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Sistema Refletor Triédrico
(3 espelhos planos)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
É de conhecimento geral que um espelho plano só reflete os raios diretamente para trás, ou seja, de volta á fonte de luz, no caso em que a incidência é normal (ângulo de incidência de 0o). Basta deslocar um pouco essa incidência e os raios refletidos não retornarão mais ao ponto de origem. Entretanto, poderemos construir um sistema de espelhos que gire os raios incidentes de 180o, qualquer que seja o ângulo de incidência. Em tal "espelho" a pessoa verá sua imagem independentemente de como se situa em relação a ele. Esse é o objetivo desse projeto.

Essa é a propriedade que exibe um sistema de três espelhos planos colocados em ângulo reto um em relação aos outros (análogo ás faces de um cubo que convergem em um vértice). Vejamos a montagem e, a seguir, a justificação da propriedade.

Montagem
A montagem do sistema refletor em questão, utilizará três placas quadradas (50 cm x 50 cm) de espelhos planos e uma armação de madeira que os sustente formando um triedro tri-retângulo. A montagem também é conhecida pelo nome de 'sistema cúbico de espelhos'.

Montagem do triedro refletor

As imagens
Cada par de espelhos a 90o forma, de um ponto objeto real, colocado em seu espaço (campo) diedro, três imagens:

nxy = (360o/90o) - 1 = 3 imagens; nxz = (360o/90o) - 1 = 3 imagens; nyz = (360o/90o) - 1 = 3 imagens

O número total de imagens ser: Nt = nxyz = nxy + nxz + nyz = 9 imagens

Conjugação de pontos

Como o espelho Ex participa do par (Ex, Ey) e do par (Ex, Ez), uma das imagens é comum, baixando o total para 8. Do mesmo modo, Ey participa do par (Ey, Ez) e do par (Ey, Ex), baixando o total de imagens para 7, em virtude das superposições. Ez, já está incluído nos pares acima. Assim, o sistema constituído pelos três espelhos perpendiculares dois a dois, conjuga 7 imagens de um ponto objeto A.

Pela propriedade da simetria, esses 8 pontos (1 objeto puntual e suas 7 imagens) serão os vértices de um paralelepípedo, cujo centro é o vértice V comum aos três espelhos (ponto de encontro dos 3 planos ortogonais entre si), como se vê na figura acima, onde ressaltamos as superposições
                                                                              Ayzx = Azxy = Ayxz 

Se o objeto é extenso (a cabeça do observador, por exemplo), as imagens Ay, Az e Ayz são direitas (cabeça para cima) e as demais são invertidas (cabeça para baixo). Para esse observador, a 7a  imagem de sua cabeça, de cabeça para baixo, estará sempre "presa" na região do vértice.
Essa é outra das montagens indispensáveis em Exposições Científicas.

Justificando
Examinemos, inicialmente, o caso bidimensional mostrado na ilustração a seguir:

O vetor c1 que representa a velocidade da luz pode ser decomposto nas componentes v1 e v2, respectivamente normal e tangente ao plano do primeiro espelho (E1). Após a primeira reflexão a componente v2 permanece invariável, enquanto que a componente normal troca de sinal (inverte seu sentido de propagação), conforme indica o vetor v'1. Posto que os espelhos estão dispostos segundo um ângulo diédrico reto um em relação ao outro, a componente v2 tangente ao primeiro espelho, será normal ao segundo e, por isso, troca de sinal por ocasião da segunda reflexão. Ao invés, v'1 mantém sua orientação.
Desse modo, após duas reflexões, ambas as componentes do vetor c1 trocam de sinal e, por isso, o vetor girou de 180o, como se houvesse incidido num único espelho sob incidência normal. Entre os raios incidente e refletido há apenas uma ligeira translação de modo que, se a fonte é extensa, os raios refletidos retornam á própria fonte.

No caso tridimensional, o vetor c associado ao raio incidente, deve ser decomposto em três componentes v1, v2 e v3 normais ao primeiro, segundo e terceiro espelhos, respectivamente. Então, ao refletir-se em cada espelho, apenas uma das componentes mudará de sinal e, ao fim e ao cabo, após três reflexões, teremos a inversão das três componentes e o raio emergente terá girado de 180o em relação ao raio incidente primitivo.

Semelhante propriedade também se conseguirá mediante um prisma triangular, que pode ser obtido cortando-se um cubo de vidro por um plano que passa pelos extremos de três arestas que partem do mesmo vértice; em tal prisma as três faces laterais fazem o papel de espelhos planos.

Tanto esses, como outros dispositivos constituem, como já salientamos, os sistemas refletores angulares. Um desses sistemas (de fabricação francesa) foi colocado na Lua: pelo intervalo de tempo que retarda um feixe de luz laser emitido da Terra, chegar ao refletor e retornar foi possível medir, com assombrosa precisão, a distância Terra-Lua.
Além disso, os refletores angulares encontram aplicação mais simples, porém não menos espetacular: o "olho de gato", os refletores que habitualmente vemos 'alinhados' ao longo das rodovias ou em 'tabuletas' de advertências.

 


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