menu_topo

Fale com o professor Lista geral do site Página inicial Envie a um amigo Autor

O Princípio de Fermat 
(e as Leis da Óptica Geométrica)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Apresentação
Para ilustrar o princípio de Fermat, propomos duas montagens bem simples, no intuito de levar a efeito uma série de simulações — nas quais uma linha de costura representará o trajeto percorrido pela luz — que nos permitirão não só compreender melhor o princípio de Fermat, mas também, a partir deste, demonstrar algumas leis da Óptica Geométrica.

Vamos começar relembrando o próprio enunciado do princípio de Fermat:

A luz, para passar de um ponto a outro, leva o menor tempo possível.

À primeira vista, é bem verdade, esse enunciado parece vago ou até mesmo vazio de significado. Mas, assim como todos os outros princípios científicos, o princípio de Fermat somente adquire sentido para nós quando podemos percebê-lo em meio a situações concretas — em parte porque são os fatos que originam as leis científicas, e não o contrário.

O caminho óptico
Assim sendo, vamos lançar mão de um outro conceito da óptica para nos ajudar na percepção do significado do princípio de Fermat: o conceito de caminho óptico da luz, definido como a "extensão do trajeto efetivamente percorrido pela luz em um dado meio multiplicado pelo índice de refração desse meio".

Note que esse conceito refere-se à distância percorrida pela luz em um dado meio, enquanto o princípio de Fermat se refere ao tempo gasto pela luz para se propagar. E qual é o conceito físico definido como a relação entre a extensão de um dado trajeto com o tempo gasto para percorrê-lo? A resposta é elementar: é a velocidade — um conceito que já dominamos desde os primeiros capítulos da Cinemática.

Ilustremos isso tomando como exemplo a refração (figura 1): a luz segue o caminho AXB não porque este seja o mais curto (nesse caso, é óbvio que não é), mas sim por ser o mais rápido, e isso, como vimos, tem a ver com as velocidades v1 e v2 com que a luz se propaga nos dois meios.

Image488.gif (937 bytes)

O princípio de Fermat pode ser equacionado em função do caminho óptico e das correspondentes velocidades nesses meios. Vejamos como.

Aproveitando a figura acima como referência, teremos:

Essa última expressão nos mostra que o tempo será mínimo se o caminho óptico (d1.n1+d2.n2) também o for, uma vez que c é uma constante (velocidade da luz no vácuo).

A demonstração de que 'para ir de um ponto a outro, a luz utiliza tempo mínimo' (princípio de Fermat) fica, então, condicionada a mostrar que, 'para ir de um ponto a outro, a luz utiliza o menor caminho óptico possível'.

Essa correlação, é ponte entre o princípio de Fermat e as Leis da Óptica Geométrica; é ela que pretendemos demonstrar, pois essa é a idéia que dá validade às simulações que propomos.

Material

  • Uma polia (pequena);

  • linha de costura;

  • um "peso" (50 g de massa são suficientes);

  • dois lápis;

  • quadro-negro e giz.

Reflexão da luz
Passando para a parte prática, vamos demonstrar as leis da reflexão utilizando a montagem ilustrada abaixo. Partindo de nossas conclusões preliminares, nosso objetivo será encontrar o caminho mais curto possível entre o ponto A (que representa a fonte luminosa, nesta simulação) e o ponto B (que representa o observador), passando por um ponto X (ponto de incidência da luz) localizado sobre o porta-giz MN (que representa a superfície de um espelho plano). Nessa montagem, o quadro negro representa um meio homogêneo e transparente no qual a luz se propaga, e a linha de costura, o trajeto da luz dentro desse meio. Vejamos:

Uma polia é fixada na moldura do quadro negro, em A. A linha deve passar pela polia e manter suspenso um peso, em uma das extremidades; a outra extremidade deve ser fixada em B (por meio de um prego pequeno ou mesmo de um lápis, para não danificar o quadro, mas nesse caso alguém terá de ficar segurando o lápis). O lápis móvel X deverá manter a linha sempre encostada no porta-giz MN.

