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Formação de imagens ópticas
segundo a Teoria Ondulatória

Prof. Luiz Ferraz Netto
luizferraz.netto@gmail.com

Introdução
Em trabalho anterior já estudamos a formação de imagens reais e virtuais, conjugadas por sistemas ópticos simples, pelo método da Óptica Geométrica. Porém, para que tenhamos uma visão completa dos fenômenos que intervêm na formação de imagens ópticas é necessário que tomemos como base a teoria ondulatória.

Consideremos ainda, mantendo um caso particularmente simples, a imagem real I de um ponto objeto O contido no eixo principal de uma lente convergente e não coincidente com o foco objeto desta, como ilustramos abaixo em (a):

O método da ondulatória
Em lugar de raios (não desenhados), destacaremos agora um grupo de superfícies de onda perpendiculares a estes. Entre duas superfícies de onda consecutivas existirá uma diferença de marcha
l, de modo que aquelas serão eqüidistantes em um dado meio. Como a velocidade da luz no ar é maior que no material da lente, nesta as superfícies de onda estarão mais próximas entre si. Na lente, as superfícies de onda encurtam seu passo e sofrem um atraso tanto maior quanto mais extenso for o trajeto percorrido dentro do cristal. Desse modo, as regiões de uma superfície de onda que caminha pelo centro da lente (maior espessura) apresentam, na saída, um atraso máximo e, as próximas aos bordos apresentam um mínimo. As superfícies de ondas refratadas emergem da lente primeiro pelos bordos (atraso mínimo) e finalmente pelo centro (atraso máximo).

Uma análise
(1) Se O está além da distância focal da lente (p > f), as superfícies de onda, ao saírem da lente, estão voltadas para o outro lado; seu centro não estará mais do lado objeto e sim numa nova posição, em I (ilustração acima, em a). Na sua marcha pelo exterior da lente, as ondas se concentram em I e se propagam a partir desse ponto do mesmo modo que, antes, se propagaram a partir de O. Logo, I é uma imagem real de O.

(2) Se O está localizado no foco objeto da lente (p = f), as superfícies de onda que abandonam a lente são planas, o ponto imagem I é impróprio (p'® ¥).

(3) Se O se aproxima da lente (p < f), o centro I das ondas que emergem da lente estará do mesmo lado da lente (lado que contém O) e as ondas parecem sair de I; I é uma imagem virtual de O (ilustração acima, em b).

Caminhos ópticos
Se imaginarmos desenhados os raios perpendiculares às superfícies de onda desde O até I, observaremos que quando a imagem é real (ilustração acima, em a), corresponde a cada raio o mesmo número de comprimentos de onda
l (próprio de cada meio) e, portanto, o intervalo de tempo que a luz necessita para ir de O a I, ao longo de cada raio que atravessa a lente, é sempre o mesmo. A posição relativa da imagem e do objeto está determinada pela condição de que o intervalo de tempo que a luz necessita para ir de um a outro, seja independente do caminho percorrido no interior da lente. Porém, isto significa que o caminho óptico relativo a qualquer raio que vá de O até I através da lente, é constante. Entre um objeto e sua imagem não existe nenhum caminho óptico privilegiado, senão que, todos os caminhos possíveis passando pela lente são opticamente equivalentes.

Também nas imagens virtuais, como ilustramos acima em (b), para qualquer superfície de onda depois de passar pela lente, se cumpre a condição de que os caminhos ópticos que ligam o objeto O e com um ponto qualquer dessa superfície são todos equivalentes.

Do ponto de vista da Óptica Ondulatória, estas condições são imediatamente compreensíveis. Para que em I (da ilustração a, acima, por exemplo) se produza uma 'intensificação' máxima da luz, é necessário que os raios coerentes que passam por esse ponto não se 'debilitem' mutuamente por interferência, e isso é unicamente possível quando tiverem percorridos caminhos ópticos iguais desde O até I.

Analogamente, só poderemos ver uma imagem virtual quando os raios que saem da lente e se reúnem logo em nossa retina (após passarem por outro sistema óptico), não se neutralizem por interferência; isto exige que ditos raios apresentem a mesma fase em todos os pontos de uma superfície de onda; vale dizer, que todos os caminhos ópticos entre O e ditos pontos dessa superfície sejam idênticos.

Nova análise
Consideremos esses fatos em um caso bastante simples: o de um espelho côncavo.
A ilustração abaixo, em (a), representa um espelho côncavo que produz uma imagem real I (i) do objeto real O (o).

