menu_topo

Fale com o professor Lista geral do site Página inicial Envie a um amigo Autor

Estudo das imagens - 1

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

A determinação geométrica e analítica das imagens conjugadas pelas vários sistemas ópticos é conhecimento indispensável na física dos fenômenos luminosos. Vamos iniciar nossos estudos abordando casos específicos, não triviais, sobre espelhos e lentes.
Apoiaremos nossos estudos em questões propostas.

Questão 1. Obter a imagem da pessoa AB, conjugada pelo espelho plano, na situação ilustrada abaixo.

Esse é um caso não trivial. Não são poucas as pessoas que pensam assim: "para ter imagem é preciso ficar na frente do espelho; diante dele. Na ilustração proposta o espelho está muito acima e, portanto, não haverá imagem alguma."
Isso é um equívoco, há uma imagem conjugada e sua obtenção é a mostrada a seguir:

Não é nada difícil entender que para construir a imagem basta tomar o prolongamento do espelho e construir a imagem simétrica em relação a esse prolongamento.
Entretanto, será que a pessoa poderá ver sua própria imagem? 

Não, tal pessoa não verá sua própria imagem, pelo fato do espelho estar bem acima e, além disso, inclinado de forma desfavorável. Em outras palavras, o olho da pessoa-objeto está fora do campo do espelho. Uma outra pessoa, com o olho na região A'B' indicada, poderá enxergá-la. Essa outra pessoa (olho) está dentro do campo do espelho para o objeto em questão. Veja o conceito de campo do espelho para um dado ponto objeto em nosso resumo teórico.

Analisemos a seguir as imagens conjugadas por um sistema de dois espelhos planos perpendiculares entre si (sistema refletor ortogonal).

Em (a) temos o ponto objeto P no diedro refletor desse sistema. Esse ponto P permite dividir esse diedro em quatro regiões, como se indica em (b). Raios de luz provenientes de P e incidentes nos espelhos nas regiões (1) e (2), como se ilustra em (c), sofrerão reflexões simples e definirão as imagens P1 e P2. Raios de luz emergentes de P e que dirigem-se para a região (4), não incidem nos espelhos e não conjugarão imagem alguma. Raios de luz que partem de P, na região (3) incidirão num dos dois espelhos, refletem-se e incidem no outro espelho, abandonando o sistema após duas reflexões. Cada uma dessas primeiras reflexões simples colaboram na conjugação das imagens P1 e P2 mas, as segundas reflexões definirão as imagens P12 e P21 que são coincidentes e pertencem ao plano que contém P e a aresta da união dos dois espelhos. P12 = P21 são formadas por duplas reflexões.

Assim, nesse caso, teremos três imagens conjugadas (e não apenas duas), duas delas obtidas por uma única reflexão de raios incidentes (as duas triviais) e a terceira por raios que experimentam dupla reflexão, uma em cada espelho. Um modo 'virtual' de encarar a questão é imaginar que as imagens P1 e P2 passam a funcionar como objetos 'reais' para os espelhos E2 e E1, respectivamente. Assim, para P1 o espelho E2 conjuga a imagem P12 e, para P2 o espelho E1 conjuga a imagem P21 as quais, dadas as simetrias, coincidem espacialmente.

Questão 2. Obter a imagem da seta luminosa (objeto real), conjugada pela lente convergente, na situação ilustrada abaixo, em (a).

Essa resolução gráfica é trivial e a resposta está indicada em (b), acima, onde utilizamos alguns dos 'raios notáveis'. Agora, vamos supor que a metade superior da lente seja obstruída por uma placa opaca, como se indica em (c). 
Que acontece com a imagem nessa nova situação?

Não diga precipitadamente que a imagem desaparece! Isso é um equivoco. Não esqueça que a imagem de qualquer ponto da seta-objeto (seu extremo superior, por exemplo) não é formada por apenas dois ou três raios de luz que se interceptam (como fazemos habitualmente nas construções geométricas) e sim por infinitos deles como se ilustra em (d), acima. Desse modo o obstáculo opaco irá interceptar apenas uma parte (ilustrada em amarelo em (e)) desse pincel que atravessa a lente e conjuga a imagem. Como apenas parte do pincel foi utilizada na obtenção da imagem, entende-se porque ela se mostrará menos brilhante.
Todo fotógrafo tem noção nítida dessa ação de 'fechar o diafragma' de sua câmara fotográfica --- diminuir a área útil da lente e com isso diminuir o brilho da foto. Mas, ao mesmo tempo, o fotógrafo também sabe que essa ação terá uma conseqüência benéfica --- a imagem torna-se mais nítida.
Como se explica isso?