Movendo-se o lápis X na direção MN, o peso desloca-se verticalmente para cima ou para baixo. Uma vez que o comprimento da linha é fixo, o peso alcançará sua posição mais baixa quando no trajeto AXB for utilizado o menor comprimento de linha possível. Para facilitar a determinação da posição mais baixa do peso, pode-se traçar uma segmento de reta vertical no quadro negro, de tal modo que o peso se desloque ao longo dele, como ilustramos.

Viu como é fácil? Basta encontrar a posição do lápis móvel X que faça com que o peso encontre sua posição mais baixa em relação à polia. Nessa situação, uma vez que o caminho AXB terá extensão mínima, estaremos justamente simulando a situação que procurávamos: no equivalente óptico, como a velocidade da luz é a mesma para os trechos AX e BX (mesmo meio de propagação), os tempos para percorrê-los serão mínimos exatamente quando suas extensões forem mínimas.

Encontrada essa posição de X que faz com que o peso fique o mais baixo possível, chegar às leis da reflexão será muito simples. Agora é hora de usar o giz e traçar no quadro negro as linhas AX e XB (uma técnica é esfregar o giz na linha e bater a linha no quadro negro). Feito isso, trace uma linha perpendicular a MN no ponto X.

Assim, os trechos AX e BX, bem como a perpendicular a MN em X, estão todos no plano do quadro negro (tomara que essa região do quadro negro de sua sala de aula seja plana!). Essa é a primeira lei da reflexão: o raio incidente (representado por AX), a normal à superfície do espelho no ponto de incidência e o raio refletido (XB) pertencem ao mesmo plano.

Vamos agora à segunda lei da reflexão. Tome um ponto qualquer da normal, chamando-o, por exemplo, de P, como na figura seguinte (para obter uma construção geométrica de bom tamanho, evite que P fique muito próximo a X). Partindo de P, trace dois segmentos de reta — um perpendicular a AX, e outro, perpendicular a XB. Medindo esses segmentos, constataremos que o comprimento deles será o mesmo.

Assim sendo, teremos construído dois triângulos congruentes, pois:

  • ambos são triângulos retângulos;

  • a hipotenusa é comum aos dois;

  • cada um deles tem um cateto cujo comprimento é igual ao de um dos catetos do outro.

Ora, se os dois triângulos são congruentes, então seus ângulos são ordenadamente congruentes — logo, os ângulos formados junto ao ponto X são iguais. Essa é a segunda lei da reflexão: o ângulo de reflexão obtido é igual ao ângulo de incidência dado.

Conclusão: assumindo o princípio de Fermat, deduzimos as leis da reflexão.

Refração da luz
Na refração, vamos limitar nossa simulação para o seguinte caso: no primeiro meio de propagação (representado pelo quadro negro), o índice de refração será igual a 1 (n1 = 1), e no segundo (a parede da sala de aula), igual a 2 (n2 = 2). Simulações de outros casos também poderão ser preparadas (as diferenças serão pequenas).

Utilizaremos o mesmo equipamento do experimento anterior, com ligeira modificação. O ponto fixo B (lápis ou prego pequeno), agora, deverá ser posicionado abaixo da linha MN — ou seja, na parede, abaixo do quadro negro. Veja a ilustração:

A extremidade livre da linha é agora amarrada no lápis móvel X. A partir daí, passa pelo lápis fixo B, encosta no lápis móvel X e vai para a polia A . Observe que, como o índice de refração do meio abaixo de MN é igual a 2, o caminho óptico nesse meio (representado pelo comprimento total da linha, abaixo do quadro) é o dobro do caminho real (distância de X até B).

Nota: se n2 fosse igual a 3, bastaria amarrar a linha em B, passar por X, voltar a passar por B e retornar tocando X.

Daqui para a frente, basta seguir o mesmo procedimento do experimento anterior: escorregar o lápis móvel ao longo de MN até obter a posição de X, em MN, tal que o peso fique o mais baixo possível em relação à polia (esse procedimento garante que as extensões de linha requeridas para os percursos AX, XB e BX serão as menores possíveis). Uma vez encontrada essa posição, marque-a no porta-giz (MN).

Feito isso, vamos traçar (no quadro e na parede, seguindo os trechos de linha) os segmentos de reta que representarão o raio incidente (AX) e o raio refratado (BX). Para representar a normal à superfície de separação entre os dois meios de propagação, basta traçar uma perpendicular ao porta-giz (MN) sobre o ponto X.

A visualização da primeira lei da refração é imediata: o raio incidente, a normal à superfície de separação no ponto de incidência e o raio refratado pertencem ao mesmo plano.

Passemos para a segunda lei da refração, lembrando uma relação trigonométrica das mais elementares que se fará necessária nesta demonstração: em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é dado pela razão entre o comprimento do cateto oposto a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa.

Os ângulos que nos interessam, na figura acima, são aqueles formados entre AX e a normal (ângulo de incidência) e entre XB e a normal (ângulo de refração). Com o objetivo de estabelecer uma relação entre eles, traçamos uma circunferência com centro em X, de raio arbitrário (quanto maior for esse raio, mais clara será a construção geométrica, mas cuide para que B fique fora da circunferência). A partir dos pontos em que essa circunferência interceptar AX e XB, traçamos os segmentos DE e GF, perpendiculares à normal.

Pois bem: medindo esses segmentos, constataremos que DE tem o dobro do comprimento de GF (o que é perfeitamente coerente com o fato de n2 valer o dobro de n1, nesta simulação). Assim, podemos escrever:

DE = 2 × GF

Desse modo, para estabelecer uma relação entre o ângulo de incidência DXE e o ângulo de refração GXF, basta lançar mão da relação trigonométrica que mencionamos:

Sabemos, ainda, que DX = XF, pois ambos representam o raio da circunferência. Assim, chamando de r o raio da circunferência, podemos reescrever as relações 1 e 2 da seguinte maneira:


Portanto: sen AXE = 2
× sen GXF

Com isso, mostramos experimentalmente que o princípio de Fermat nos conduz à lei de Snell (neste caso, de maneira restrita, para n2 = 2 × n1).

A seguir, algumas curiosidades sobre o 'tempo mínimo'.


A Helena da Geometria

Um dos problemas propostos por Johann Bernoulli a Newton é o denominado problema da braquistócrona. Consiste em determinar a curva através da qual, o intervalo de tempo que leva um objeto para cair de um ponto a outro seja mínimo.

A curva em questão resultou ser um arco de ciclóide. A ciclóide é a curva descrita por um ponto da circunferência que "rola sobre uma reta", sem deslizar, como se vê na ilustração animada.

A ciclóide foi chamada de Helena da Geometria, não só por suas múltiplas propriedades, como também por ter sido alvo de disputa entre muitos matemáticos da época. O primeiro que a estudou com profundidade foi Evangelista Torricelli (1608-1647) que em 1644 publicou um tratado sobre ela.

Sob que trajetória deverá oscilar um pêndulo de maneira que seu período (tempo para uma oscilação completa) permaneça constante, independente da amplitude de oscilação?

Essa curva, denominada isócrona, foi descoberta por Christian Huygens(1629-1685) em 1673 e resultou ser também uma ciclóide.

Um pêndulo que oscila, como mostra a figura, entre duas ciclóides, é isócrono e descreve, por sua vez, uma ciclóide.

A ciclóide é, vejam vocês, tautócrona. Essa curiosa propriedade, também descoberta por Huygens, consiste no seguinte: desprezando-se o atrito, se invertermos uma ciclóide (como a da figura animada, ficando de barriga para baixo) e deixarmos cair um objeto pela mesma (algo como uma esfera numa canaleta lisa, para que ocorra escorregamento e não rolamento) este chegará no ponto mais baixo da curva em um intervalo de tempo que não dependerá do ponto de partida.

 


Copyright © Luiz Ferraz Netto - 2000-2011 ® - Web Máster: Todos os Direitos Reservados

Nova pagina 1