Suponhamos construída a seta imagem I e fixemos nossa observação para um raio qualquer que parta da ponta do objeto, reflete-se no espelho e passe pela ponta dessa imagem. Sejam p e p' as distâncias que separam os pés do objeto e da sua imagem do vértice desse espelho; seja R o raio de curvatura deste.
Indiquemos por x a distância do ponto de incidência desse raio até o eixo principal e por d a distância desse ponto de incidência ao plano tangente ao espelho, pelo seu vértice.
Com as limitações que já conhecemos para os sistemas ópticos (condições de estigmatismo de Gauss), sabemos que as distâncias x e, com maior razão, d são muito pequenas em confronto com o, i e R. As propriedades geométricas da circunferência nos permitem, pois, escrever: d » x2/2R.

Em primeiro lugar, da ilustração (a) acima, se deduz o seguinte: a condição de que todos os caminhos ópticos que vão de uma à outra ponta das setas objeto e imagem sejam idênticos, não pode rigorosamente ser cumprida por uma superfície esférica. Seria obedecida, isso sim, se o espelho tivesse seção elíptica com os focos nas duas pontas das setas O e I, respectivamente. As propriedades da elipse nos garante isso.
Mantendo-se fixo o vértice do espelho, a cada posição de ditas pontas de setas, corresponderia uma forma e uma posição do eixo da nova elipse.
Portanto, é evidente que a formação da imagem mediante um espelho esférico há de ser forçosamente incompleta. Quanto menor for a porção da superfície esférica utilizada, tanto menos diferirá esta de um elipsóide de revolução e tanto mais completa será a formação da imagem. Aqui repousa as condições de estigmatismo de Gauss.
Para que se formasse perfeitamente a imagem de um ponto objeto situado no eixo e à distância infinitamente grande, a seção do espelho teria que ser parabólica.

Cálculo aproximado do caminho óptico
Calculemos agora o caminho óptico s representado na ilustração acima, em (a), ou seja, o percurso óptico de O até I, na reflexão da luz. A ilustração permite escrever:

Os parêntesis (o - x) e (i + x), conforme já destacamos acima, são pequenos em comparação com o e com i. Um desenvolvimento em série, no qual só fazemos intervir os termos de segunda ordem e no qual se desprezam os termos multiplicados pelo quadrado d2 ,de valor insignificante, nos permite escrever:

Como os caminhos ópticos de todos os raios que vão desde a ponta da seta objeto até a ponta da seta imagem, passando pelo espelho, devem ser iguais entre si, é preciso que s seja independente de x. Isso só é possível quando são nulas as expressões dos parêntesis multiplicadas por x e por x2. Dai se conclui:

Tratam-se das conhecidas equações do aumento linear transversal e da conjugação de Gauss, relacionando tamanho e posições de objeto e imagem. Portanto, as leis referentes à conjugação de imagens em um espelho côncavo podem ser deduzidas por completo na base da teoria ondulatória.

Consideremos agora que i é o tamanho da imagem virtual de um objeto extenso de tamanho o, conjugados por um espelho côncavo, como se ilustra acima, em (b).
Seja P um ponto qualquer de uma superfície esférica descrita com centro na ponta da seta imagem I(i) e raio R igual ao do espelho; se trata, pois, de uma superfície de onda refletida.
O caminho óptico que vai desde O até P vale [ m + R - n ] , sendo n a distância entre a imagem e o espelho medida ao longo de R. Como R tem o mesmo valor para todos os pontos da superfície de onda, resulta que [ m - n ] há de ter o mesmo valor para todos os caminhos ópticos que conduzem desde a ponta da seta O ao espelho, perpendicularmente à superfície de onda, vale dizer, [ m - n ] há de ser independente de x. Tomando um valor negativo para a distância da imagem ao vértice do espelho (-p'), obtemos as mesmas equações anteriores.

De modo análogo as leis das lentes podem ser deduzidas desde o ponto de vista da Óptica Ondulatória; e neste caso é preciso fazer intervir o caminho óptico percorrido pela luz no interior da lente.

Comentário final
A ação luminosa não se produz exclusivamente para caminhos ópticos precisamente iguais, senão que se apresenta também (ainda que mais débil) em outros pontos nos quais coincidem trens de onda coerentes, cujos caminhos ópticos se diferenciam em menos de um comprimento de onda. Em geral, as diferenças de fase fazem com que se produza por interferência uma debilitação parcial ou completa. Na realidade, a imagem de um ponto de um objeto não é um ponto isolado, ele está rodeado de certo número de anéis de interferência concêntricos muito próximos, cuja intensidade luminosa decresce rapidamente com a distância ao centro. Se trata de um disco de difração.

 


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