menu_topo

Fale com o professor Lista geral do site Página inicial Envie a um amigo Autor

Óptica Geométrica
(Parte 2 - Espelhos Planos)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Preliminares
É de conhecimento geral que, quando a luz incide na superfície de separação de dois meios ordinários, subsistem, fundamentalmente, dois fenômenos, o de reflexão e o da refração.
Se não forem mencionados, explicitamente, quer a natureza óptica do meio (2) (transparente, translúcido ou opaco), quer o tipo de superfície de separação (lisa, áspera, metálica polida, branca etc.) devemos, na realidade, dizer que são quatro os fenômenos que ocorrem concomitantemente, quando um pincel de luz proveniente do meio (1) incide na superfície de separação com o meio (2): reflexão, difusão, refração e absorção.
Se pretendermos neste trabalho, analisar detalhadamente o fenômeno da reflexão, deveremos impor condições tanto para a natureza do meio (2) como para o tipo de superfície, de modo que o fenômeno predominante seja aquele que queremos, o de reflexão regular; então especificamos:

a) o meio (2) deve ser opaco --- para evitar a refração;
b) a superfície de separação deve ser metálica e bem polida --- para evitar tanto a absorção como a difusão.

Feito isso, o fenômeno predominante será o de reflexão regular. A superfície de separação receberá a denominação de superfície refletora ou espelho.

Segundo a forma da superfície, teremos a classificação:

Leis da reflexão
O fenômeno da reflexão regular é regido pelo segundo princípio da Óptica Geométrica, que se traduz por duas "leis":

1a lei - rege o comportamento do raio refletidos em relação ao plano de incidência;
2a lei - rege a relação entre a medida do ângulo de reflexão e a medida do ângulo de incidência.

Para indicarmos simbolicamente as leis da reflexão regular, convém declarar as notações de que nos utilizaremos (acompanhe pela Fig.0):

Então:

1a lei da reflexão: R'1 C a1  (lê-se: o raio refletido está contido no plano de incidência).
2a lei da reflexão: q'1 = q1 (lê-se: os ângulos de reflexão e de incidência têm mesma medida).

Imagem de um ponto, conjugado por um espelho plano
Consideremos um ponto P, luminoso ou iluminado, diante de um espelho plano E, conforme se ilustra a seguir (Fig.1):

Dentre todos os raios de luz que passam ou emanam de P e que incidem na superfície refletora E, selecionemos dois deles: um R1, que incide perpendicularmente ao espelho (ângulo de incidência q1 = 0o) e outro, R2 , qualquer, que incide sobre E segundo um ângulo de incidência q2 =/= 0o. Indiquemos por R'1 e R'2, respectivamente, os raios refletidos conjugados de R1 e R2.
Pela lei da reflexão,
q'1 = q1 = 0o, portanto, o raio R'1, emergente de E, voltará sobre o próprio raio incidente R1 ; pela mesma lei o angulo de reflexão q'2 = q2. Os raios emergentes de E, dos quais destacamos R'1 e R'2, definem assim, um pincel cônico divergente, cujo vértice indicamos por P'.
De acordo com a classificação da natureza dos pontos conjugados por um dado sistema óptico, podemos dizer que:

P é (P0R)E, uma vez que ele é vértice de um pincel incidente, cônico e divergente (Fig.2, esquerda);

P' é (PIV)E, uma vez que ele é vértice de um pincel emergente, cônico e divergente (Fig.2, direita).

Na Fig.1, acima, dos triângulo PI1I2 e P'I1I2, tiramos:

<ângulo>PI1I2 = <ângulo>P'I1I2 = 90o , com <lado>I1I2 comum;
<ângulo>PI2I1 = <ângulo>P'I2I1 = 90 -
q2
E assim, podemos concluir pelo caso (ALA) da geometria dos triângulos que, os triângulos I1PI2 e I1P'I2 são congruentes. De sua igualdade resulta que:

<lado>I1P = <lado>I1P'

As observações postas nos permitem concluir que:

a) P e P' estão situados em semi-espaços opostos em relação ao plano do espelho E;
b) de I1P = I1P', resulta que P e P' são eqüidistantes do plano do espelho;
c) P e P' estão situados numa mesma reta, perpendicular ao plano do espelho E.

