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Estudo
das imagens - 1
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
A
determinação geométrica e analítica das imagens conjugadas pelas vários
sistemas ópticos é conhecimento indispensável na física dos fenômenos
luminosos. Vamos iniciar nossos estudos abordando casos específicos, não
triviais, sobre espelhos e lentes.
Apoiaremos nossos estudos em questões propostas.
Questão
1. Obter
a imagem da pessoa AB, conjugada pelo espelho plano, na situação
ilustrada abaixo.
Esse
é um caso não trivial. Não são poucas as pessoas que pensam assim:
"para ter imagem é preciso ficar na frente do espelho; diante dele.
Na ilustração proposta o espelho está muito acima e, portanto, não
haverá imagem alguma."
Isso é um equívoco, há uma imagem conjugada e sua obtenção é a
mostrada a seguir:
Não
é nada difícil entender que para construir a imagem basta tomar o
prolongamento do espelho e construir a imagem simétrica em relação a
esse prolongamento.
Entretanto, será que a pessoa poderá ver sua própria
imagem?
Não,
tal pessoa não verá sua própria imagem, pelo fato do espelho estar bem
acima e, além disso, inclinado de forma desfavorável. Em outras
palavras, o olho da pessoa-objeto está fora do campo do espelho.
Uma outra pessoa, com o olho na região A'B' indicada, poderá enxergá-la.
Essa outra pessoa (olho) está dentro do campo do espelho para o objeto em
questão. Veja o conceito de campo do espelho para um dado ponto
objeto em nosso resumo teórico.
Analisemos
a seguir as imagens conjugadas por um sistema de dois espelhos planos
perpendiculares entre si (sistema refletor ortogonal).
Em
(a) temos o ponto objeto P no diedro refletor desse sistema. Esse ponto P
permite dividir esse diedro em quatro regiões, como se indica em
(b). Raios de luz provenientes de P e incidentes nos espelhos nas regiões
(1) e (2), como se ilustra em (c), sofrerão reflexões simples e definirão
as imagens P1 e P2. Raios de luz emergentes de P e que dirigem-se para a
região (4), não incidem nos espelhos e não conjugarão imagem alguma.
Raios de luz que partem de P, na região (3) incidirão num dos dois
espelhos, refletem-se e incidem no outro espelho, abandonando o sistema após
duas reflexões. Cada uma dessas primeiras reflexões simples colaboram na
conjugação das imagens P1 e P2 mas, as segundas reflexões definirão as
imagens P12 e P21 que são coincidentes e pertencem ao plano que contém P
e a aresta da união dos dois espelhos. P12 = P21 são formadas por
duplas reflexões.
Assim,
nesse caso, teremos três imagens conjugadas (e não apenas duas), duas
delas obtidas por uma única reflexão de raios incidentes (as duas
triviais) e a terceira por raios que experimentam dupla reflexão, uma em
cada espelho. Um modo 'virtual' de encarar a questão é imaginar que as
imagens P1 e P2 passam a funcionar como objetos 'reais' para os espelhos
E2 e E1, respectivamente. Assim, para P1 o espelho E2 conjuga a imagem P12
e, para P2 o espelho E1 conjuga a imagem P21 as quais, dadas as simetrias,
coincidem espacialmente.
Questão
2. Obter
a imagem da seta luminosa (objeto real), conjugada pela lente convergente,
na situação ilustrada abaixo, em (a).
Essa
resolução gráfica é trivial e a resposta está indicada em (b), acima,
onde utilizamos alguns dos 'raios notáveis'. Agora, vamos supor que a
metade superior da lente seja obstruída por uma placa opaca, como se
indica em (c).
Que acontece com a imagem nessa nova situação?
Não
diga precipitadamente que a imagem desaparece! Isso é um equivoco. Não
esqueça que a imagem de qualquer ponto da seta-objeto (seu extremo
superior, por exemplo) não é formada por apenas dois ou três
raios de luz que se interceptam (como fazemos habitualmente nas construções
geométricas) e sim por infinitos deles como se ilustra em (d), acima.
Desse modo o obstáculo opaco irá interceptar apenas uma parte (ilustrada
em amarelo em (e)) desse pincel que atravessa a lente e conjuga a imagem.
Como apenas parte do pincel foi utilizada na obtenção da imagem,
entende-se porque ela se mostrará menos brilhante.
