorímetro). Um eletroímã (rotor) foi disposto entre as pernas do ímã, o qual girava ao receber corrente elétrica. A rotação deste eletroímã agitava fortemente a água e o atrito viscoso despertado aquecia a água. A partir da tensão aplicada e da intensidade da corrente que circulava no eletroímã era possível calcular a quantidade de energia mecânica proveniente da energia elétrica e, posteriormente, convertida em calor.

2- Energia gravitacional -- energia mecânica -- calor: Desta feita, Joule utilizou-se da energia potencial gravitacional da água elevada passando através de tubos capilares. O atrito do líquido com o vidro dos tubos capilares determinava o aumento da temperatura do sistema. Da energia fornecida pela queda da água e acréscimo da temperatura pode calcular a quantidade de calor desenvolvida. Como variante deste experimento, substituiu a água por vários gases distintos; com apreciável melhora na precisão.

3- Energia gravitacional -- energia mecânica de rotação -- calor: Esta, realizada em 1845, foi a que trouxe fama ao pesquisador e tornou-se clássica pela sua engenhosidade. Seus resultados, afetados por incerteza de 5%, foram, para a época, de excelente precisão. Seu dispositivo, nos dias de hoje, poderia ser descrito rapidamente como um "liquidificador mecânico"; um recipiente com água, um termômetro, dois blocos pesados e uma haste metálica dotada de pás. Eis duas ilustrações:

Na extremidade superior da haste havia uma espécie de carretilha com travamento; ela permitia enrolar os cordéis para elevar os pesos, sem girar as pás no interior da água, e a seguir, travada, permitia girar as pás com a queda dos pesos. Com a queda dos pesos, as pás giram e atritam com a água entre outras pás fixas ao reservatório. O termômetro permitia fácil leitura da temperatura da água em cada fase de ascensão dos pesos. Em cada queda, da altura h (medida na régua vertical), os pesos (Mg + Mg) descem em movimento uniforme, o que garante que toda energia potencial gravitacional  2M.g.h tenha sido convertida em calor e transferida para a água.
Em experimentos iniciais Joule já havia determinado o ´equivalente em água´ de cada componente participante do experimento -- o calorímetro -- (haste, termômetro, pás móveis e fixas, etc.). Indicando-se por E o equivalente em água total do calorímetro, m a massa de água e c o calor específico da água, a equação calorimétrica do processo tornou-se, simplesmente:

2M.g.h = J.(E.Dq + m.c.Dq)

Os cálculos levaram-no a J = 4,186 N.m/cal, como sendo o fator de conversão da energia mecânica em calor.
Após a morte do cientista, em 1889, atribui-se à unidade de energia mecânica no Sistema MKS (racionalizado) a denominação de "joule". J = 4,186 joules/cal é o equivalente mecânico do calor, bastante conhecido dos alunos.

Com a adoção do Sistema Internacional de Unidades, onde todas as energias, independentemente da modalidade, são medidas em "joule", o fator de conversão entre algumas delas acaba fadado ao esquecimento; o J não escapa deste desenvolvimento ... assim como toda uma história de sacrifícios e glórias. Aqui manteremos a memória!

5- Equivalência entre trabalho elétrico, mecânico e calor
1- Elétrico - calor - Sabemos agora que para a produção de uma determinada quantidade de calor deve ser empregada sempre a mesma quantidade de trabalho mecânico. O calor, todavia, também pode ser produzido mediante um aquecedor elétrico de imersão.

Se R é a sua resistência elétrica, U a tensão aplicada a seus terminais, I a intensidade de corrente circulante e Dt o intervalo de tempo de funcionamento, teremos, para o trabalho elétrico Wel.:

Wel. = P.Dt = U.I.Dt = R.I².Dt (lei de Joule)

Se tal resistor estiver mergulhado na massa m de água, contida no calorímetro de equivalente em água E, durante o intervalo de tempo Dt, observa-se um acréscimo de temperatura de Dq; podemos por:

Q = E.Dq + m.c.Dq

Assim, ao trabalho elétrico Wel corresponderá a quantidade de calor produzido Q, tal que: 
Wel. = J.Q  ou Wel = J.(E+m.c).
Dq . O equivalente mecânico (ou elétrico) do calor será dado por:

J = Wel/Q = R.I².Dt/[(E+m).Dq]

O calorímetro a ser utilizado pode ser uma garrafa térmica (vaso de Dewar) ou uma caneca de alumínio de parede bem fina, colocada dentro de um copo de isopor.

 2- Elétrico + mecânico - Já sabemos que, com o auxílio da corrente elétrica, podemos produzir não somente calor (efeito Joule), mas também trabalho mecânico.
Como para a produção de uma determinada quantidade de calor é necessário sempre o mesmo número de W.s (ou joules) ou o mesmo trabalho mecânico, então é correta a suposição de que para a produção de trabalho mecânico, com a ajuda da corrente elétrica, deve existir uma relação fixa.
427 kgm são equivalentes a 1 kcal, e 1 kcal é por sua vez equivalente a 4186 W.s.

427 kgm ≈ 1 kcal  ≈  4186 W.s

Logo deve valer: 427 kgm  ≈  4186 w.s  ou  1 W.s ≈  0,102 kgm 

Vamos comprovar isto através de experiência. Com esta finalidade deixemos um motor elétrico executar trabalho, levantando um peso, ou freando através do atrito, conforme se ilustra:

Escolhemos o segundo processo porque o tempo em que ele se desenrola pode ser controlado da forma que desejarmos.