Dois pontos P e P' que satisfazem as três propriedades acima enunciadas são ditos simétricos em relação ao plano de espelho E, e podemos, então enunciar:

Propriedade Importante: O ponto P' é simétrico do ponto P em relação ao plano do espelho E.

Se traçarmos, a partir de P, outros raios R3, R4, ...  incidentes no espelho E, este conjugará à cada raio incidente um raio refletido, que indicaremos por R'3, R'4, ... , cujos prolongamentos irão interceptar o raio refletido R'1 em pontos P", P'", ..., que também serão simétricos do ponto P em relação ao plano do espelho E. Isto porque, o raciocínio usado para o raio incidente genérico R2, se repetirá para os demais R3, R4 etc.
A Geometria, no entanto, nos afirma que é único o ponto simétrico de um ponto em relação a um plano. Em vista disso, podemos concluir que:

P' = P" = P'" = ...

ou seja, ao ponto objeto P corresponde um único ponto imagem P', fornecido pelo espelho plano E. Isto quer dizer que:

O espelho plano é um sistema óptico rigorosamente estigmático.

[Veja o artigo ABERRAÇÕES, nesta mesma Sala 09, para justificar porque o espelho plano é o
 único sistema óptico rigorosamente estigmático, aplanético e ortoscópico.]

É fácil observar que, tanto para os objetos como para as imagens, o semi-espaço que está na frente da superfície refletora do espelho é "Real", enquanto que o semi-espaço que esta atrás da superfície refletora do espelho é "Virtual". Enunciamos, então, que:

Num espelho plano, objeto e imagem têm sempre naturezas opostas.

Assim, como ilustramos na fig. 3 (esquerda), se o objeto for real (POR), a imagem será virtual (PIV), e se, como ilustramos na fig. 3 (direita), o objeto for virtual (POV), a imagem será real (PIR).

Nota - A segunda lei da reflexão põe em evidencia que:

Sempre, em qualquer circunstância, o pincel de luz refletido tem a mesma natureza do pincel incidente.

Desta maneira, como ilustramos na fig. 4, pincel incidente e emergente serão simultaneamente, divergentes, convergentes ou paralelos.

Traçado do pincel de luz
Para se obter o 'traçado do pincel de luz' que permite ao globo ocular GO contemplar a imagem P' que o espelho conjuga do objeto P, seguimos o mesmo critério usado para os sistemas ópticos em geral (veja Parte 1 desse trabalho).
Enquanto, na Parte 1, os sistemas, ou melhor, os pontos conjugados pelo sistema óptico eram dados previamente, agora isso não é mais necessário, pois que, dado o ponto objeto, o aluno já deve saber determinar exatamente onde se localiza o correspondente ponto imagem --- simétrica do objeto em relação ao espelho plano. É a técnica do GISO (globo ocular G, imagem I, sistema S e objeto O) conforme ilustramos na Fig. 5.

Imagem de um objeto extenso
O que vimos até então, sobre espelhos planos, diz respeito a um único ponto objeto. Vejamos, agora, como se comporta a imagem que um espelho plano conjuga, de um objeto extenso (com forma geométrica simples) colocado diante dele. Seja, por exemplo, o objeto ABCDEF, da Fig. 6, luminoso  ou iluminado, postado diante do espelho plano E .

A rigor, para construirmos a imagem desse hexágono deveríamos determinar os pontos imagens dos infinitos pontos objetos que constituem ABCDEF; todavia, é fácil observar que é suficiente tomar os simétricos A', B', C', D', E' e F' dos pontos significativos  A, B, C, D, E e F respectivamente. Unindo-se convenientemente esses pontos imagens, dois a dois, teremos o contorno da imagem do hexágono objeto dado.
Como se pode perceber, a imagem e o objeto são 'idênticos' e têm as mesmas dimensões, mas a adequada e perfeita superposição de ambos dependerá de outros fatores.
Se a operação de ajustar um (objeto) sobre o outro (imagem) implicar apenas em translações, somente em raríssimas situações ocorrerá tal superposição (objetos unidimensionais, paralelos ou perpendiculares ao espelho). Se, entretanto, para tal superposição de objeto e imagem pudermos jogar com convenientes translações e rotações, a superposição será possível em diversos casos, a saber:

a) objeto unidimensional --- sempre ocorrerá;
b) objeto bidimensional   --- sempre ocorrerá;
c) objeto tridimensional   --- poderá ocorrer, desde que o objeto admita pelo menos um plano
                                            de simetria (tetraedro regular, por exemplo).