Todo fotógrafo tem noção nítida dessa ação de 'fechar o diafragma'
de sua câmara fotográfica --- diminuir a área útil da lente e com isso
diminuir o brilho da foto. Mas, ao mesmo tempo, o fotógrafo também sabe
que essa ação terá uma conseqüência benéfica --- a imagem torna-se mais
nítida.
Como se explica isso?
Todas
as questões propostas sobre sistemas ópticos corriqueiros, tais como
espelhos e lentes, normalmente desprezam, implicitamente, os defeitos
inerentes a tais sistemas. O termo 'defeito', na realidade, nem é
exatamente bem apropriado pois não se trata de insuficientes aleatórias,
por exemplo, das lentes e sim de cuidar das propriedades básicas da Óptica
Geométrica.
Para as lentes, do caso em questão, os raios notáveis assim como a equação
dos focos conjugados e demais, foram estabelecidas para "certas condições"
dos raios incidentes denominadas "condições de Gauss'. Vejamos como
se verificam as condições de Gauss e, para tanto, consideremos um
'largo' feixe de raios paralelos ao eixo da lente.
Esses
raios, após refratarem-se na lente, cortarão o eixo principal em pontos
distintos, como se ilustra acima em (a). O foco da lente (ponto de convergência
de todos os raios paralelos que incidiram na lente) resulta espalhado
sobre uma região do eixo principal (DF)
e a imagem do objeto distante não é nada nítida.
Tal espalhamento será maior quanto mais afastado do eixo principal
estiverem os raios incidentes. Ao fecharmos o diafragma anteposto na
lente, através dele passará um feixe cilíndrico de luz cada vez mais
estreito e, com isso, a nitidez da imagem irá melhorar, ás custas de
perda de brilho (luminosidade). O espalhamento do foco irá diminuindo
progressivamente com o fechamento do diafragma, (b) e (c) na ilustração
acima. Quando esses raios incidentes estiverem bem próximos do eixo
principal --- e passam a ser denominados 'raios paraxiais' --- o foco é
único e a imagem conjugada é nítida.
É preciso ter sempre em mente que as construções e equacionamentos na
Óptica Geométrica são válidos para tais 'condições de Gauss'. Fora
dessas condições teremos que nos precaver das 'aberrações' que se farão
presentes. Fora dessas condições não poderemos falar em plano focal de
uma lente, ou seja, da existência do plano que é perpendicular a seu
eixo principal passando pelo foco da mesma.
Questão
3. Obter
a direção do raio AA' após atravessar a lente convergente. Para um
outro raio incidente BB' conhecemos a direção que toma o raio emergente
da lente, como se ilustra abaixo, em (a).
Esse
não é um exercício trivial e assim, os alunos 'bitolados' nos 'raios
notáveis' e no conhecimento prévio do foco da lente, sem dúvida,
sair-se-ão mal. Apesar do foco não estar evidente, ele poderá ser
encontrado o que sem dúvida ajudará na resolução da questão.
Nesses
casos, é habitual a introdução de um objeto auxiliar usando um dos
pontos do raio incidente (BB') cujo raio emergente (B'B") é
conhecido. Coloquemos uma seta-objeto auxiliar em C, como se ilustra em
(b), acima. De C tiramos o raio incidente CO que atravessa a lente sem
sofrer desvio. Esse raio intercepta o raio emergente conhecido B'B"
em E. Em E estará a imagem de C conjugada pela lente (seta tracejada).
Todos os demais raios que partem de C e atravessam a lente deverão
convergir para E, em particular aquele que parte de C paralelamente ao
eixo principal, ele se refrata e emerge passando pelo foco F e indo
para E. Temos o foco F.
Podemos
introduzir uma nova seta-objeto, agora com seu extremo sobre um ponto do
raio incidente AA', como ilustramos em (c). Com dois raios notáveis,
um AO e outro paralelo ao eixo principal, podemos determinar a imagem de
A. Ora, todos os raios que partem de A deverão convergir sobre essa
imagem e portanto podemos obter o raio emergente correspondente ao
incidente AA', como se apresenta em (c).
Essa
solução 'não é muito elegante' pois girou sobre a terrível busca do
foco principal e ajuda de dois objetos auxiliares. Ele não é necessário.
Vejamos a solução apresentada em (d) na ilustração acima.
