Sistema Refletor Triédrico
(3 espelhos planos)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
É de conhecimento geral que um espelho plano só reflete os raios diretamente para trás, ou seja, de volta á fonte de luz, no caso em que a incidência é normal (ângulo de incidência de 0^o). Basta deslocar um pouco essa incidência e os raios refletidos não retornarão mais ao ponto de origem. Entretanto, poderemos construir um sistema de espelhos que gire os raios incidentes de 180^o, qualquer que seja o ângulo de incidência. Em tal "espelho" a pessoa verá sua imagem independentemente de como se situa em relação a ele. Esse é o objetivo desse projeto.

Essa é a propriedade que exibe um sistema de três espelhos planos colocados em ângulo reto um em relação aos outros (análogo ás faces de um cubo que convergem em um vértice). Vejamos a montagem e, a seguir, a justificação da propriedade.

Montagem
A montagem do sistema refletor em questão, utilizará três placas quadradas (50 cm x 50 cm) de espelhos planos e uma armação de madeira que os sustente formando um triedro tri-retângulo. A montagem também é conhecida pelo nome de 'sistema cúbico de espelhos'.

Montagem do triedro refletor

As imagens
Cada par de espelhos a 90^o forma, de um ponto objeto real, colocado em seu espaço (campo) diedro, três imagens:

n_xy = (360^o/90^o) - 1 = 3 imagens; n_xz = (360^o/90^o) - 1 = 3 imagens; n_yz = (360^o/90^o) - 1 = 3 imagens

O número total de imagens ser: N_t = n_xyz = n_xy + n_xz + n_yz = 9 imagens

Conjugação de pontos

Como o espelho E_x participa do par (E_x, E_y) e do par (E_x, E_z), uma das imagens é comum, baixando o total para 8. Do mesmo modo, E_y participa do par (E_y, E_z) e do par (E_y, E_x), baixando o total de imagens para 7, em virtude das superposições. E_z, já está incluído nos pares acima. Assim, o sistema constituído pelos três espelhos perpendiculares dois a dois, conjuga 7 imagens de um ponto objeto A.

Pela propriedade da simetria, esses 8 pontos (1 objeto puntual e suas 7 imagens) serão os vértices de um paralelepípedo, cujo centro é o vértice V comum aos três espelhos (ponto de encontro dos 3 planos ortogonais entre si), como se vê na figura acima, onde ressaltamos as superposições
                                                                              A_yzx = A_zxy = A_yxz 

Se o objeto é extenso (a cabeça do observador, por exemplo), as imagens A_y, A_z e A_yz são direitas (cabeça para cima) e as demais são invertidas (cabeça para baixo). Para esse observador, a 7^a  imagem de sua cabeça, de cabeça para baixo, estará sempre "presa" na região do vértice.
Essa é outra das montagens indispensáveis em Exposições Científicas.

Justificando
Examinemos, inicialmente, o caso bidimensional mostrado na ilustração a seguir:

O vetor c₁ que representa a velocidade da luz pode ser decomposto nas componentes v₁ e v₂, respectivamente normal e tangente ao plano do primeiro espelho (E₁). Após a primeira reflexão a componente v₂ permanece invariável, enquanto que a componente normal troca de sinal (inverte seu sentido de propagação), conforme indica o vetor v^'₁. Posto que os espelhos estão dispostos segundo um ângulo diédrico reto um em relação ao outro, a componente v₂ tangente ao primeiro espelho, será normal ao segundo e, por isso, troca de sinal por ocasião da segunda reflexão. Ao invés, v'₁ mantém sua orientação.
Desse modo, após duas reflexões, ambas as componentes do vetor c₁ trocam de sinal e, por isso, o vetor girou de 180^o, como se houvesse incidido num único espelho sob incidência normal. Entre os raios incidente e refletido há apenas uma ligeira translação de modo que, se a fonte é extensa, os raios refletidos retornam á própria fonte.

No caso tridimensional, o vetor c associado ao raio incidente, deve ser decomposto em três componentes v₁, v₂ e v₃ normais ao primeiro, segundo e terceiro espelhos, respectivamente. Então, ao refletir-se em cada espelho, apenas uma das componentes mudará de sinal e, ao fim e ao cabo, após três reflexões, teremos a inversão das três componentes e o raio emergente terá girado de 180^o em relação ao raio incidente primitivo.

Semelhante propriedade também se conseguirá mediante um prisma triangular, que pode ser obtido cortando-se um cubo de vidro por um plano que passa pelos extremos de três arestas que partem do mesmo vértice; em tal prisma as três faces laterais fazem o papel de espelhos planos.

Tanto esses, como outros dispositivos constituem, como já salientamos, os sistemas refletores angulares. Um desses sistemas (de fabricação francesa) foi colocado na Lua: pelo intervalo de tempo que retarda um feixe de luz laser emitido da Terra, chegar ao refletor e retornar foi possível medir, com assombrosa precisão, a distância Terra-Lua.
Além disso, os refletores angulares encontram aplicação mais simples, porém não menos espetacular: o "olho de gato", os refletores que habitualmente vemos 'alinhados' ao longo das rodovias ou em 'tabuletas' de advertências.