Se o objeto tridimensional não admitir nenhum plano de simetria (a mão direita, por exemplo), não será possível, com quaisquer que sejam as rotações e translações, superpor objeto e imagem. Figuras nessas condições, idênticas na forma, mas não superponíveis, são denominadas figuras enantiomorfas ou inversamente iguais.
As mãos direita e esquerda constituem um exemplo bastante sugestivo de figuras enantiomorfas; realmente são objetos tridimensionais, mas que não admitem nenhum plano de simetria. É fácil perceber que uma constitui imagem especular da outra; no entanto elas não são superponíveis.

Definição: chama-se "figura objeto" a figura cujos pontos são considerados como pontos objeto em relação a um sistema óptico.

Campo de um espelho em relação a um ponto
Sejam dados um espelho plano E e um ponto O de seu semi-espaço real, como se ilustra na Fig. 7 (esquerda).

Situemos, então no ponto O o centro da pupila do olho do observador. Este, nessa posição, conseguirá ver apenas uma parte do semi-espaço real, contemplado através do espelho. O lugar geométrico dos pontos do espaço que são vistos através do espelho plano E, por um observador cuja pupila situa-se no ponto O, denomina-se campo do espelho E em relação ao ponto O.
É fácil observar que este campo é a parte real de um cone (ou pirâmide) que é obtido com vértice no ponto 0', simétrico de O em relação ao plano de E, e tendo como diretriz o contorno do espelho E, conforme se ilustra na Fig.7 (direita).
Abaixo (esquerda) ilustramos o campo visual de um espelho plano circular, em relação ao POR. Abaixo (direita) propomos um exercício:

Obter, graficamente, para que posições do olho, um observador pode ver em um espelho plano, de dimensões finitas, a imagem de um segmento de reta, localizado relativamente ao espelho como se ilustra.

A solução gráfica, como ilustramos a seguir, consiste em traçar inicialmente a imagem de AB em relação ao espelho (simetria) e a partir dos extremos do segmento-imagem, traçar os raios que tangenciam o espelho. A região destacada em azul corresponde ao conjunto de pontos onde se pode dispor o globo ocular --- campo do espelho em relação a AB.

Translação de espelho plano
Consideremos um espelho plano numa posição E1 diante do qual há um ponto objeto P, conforme ilustramos na fig. 8.
Mantendo-se fixo o ponto objeto P translademos o espelho até que ele atinja uma nova posição E2. Indiquemos por  dE = E1E2  o deslocamento experimentado pelo espelho. Obviamente, a imagem, inicialmente numa posição P1, sofrerá também um deslocamento translatório dI, no mesmo sentido que o do espelho, e atingirá uma nova posição P2, de modo que  dI = P1P2.
Calculemos, então, em função de dE o valor do deslocamento dI da imagem.


Temos:

(1) dI = P1P2 = PP2 - PP1
(2) dE = AB = PB - PA

A propriedade da simetria nos fornece:
P1A = PA   e   P2B = PB

então:
PP1 = PA + P1A = 2.PA
PP2 = PB + P2B = 2.PB

levando esses dados na (1), vem:
dI = PP2 - PP1 = 2.PB - 2.PA = 2(PB - PA) = 2.dE
                                                 \-----------/
                                                      (2)

donde a conclusão:     dI = 2.dE

Para um dado ponto objeto fixo, o deslocamento da imagem conjugada por um espelho plano em translação é o dobro do deslocamento de espelho e se efetua no mesmo sentido deste.

Estudo cinemático na translação
Se o espelho E translada com velocidade constante v, em relação a um dado referencial, a imagem P' se deslocará, neste referencial, com velocidade também constante v', no mesmo sentido que o espelho, de valor 2v. [Se o espelho translada com aceleração constante a, a imagem se deslocará com aceleração constante a', de valor 2a.]
Na ilustração acima, adotando o eixo de movimento d+ com origem no ponto fixo P, e espelho na posição inicial do = PA,  teremos:

Espelho em translação uniforme
lei horária do espelho:  dE = do + v.t
lei horária da imagem:  dI  = 2do + 2v.t

Espelho em translação uniformemente variada
lei horária do espelho:  dE = do + vo.t + (1/2)a.t2
lei horária da imagem:  dI  = 2do + 2vo.t + a.t2