Por O construímos o raio EO paralelo ao incidente BB'; esse raio corta o
raio emergente conhecido B'B" num foco secundário --- logo, podemos
traçar o plano focal, perpendicular ao ep e passando por esse foco secundário.
Por O construímos o raio CO paralelo ao raio incidente AA' e esse corta o
plano focal em outro foco secundário --- justamente aquele por onde deve
passar o raio emergente A'A", solução da questão.
Questão
4. Análoga
á anterior, trocando-se a lente convergente por uma divergente. Obter
a direção do raio AA' após atravessar a lente divergente. Para um outro
raio incidente BB' conhecemos a direção que toma o raio emergente da
lente, como se ilustra abaixo, em (a).
Tracemos
por O o raio paralelo a BB' (em vermelho, na ilustração (b)).
Construamos o prolongamento do raio emergente correspondente ao incidente
BB'; esse raio traçado por O e o prolongamento interceptam num foco
secundário virtual. Traçamos o plano focal virtual, perpendicular a ep e
passando por esse foco secundário virtual.
Traçamos por O o raio paralelo ao raio incidente AA' (em verde na ilustração);
ele corta o plano focal virtual num outro ponto focal secundário; por
esse ponto e A' traçamos a direção do raio emergente (em amarelo na
ilustração) correspondente ao incidente AA'.
Questão
5. Para
um dado objeto pode uma lente conjugar, ao mesmo tempo, uma imagem real e
outra virtual?
Pode,
e para tanto basta pensar numa fina haste deitada sobre o eixo principal
de uma lente convergente, com uma extremidade aquém do foco e outra
extremidade entre o foco e a lente. Um ponto A dessa haste situado antes
do foco dará imagem real (do lado da lente em que a luz emerge) e um
outro ponto B situado entre o foco e a lente dará imagem virtual (do lado
da lente em que a luz incide). A medida que esses pontos escolhidos A e B
se deslocam em sentido ao foco suas imagens caminham para o infinito, á
esquerda e á direita.
Nessa situação especial do objeto, sua imagem se compõe de 'dois pedaços',
cada um deles iniciando-se a uma dada distância da lente e prolongando-se
para o infinito.
Questão
6. Temos
duas lentes convergentes de eixos principais coincidentes e distâncias
focais distintas. Construir a imagem final conjugada por esse sistema de
uma seta-objeto disposta como se ilustra em (a). Os focos da lente L1 são
indicados por x
e os da lente L2 por o.
Um
pensamento comum que ocorre entre os alunos é o seguinte: "Primeiro
construímos a imagem conjugada pela primeira lente sem considerar a existência
da segunda e, a seguir, usaremos essa imagem obtida como sendo objeto para
a segunda lente, sem considerar a existência da primeira delas."
Esse
é um erro bem característico. Várias vezes já escutei essa resposta
que é falsa. Essa construção está indicada acima na ilustração (c).
Construímos primeiro a imagem conjugada pela lente L1 (seta vinho, fina)
e a partir dela a imagem conjugada pela lente L2 (seta vinho larga).
Vejamos
a construção correta (ilustrada em (b)) que servirá de confronto para
essa construção falsa em (c).
Do
topo da seta-objeto tiramos dois raios notáveis que, após atravessarem
L1, incidem em L2. Pelo centro óptico da segunda lente traçamos as
linhas paralelas a esses raios emergentes da lente L1. Como sabemos das
questões precedentes, essas retas cortam o plano focal da L2 nos focos
secundários, por onde devem emergir os raios que incidem na lente L2. Na
intersecção desses raios emergentes de L2 temos o ponto imagem final do
topo da seta-objeto (seta vinho estreita e menor que o objeto).
Confronte as respostas postas em (b) -- correta -- e em (c) -- falsa --.
O
que aconteceu na construção (c) foi uma falha 'técnica' porém,
entretanto, esse método pode ser usado tomando-se os devidos cuidados.
Para ilustrar isso, e mostrar que os dois métodos realmente funcionam e dão
resultados coincidentes, propomos a situação onde a seta-objeto
encontra-se entre o foco da lente L1 e a lente L1.
Em
(a) ilustramos a construção segundo o método que
recomendo e em (b) a construção típica obtendo-se primeiro a
imagem conjugada pela lente L1 e usando-a como objeto para a lente L2.
Observe que os resultados coincidem --- apesar do trabalho extra!
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