Todas as questões propostas sobre sistemas ópticos corriqueiros, tais como  espelhos e lentes, normalmente desprezam, implicitamente, os defeitos inerentes a tais sistemas. O termo 'defeito', na realidade, nem é exatamente bem apropriado pois não se trata de insuficientes aleatórias, por exemplo, das lentes e sim de cuidar das propriedades básicas da Óptica Geométrica. 
Para as lentes, do caso em questão, os raios notáveis assim como a equação dos focos conjugados e demais, foram estabelecidas para "certas condições" dos raios incidentes denominadas "condições de Gauss'. Vejamos como se verificam as condições de Gauss e, para tanto, consideremos um 'largo' feixe de raios paralelos ao eixo da lente.

Esses raios, após refratarem-se na lente, cortarão o eixo principal em pontos distintos, como se ilustra acima em (a). O foco da lente (ponto de convergência de todos os raios paralelos que incidiram na lente) resulta espalhado sobre uma região do eixo principal (DF) e a imagem do objeto distante não é nada nítida.
Tal espalhamento será maior quanto mais afastado do eixo principal estiverem os raios incidentes. Ao fecharmos o diafragma anteposto na lente, através dele passará um feixe cilíndrico de luz cada vez mais estreito e, com isso, a nitidez da imagem irá melhorar, ás custas de perda de brilho (luminosidade). O espalhamento do foco irá diminuindo progressivamente com o fechamento do diafragma, (b) e (c) na ilustração acima. Quando esses raios incidentes estiverem bem próximos do eixo principal --- e passam a ser denominados 'raios paraxiais' --- o foco é único e a imagem conjugada é nítida.
É preciso ter sempre em mente que as construções e equacionamentos na Óptica Geométrica são válidos para tais 'condições de Gauss'. Fora dessas condições teremos que nos precaver das 'aberrações' que se farão presentes. Fora dessas condições não poderemos falar em plano focal de uma lente, ou seja, da existência do plano que é perpendicular a seu eixo principal passando pelo foco da mesma.

Questão 3. Obter a direção do raio AA' após atravessar a lente convergente. Para um outro raio incidente BB' conhecemos a direção que toma o raio emergente da lente, como se ilustra abaixo, em (a).

Esse não é um exercício trivial e assim, os alunos 'bitolados' nos 'raios notáveis' e no conhecimento prévio do foco da lente, sem dúvida, sair-se-ão mal. Apesar do foco não estar evidente, ele poderá ser encontrado o que sem dúvida ajudará na resolução da questão.

Nesses casos, é habitual a introdução de um objeto auxiliar usando um dos pontos do raio incidente (BB') cujo raio emergente (B'B") é conhecido. Coloquemos uma seta-objeto auxiliar em C, como se ilustra em (b), acima. De C tiramos o raio incidente CO que atravessa a lente sem sofrer desvio. Esse raio intercepta o raio emergente conhecido B'B" em E. Em E estará a imagem de C conjugada pela lente (seta tracejada). Todos os demais raios que partem de C e atravessam a lente deverão convergir para E, em particular aquele que parte de C paralelamente ao eixo principal, ele se refrata e emerge passando pelo foco F e indo para E. Temos o foco F.

Podemos introduzir uma nova seta-objeto, agora com seu extremo sobre um ponto do raio incidente AA', como ilustramos em (c). Com dois raios  notáveis, um AO e outro paralelo ao eixo principal, podemos determinar a imagem de A. Ora, todos os raios que partem de A deverão convergir sobre essa imagem e portanto podemos obter o raio emergente correspondente ao incidente AA', como se apresenta em (c).