Rotação de espelho plano

1a parte - Desvio do raio refletido
Seja dado um espelho plano numa posição E1, no qual incide um raio de luz, de direção r fixa, conforme indicamos na fig. 9. O plano de incidência é definido por r e pela normal N1 no ponto de incidência I1. Sempre supondo que r permaneça fixo, consideremos a rotação do espelho em torno de um eixo (T), perpendicular ao plano de incidência (r,N1). O espelho, após girar do ângulo
aE, [aE = E1TE2] ocupará a posição E2.
É fácil observar que o raio refletido r1 também sofrerá um giro caracterizado pelo ângulo
br.Procuremos, então, o valor de br , supondo conhecido o valor de aE.

Principiemos por observar que  bn  = aE já que esses ângulos possuem lados respectivamente perpendiculares. Observemos, também, que os giros definidos por  aE, br e bn têm todos o mesmo sentido de rotação (horário na ilustração acima).
Observando o triângulo 0I1I2, vemos que o ângulo 2
q2 é externo a este triângulo, valendo, então a soma dos internos não adjacentes:  2q2 = 2q1 + br  e, portanto:  br = 2q2 - 2q1 = 2(q2 - q1) ... (equação 1) .

Se atentarmos para o triângulo  NI1I2 , veremos que o ângulo q2 é externo a este triângulo, valendo então, a soma dos internos não adjacentes: q2 = q1 + bn   ou  bn = q2 - q1   ... (equação 2) .
Levando (
equação 2) em (equação 1) obtém-se:

br  = 2.bn     ou    br  = 2.aE

Para um raio incidente fixo, o ângulo de giro do raio refletido é o dobro do ângulo de giro do espelho e se verifica no mesmo sentido deste. 

2a parte - Estudo cinemático na rotação
Seja um espelho plano numa posição E1, diante do qual há um ponto objeto P, conforme mostra a fig. 10.

Mantendo fixo o ponto objeto P, giremos o espelho de um ângulo aE em torno do eixo T (cujo traço é perpendicular ao plano da figura), até que ele atinja, assim, uma nova posição E2 .
Obviamente a imagem, inicialmente na posição P1, girará também, no mesmo sentido que o espelho, e irá assumir a nova posição P2.

Da propriedade da simetria tiramos: TP = TP1  e, pela mesma propriedade,  TP = TP2 .

Daí concluímos que, quando o espelho gira em torno de T, a imagem também o faz, no mesmo sentido, e de tal forma que sua trajetória seja uma circunferência, situada num plano perpendicular ao eixo T, com centro nesse eixo, e com raio R igual à distancia do ponto objeto P ao eixo T. ==> R = TP = TP1 = TP2 .

Para reforçar o resultado da rotação, vejamos, agora, em função do aE  quanto vale o ângulo de giro bI executado pela imagem. Procedendo de maneira análoga a que fizemos na translação do espelho plano, a saber:

bI = <arco>P1P2 = <arco>PP2 - <arco>PP1 = 2.<arco>PA2 - 2.<arco>PA1 =
= 2.<arco>(PA2 - PA1) = 2.<arco>A1A2 = 2
aE .
bI = 2aE 

Se o espelho E girar com velocidade angular w constante, em relação a um dado referencial, a imagem I girará, no mesmo referencial, com velocidade angular também constante, no mesmo sentido que o espelho, e com valor igual a  2w .

Método de Poggendorff
Em Fisica experimental, sobretudo em aparelhos de alta precisão, torna-se necessário em muitas situações, medir o angulo de rotação de um corpo, de uma peça, etc.
Poggendorff imaginou um excelente processo para a realização dessas medidas, com base na propriedade da rotação dos espelhos planos.
Para a realização prática desse método procede-se, em linhas gerais, da seguinte forma, ilustrada na fig. 11:

a) fixa-se ao corpo girante (bobina móvel de um galvanômetro, por exemplo) um pequeno espelho plano, de tal modo que o seu plano seja paralelo ao eixo de rotação;
b) com auxílio de um dispositivo especial (pincel de laser, por exemplo) faz-se incidir um 'raio luminoso', perpendicularmente ao espelho, sobre o eixo de rotação;
e) na posição da “fonte” (origem do raio) e paralelamente ao plano de espelho coloca-se uma régua graduada nos dois sentidos (para a esquerda e para a direita), de tal maneira que o raio refletido, que na posição inicial coincide com o incidente, passe pelo ZERO da régua.