Dois cossinetes de madeira parafusáveis e forrados com couro, são presos ao eixo de um motor de corrente contínua (ilustração acima, à direita). A força de atrito é determinada por um medidor de forças (dinamômetro). No equilíbrio do travessão devemos levar em consideração que a força indicada pelo dinamômetro está para a força de atrito na mesma razão que r : k. [momento da Fat = Fat.r; momento da força F aplicada = F.k; no equilíbrio dos momentos: Fat.r = F.k, donde Fat = F.(k/r)]

O trabalho mecânico vale, então:  Wmec = F.(k/r).n.p.donde F é a força medida, k/r a razão entre os braços de alavanca, n o número de rotações e d o diâmetro do eixo do motor.
O trabalho elétrico equivalente a este trabalho mecânico é o produto da intensidade de corrente adicional Ia, pela tensão U e pelo tempo
Dt, subtraindo-se a parte do calor que se perde nos enrolamentos por causa
do aumento da intensidade de corrente: Wel= U.Ia.
Dt - R.Ia2.Dt . Esses dois trabalhos devem ser equivalentes.

De um experimento real colhemos os dados: F = 0,016 kgf; n = 2137; (k/r) = 100; d = 0,009 m; U = 150 V; Ia= 0,23 A; Dt = 30 s; R = 61,3 ohms. Resulta então:

Wmec = 100 . 0,016 kgf . 2137 . 3,14. 0,009 m = 96,6 kgm
Wel = 0,23 A . 150 V . 30s - (0,23² . 61,3 . 30) W.s = 937,7 W.s.

Assim, para a execução do trabalho mecânico de 96,6 kgm foram necessários 937,7 W.s.
1 W.s corresponde, por essas medições, a 0,103 kgm, portanto quase o valor anteriormente calculado. Com isto nossa suposição está confirmada.

Para se ter uma idéia desses números, vamos raciocinar sobre o esforço que um homem teria que despender para realizar o trabalho mecânico de 1 kWh.
Como 1 W.s é equivalente a 0,102 kgm, obtemos que 1kWh corresponderá a 367 000 kgm.
Podemos observar que a unidade de 1 kWh para o trabalho elétrico é uma unidade bastante grande.

Considere um alpinista cujo peso total (homem, roupa, mochila, equipamento) seja de 81 kgf e que tenha que vencer a altura de 2260 m. Quantas vezes ele deverá vencer tal altura para executar o trabalho mecânico de 1 kWh, ou seja, 367 000 kgm? Quanto ele deverá receber por esta empreitada que ele realiza em 7 horas?
Vejamos:( 1 vez) W = 81 kgf.2260 m = 183 060 kgm! (2 vezes) W = 2 . 183 060 kgm = 366 120 kgm! Certo, pouquinho mais de duas vezes.
Como cada kWh custa cerca de 34 centavos (R$ 0,34), ele deverá (no sentido da Física) receber R$ 0,34/7 = 0,05 R$/h.

3- Mecânico - calor
- Técnica do tubo contendo esferinhas de chumbo - Algumas dezenas de esferinhas de chumbo são colocadas no interior de um tubo de papelão ou PVC que tem suas extremidades vedadas por rolhas de borracha dura. Completa o kit experimental um termômetro de mercúrio de alta sensibilidade e uma rolha extra com um orifício central.

Material
1 tubo oco de material termicamente isolante (papelão ou PVC);
3 rolhas de borracha dura (ou cortiça), um delas com furo para passar o termômetro;
1 termômetro de mercúrio de 0 a 50ºC com 0,1ºC de precisão;
500 g de chumbo em grãos.

Com as mãos pega-se o tubo na vertical, dá-se um giro de 180º, para que as esferinhas sofram choques inelásticos com as tampas do tubo; cada giro, em número de n (no mínimo n = 100), as esferas caem da altura h (altura útil do tubo, cerca de 50 cm). A energia potencial gravitacional perdida por uma esfera de chumbo se transforma em calor, que é absorvido pela própria esfera. Conhecendo-se a variação da temperatura e a massa de cada esfera, bem como o calor específico do chumbo, é possível determinar a quantidade de calor absorvida em cada queda.

Estendendo-se o cálculo para todas as esferas, determina-se o equivalente mecânico do calor, como segue:
Considerando-se (n) quedas de altura h, a variação da energia potencial, devido a todas as (N) esferas de massa (m) vem expressa por:

Wmec= n.N.m.g.h

Seja Dq = q - qo a variação de temperatura das esferas após as n quedas. A quantidade de calor recebido pelas esferas equaciona-se:

Q = N.m.cPb.Dq

O equivalente mecânico do calor é obtido por: J = Wmec/Q =  n.N.m.g.h/(N.m.cPb.Dq) = n.g.h/(cPb.Dq) .

Observe que as únicas medidas que realmente deverão ser efetuadas são: n (número de quedas), h(comprimento útil do tubo -- veja esta medida na ilustração acima) e  Dq (variação de temperatura das esferas de chumbo). O calor específico do chumbo e a aceleração local da gravidade são extraídos de tabelas (cPb= 0,03 cal/g.ºC e g = 9,80 m/s²).

 


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