Essa solução 'não é muito elegante' pois girou sobre a terrível busca do foco principal e ajuda de dois objetos auxiliares. Ele não é necessário. 
Vejamos a solução apresentada em (d) na ilustração acima.
Por O construímos o raio EO paralelo ao incidente BB'; esse raio corta o raio emergente conhecido B'B" num foco secundário --- logo, podemos traçar o plano focal, perpendicular ao ep e passando por esse foco secundário. Por O construímos o raio CO paralelo ao raio incidente AA' e esse corta o plano focal em outro foco secundário --- justamente aquele por onde deve passar o raio emergente A'A", solução da questão.

Questão 4Análoga á anterior, trocando-se a lente convergente por uma divergente. Obter a direção do raio AA' após atravessar a lente divergente. Para um outro raio incidente BB' conhecemos a direção que toma o raio emergente da lente, como se ilustra abaixo, em (a).

Tracemos por O o raio paralelo a BB' (em vermelho, na ilustração (b)). Construamos o prolongamento do raio emergente correspondente ao incidente BB'; esse raio traçado por O e o prolongamento interceptam num foco secundário virtual. Traçamos o plano focal virtual, perpendicular a ep e passando por esse foco secundário virtual.
Traçamos por O o raio paralelo ao raio incidente AA' (em verde na ilustração); ele corta o plano focal virtual num outro ponto focal secundário; por esse ponto e A' traçamos a direção do raio emergente (em amarelo na ilustração) correspondente ao incidente AA'.

Questão 5Para um dado objeto pode uma lente conjugar, ao mesmo tempo, uma imagem real e outra virtual?

Pode, e para tanto basta pensar numa fina haste deitada sobre o eixo principal de uma lente convergente, com uma extremidade aquém do foco e outra extremidade entre o foco e a lente. Um ponto A dessa haste situado antes do foco dará imagem real (do lado da lente em que a luz emerge) e um outro ponto B situado entre o foco e a lente dará imagem virtual (do lado da lente em que a luz incide). A medida que esses pontos escolhidos A e B se deslocam em sentido ao foco suas imagens caminham para o infinito, á esquerda e á direita.
Nessa situação especial do objeto, sua imagem se compõe de 'dois pedaços', cada um deles iniciando-se a uma dada distância da lente e prolongando-se para o infinito.

Questão 6Temos duas lentes convergentes de eixos principais coincidentes e distâncias focais distintas. Construir a imagem final conjugada por esse sistema de uma seta-objeto disposta como se ilustra em (a). Os focos da lente L1 são indicados por x e os da lente L2 por o.

Um pensamento comum que ocorre entre os alunos é o seguinte: "Primeiro construímos a imagem conjugada pela primeira lente sem considerar a existência da segunda e, a seguir, usaremos essa imagem obtida como sendo objeto para a segunda lente, sem considerar a existência da primeira delas."

Esse é um erro bem característico. Várias vezes já escutei essa resposta que é falsa. Essa construção está indicada acima na ilustração (c). Construímos primeiro a imagem conjugada pela lente L1 (seta vinho, fina) e a partir dela a imagem conjugada pela lente L2 (seta vinho larga).

Vejamos a construção correta (ilustrada em (b)) que servirá de confronto para essa construção falsa em (c).

Do topo da seta-objeto tiramos dois raios notáveis que, após atravessarem L1, incidem em L2. Pelo centro óptico da segunda lente traçamos as linhas paralelas a esses raios emergentes da lente L1. Como sabemos das questões precedentes, essas retas cortam o plano focal da L2 nos focos secundários, por onde devem emergir os raios que incidem na lente L2. Na intersecção desses raios emergentes de L2 temos o ponto imagem final do topo da seta-objeto (seta vinho estreita e menor que o objeto).
Confronte as respostas postas em (b) -- correta -- e em (c) -- falsa --.

O que aconteceu na construção (c) foi uma falha 'técnica' porém, entretanto, esse método pode ser usado tomando-se os devidos cuidados. Para ilustrar isso, e mostrar que os dois métodos realmente funcionam e dão resultados coincidentes, propomos a situação onde a seta-objeto encontra-se entre o foco da lente L1 e a lente L1.

Em (a) ilustramos a construção segundo o método que recomendo e em (b) a construção típica obtendo-se primeiro a imagem conjugada pela lente L1 e usando-a como objeto para a lente L2. Observe que os resultados coincidem --- apesar do trabalho extra!

 


Copyright © Luiz Ferraz Netto - 2000-2011 ® - Web Máster: Todos os Direitos Reservados

Nova pagina 1