Seja D a distância que separa a régua do plano do espelho. A seguir, se a peça girar de um ângulo a, o espelho plano sofrerá o mesmo giro. Por conseguinte, o raio refletido sofrerá um desvio angular de 2a, passando do ZERO para uma nova graduação da régua. O raio refletido, sofre, portanto, sobre a régua, um deslocamento L, como se vê na figura. Equacionemos o giro a experimento pela peça (e pelo espelho), em função da geometria da montagem:

No triângulo IOX, que se individualiza, podemos obter:   tg2a = L/D  ... (1).
Dessa expressão, já seria possível encontrar-se, por processos trigonométricos, o valor do ângulo procurado, pois: 
a = [arc tg (L/D)]/2 .
No entanto, seria de todo ineficiente um método que nos obrigasse a consultar tabelas de funções trigonométricas. Por isso, o método de Poggendorff só é utilizado para a medida de pequenos ângulos, até um limite de 6o aproximadamente. Realmente, para tais valores angulares, a tangente é igual ao valor do ângulo expresso em radianos.
Nessas condições, a expressão (1) se torna: 

tg2a = 2a  e, portanto  2a = L/D , donde se tira, a = L/2D  ... (2)  .

A distancia D que separa a régua do espelho pode ser feita invariável, constituindo assim uma constante do dispositivo. Consequentemente, podemos substituir o termo 1/2D  por uma constante K.
A expressão
(2) se torna:

a = K.L

Essa expressão mostra existir no dispositivo construído, uma proporcionalidade direta, expressa por função linear, entre o ângulo de rotação do espelho e o deslocamento do raio refletido sobre a régua graduada. Isto nos diz que, para cada valor de rotação do espelho corresponde um e só um valor para o deslocamento do ponto luminoso na régua.
Este fato nos indica a possibilidade de graduar a régua diretamente em valores angulares, ao invés de valores de comprimento. Admitamos, por exemplo, que cada centímetro de deslocamento do ponto luminoso na régua corresponda a um giro do espelho, de 0,1 rd. Assim, em lugar de colocar na régua 1cm, 2 cm, 3 cm, etc., colocamos diretamente os valores dos ângulos 0,1 rd, 0,2 rd, 0,3 rd etc.
Inúmeros aparelhos de precisão se utiliza do método de Poggendorff; é o caso, por exemplo, dos amperômetros, da balança de torção, do goniômetro de reflexão, dos espectroscópios, etc.

Imagens múltiplas com espelhos de vidro
Devido à espessura do vidro, os espelhos estanhados (estanho protegido com tinta preta) dão imagens múltiplas de um mesmo objeto O. Na ilustração abaixo, o estreito pincel incidente que parte de O, ao atingir a face de vidro, divide-se em duas partes desiguais; a parcela mais tênue é refletida e conjuga uma fraca imagem virtual , a outra, mais intensa refrata-se e ao chegar ao estanho, reflete-se, volta à superfície onde se divide, por sua vez, em duas partes desiguais. A maior parte refrata e sai, conjugando a imagem virtual Io, intensa (imagem útil); a outra se reflete e dirige-se para o estanho, onde se reflete novamente e assim por diante, dando imagens I1, I2, ..., cada vez mais fracas. Olhando obliquamente, notam-se as várias imagens.

Nota: Colocando-se um objeto sobre o espelho de vidro, a imagem principal Io dista dele do dobro da espessura do espelho.

Associação de espelhos planos
1a parte - Espelhos paralelos
Até o presente momento estivemos trabalhando com um único espelho plano; vejamos o que ocorre quando defrontamos, paralelamente, as faces refletoras de dois espelhos planos (fig.12).

 

Situemos na região na qual se defrontam dois espelhos um ponto objeto P. Examinemos, inicialmente, apenas a luz que, saindo de P, incide em E1 e se reflete. Ela dará origem a uma imagem P1. Essa luz refletida por E1, como que proveniente da imagem P1, funcionará como objeto para E2, formando a imagem P12 e assim por diante, formando as imagens P121, P1212 etc. Obteremos, então, um número infinito de imagens.
Se considerarmos, agora, a luz que, saindo de P, incide em E2, ela originará uma primeira imagem P2. Esta funcionará como objeto para E1dando uma imagem P21. Esta funcionará novamente como objeto para E2 formando a imagem P212 e assim sucessivamente formando as imagens P2121, P21212 etc.

Assim, teremos duas seqüencias infinitas de imagens:
(iniciada em E1) = P1, P12, P121, P1212, ........
(iniciada em E2) = P2, P21, P212, P2121, ........

Concluímos, então, que considerando todas as imagens formadas pela associação, teremos uma infinidade de imagens do ponto P.
É importante observar que, na pratica, conseguimos apenas um número finito de imagens visíveis. Isto porque, cada reflexão é acompanhada de fenômenos parasitas (absorção e, em menor, escala, difusão), que fazem com que a energia transmitida por um feixe de luz refletido seja sempre menor que aquela transportada pelo correspondente feixe de luz incidente. Depois de um certo número de reflexões, as imagens formadas não mais serão visíveis para o olho humano.

2a parte - Espelhos angulares
Consideremos dois espelhos planos E1 e E2 que formam entre si um angulo a para o qual estão voltadas as suas superfícies refletores. Coloquemos no interior desse ângulo um ponto objeto real P, intensamente luminoso ou iluminado.
Os raios de luz provenientes desse ponto sofrem reflexão regular, tanto no espelhos E1 como no E2, formando as respectivas imagens virtuais A1 e B1.
Por sua vez, os raios que se refletem em um dos espelhos, incidem no outro, cada ponto imagem funcionando como ponto objeto e, com isso, formando novas imagens virtuais (fig.13).

Destarte, é fácil perceber que, em vista dessas reflexões múltiplas sofridas pelos raios de luz nos dois espelhos, formam-se duas séries de imagens:
—uma série, que chamaremos de A e que se inicia por reflexão no espelho E1.
—uma série, que chamaremos de B e que se inicia por reflexão no espelho E2 .

É fácil perceber que as referidas séries não são infinitas (como no caso de espelhos paralelos); elas tem um determinado número de imagens do ponto P. Cada uma das séries termina quando se forma uma imagem que não pode servir de objeto para outro espelho. Para tanto, tal imagem "improdutiva" deve se formar atrás de ambas as superfícies refletoras dos espelhos, como é fácil de se notar na figura acima,
no ângulo oposto a
a, formado pelos prolongamentos das superfícies dos espelhos. Tal ângulo é denominado ângulo morto e as imagens que aí se formam são ditas imagens estéreis, pois não podem dar origem a outras, nome que contrasta com as imagens férteis, que são aquelas que se formam fora do referido ângulo morto, e que podem, por conseguinte, dar origem a novas imagens.

Facilmente se mostra que o ponto objeto P e suas imagens, em ambas as séries, estão situadas numa mesma circunferência, com centro na aresta do ângulo formado entre os espelhos. Nesse fato se baseia a criação de um sistema referencial de coordenadas polares, que permite calcular em qualquer caso, o número de imagens que se forma.As considerações a respeito desse especial sistema de referência são complexas, e fogem, portanto, aos limites de nossa exposição.
Interessa-nos considerar apenas alguns casos essenciais, ou melhor, especiais, nos quais o número de imagens é possível ser calculado por fórmulas simples.
Assim, sendo o número de imagens formadas pode ser calculado pela expressão

N = 360/a - 1

quando:
a)
360/a é um número inteiro par, para qualquer posição do objeto dentro da região considerada;
b) 360/a é um número inteiro ímpar, estando o objeto exatamente sobre o plano bissetor do ângulo diedro
   
a formado pelos dois espelhos.

Se o ângulo diedro determinado pelos planos dos espelhos é q (qualquer) e o ponto objeto P é localizado em coordenadas polares por r e a , tem-se (recorra à fig.14):


(180 -
a)/q = (n1)excesso e    (180 - b)/q = (n1)excesso ; então   Ntotal = (n1)excesso + (n2)excesso .

Se (180-a) ou (180-b) forem múltiplos de q, torna-se: Ntotal = (n1)exc.+ (n2)exc. - 1 = 360/q - 1 .

 

* Segue Óptica Geométrica - parte 3 - Espelhos esféricos *

 


Copyright © Luiz Ferraz Netto - 2000-2011 ® - Web Máster: Todos os Direitos Reservados

Nova pagina 1