Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Apresentação
Para ilustrar o princípio de Fermat, propomos duas montagens bem simples, no intuito de levar a efeito uma série de simulações — nas quais uma linha de costura representará o trajeto percorrido pela luz — que nos permitirão não só compreender melhor o princípio de Fermat, mas também, a partir deste, demonstrar algumas leis da Óptica Geométrica.

Vamos começar relembrando o próprio enunciado do princípio de Fermat:

À primeira vista, é bem verdade, esse enunciado parece vago ou até mesmo vazio de significado. Mas, assim como todos os outros princípios científicos, o princípio de Fermat somente adquire sentido para nós quando podemos percebê-lo em meio a situações concretas — em parte porque são os fatos que originam as leis científicas, e não o contrário.

O caminho óptico
Assim sendo, vamos lançar mão de um outro conceito da óptica para nos ajudar na percepção do significado do princípio de Fermat: o conceito de caminho óptico da luz, definido como a "extensão do trajeto efetivamente percorrido pela luz em um dado meio multiplicado pelo índice de refração desse meio".

Ilustremos isso tomando como exemplo a refração (figura 1): a luz segue o caminho AXB não porque este seja o mais curto (nesse caso, é óbvio que não é), mas sim por ser o mais rápido, e isso, como vimos, tem a ver com as velocidades v₁ e v₂ com que a luz se propaga nos dois meios.

O princípio de Fermat pode ser equacionado em função do caminho óptico e das correspondentes velocidades nesses meios. Vejamos como.

Aproveitando a figura acima como referência, teremos:

Essa última expressão nos mostra que o tempo será mínimo se o caminho óptico (d₁.n₁+d₂.n₂) também o for, uma vez que c é uma constante (velocidade da luz no vácuo).

A demonstração de que 'para ir de um ponto a outro, a luz utiliza tempo mínimo' (princípio de Fermat) fica, então, condicionada a mostrar que, 'para ir de um ponto a outro, a luz utiliza o menor caminho óptico possível'.

Material

• Uma polia (pequena);

• linha de costura;

• um "peso" (50 g de massa são suficientes);

• dois lápis;

• quadro-negro e giz.

Reflexão da luz
Passando para a parte prática, vamos demonstrar as leis da reflexão utilizando a montagem ilustrada abaixo. Partindo de nossas conclusões preliminares, nosso objetivo será encontrar o caminho mais curto possível entre o ponto A (que representa a fonte luminosa, nesta simulação) e o ponto B (que representa o observador), passando por um ponto X (ponto de incidência da luz) localizado sobre o porta-giz MN (que representa a superfície de um espelho plano). Nessa montagem, o quadro negro representa um meio homogêneo e transparente no qual a luz se propaga, e a linha de costura, o trajeto da luz dentro desse meio. Vejamos:

Uma polia é fixada na moldura do quadro negro, em A. A linha deve passar pela polia e manter suspenso um peso, em uma das extremidades; a outra extremidade deve ser fixada em B (por meio de um prego pequeno ou mesmo de um lápis, para não danificar o quadro, mas nesse caso alguém terá de ficar segurando o lápis). O lápis móvel X deverá manter a linha sempre encostada no porta-giz MN.

Movendo-se o lápis X na direção MN, o peso desloca-se verticalmente para cima ou para baixo. Uma vez que o comprimento da linha é fixo, o peso alcançará sua posição mais baixa quando no trajeto AXB for utilizado o menor comprimento de linha possível. Para facilitar a determinação da posição mais baixa do peso, pode-se traçar uma segmento de reta vertical no quadro negro, de tal modo que o peso se desloque ao longo dele, como ilustramos.

Viu como é fácil? Basta encontrar a posição do lápis móvel X que faça com que o peso encontre sua posição mais baixa em relação à polia. Nessa situação, uma vez que o caminho AXB terá extensão mínima, estaremos justamente simulando a situação que procurávamos: no equivalente óptico, como a velocidade da luz é a mesma para os trechos AX e BX (mesmo meio de propagação), os tempos para percorrê-los serão mínimos exatamente quando suas extensões forem mínimas.

Encontrada essa posição de X que faz com que o peso fique o mais baixo possível, chegar às leis da reflexão será muito simples. Agora é hora de usar o giz e traçar no quadro negro as linhas AX e XB (uma técnica é esfregar o giz na linha e bater a linha no quadro negro). Feito isso, trace uma linha perpendicular a MN no ponto X.

Assim, os trechos AX e BX, bem como a perpendicular a MN em X, estão todos no plano do quadro negro (tomara que essa região do quadro negro de sua sala de aula seja plana!). Essa é a primeira lei da reflexão: o raio incidente (representado por AX), a normal à superfície do espelho no ponto de incidência e o raio refletido (XB) pertencem ao mesmo plano.

Vamos agora à segunda lei da reflexão. Tome um ponto qualquer da normal, chamando-o, por exemplo, de P, como na figura seguinte (para obter uma construção geométrica de bom tamanho, evite que P fique muito próximo a X). Partindo de P, trace dois segmentos de reta — um perpendicular a AX, e outro, perpendicular a XB. Medindo esses segmentos, constataremos que o comprimento deles será o mesmo.

Assim sendo, teremos construído dois triângulos congruentes, pois:

• ambos são triângulos retângulos;

• a hipotenusa é comum aos dois;

• cada um deles tem um cateto cujo comprimento é igual ao de um dos catetos do outro.

Conclusão: assumindo o princípio de Fermat, deduzimos as leis da reflexão.

Refração da luz
Na refração, vamos limitar nossa simulação para o seguinte caso: no primeiro meio de propagação (representado pelo quadro negro), o índice de refração será igual a 1 (n₁ = 1), e no segundo (a parede da sala de aula), igual a 2 (n₂ = 2). Simulações de outros casos também poderão ser preparadas (as diferenças serão pequenas).

Utilizaremos o mesmo equipamento do experimento anterior, com ligeira modificação. O ponto fixo B (lápis ou prego pequeno), agora, deverá ser posicionado abaixo da linha MN — ou seja, na parede, abaixo do quadro negro. Veja a ilustração:

A extremidade livre da linha é agora amarrada no lápis móvel X. A partir daí, passa pelo lápis fixo B, encosta no lápis móvel X e vai para a polia A . Observe que, como o índice de refração do meio abaixo de MN é igual a 2, o caminho óptico nesse meio (representado pelo comprimento total da linha, abaixo do quadro) é o dobro do caminho real (distância de X até B).

Nota: se n₂ fosse igual a 3, bastaria amarrar a linha em B, passar por X, voltar a passar por B e retornar tocando X.

Daqui para a frente, basta seguir o mesmo procedimento do experimento anterior: escorregar o lápis móvel ao longo de MN até obter a posição de X, em MN, tal que o peso fique o mais baixo possível em relação à polia (esse procedimento garante que as extensões de linha requeridas para os percursos AX, XB e BX serão as menores possíveis). Uma vez encontrada essa posição, marque-a no porta-giz (MN).

Feito isso, vamos traçar (no quadro e na parede, seguindo os trechos de linha) os segmentos de reta que representarão o raio incidente (AX) e o raio refratado (BX). Para representar a normal à superfície de separação entre os dois meios de propagação, basta traçar uma perpendicular ao porta-giz (MN) sobre o ponto X.

A visualização da primeira lei da refração é imediata: o raio incidente, a normal à superfície de separação no ponto de incidência e o raio refratado pertencem ao mesmo plano.

Passemos para a segunda lei da refração, lembrando uma relação trigonométrica das mais elementares que se fará necessária nesta demonstração: em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é dado pela razão entre o comprimento do cateto oposto a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa.

Os ângulos que nos interessam, na figura acima, são aqueles formados entre AX e a normal (ângulo de incidência) e entre XB e a normal (ângulo de refração). Com o objetivo de estabelecer uma relação entre eles, traçamos uma circunferência com centro em X, de raio arbitrário (quanto maior for esse raio, mais clara será a construção geométrica, mas cuide para que B fique fora da circunferência). A partir dos pontos em que essa circunferência interceptar AX e XB, traçamos os segmentos DE e GF, perpendiculares à normal.

Pois bem: medindo esses segmentos, constataremos que DE tem o dobro do comprimento de GF (o que é perfeitamente coerente com o fato de n₂ valer o dobro de n₁, nesta simulação). Assim, podemos escrever:

Desse modo, para estabelecer uma relação entre o ângulo de incidência DXE e o ângulo de refração GXF, basta lançar mão da relação trigonométrica que mencionamos:

Sabemos, ainda, que DX = XF, pois ambos representam o raio da circunferência. Assim, chamando de r o raio da circunferência, podemos reescrever as relações 1 e 2 da seguinte maneira: