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Formação
de imagens ópticas
segundo a Teoria Ondulatória
Prof.
Luiz Ferraz Netto
luizferraz.netto@gmail.com
Introdução
Em trabalho anterior já estudamos a formação de imagens reais e
virtuais, conjugadas por sistemas ópticos simples, pelo método da
Óptica Geométrica. Porém, para que tenhamos uma visão completa
dos fenômenos que intervêm na formação de imagens ópticas é
necessário que tomemos como base a teoria ondulatória.
Consideremos
ainda, mantendo um caso particularmente simples, a imagem real I de
um ponto objeto O contido no eixo principal de uma lente
convergente e não coincidente com o foco objeto desta, como
ilustramos abaixo em (a):
O
método da ondulatória
Em lugar de raios (não desenhados), destacaremos agora um grupo de
superfícies de onda perpendiculares a estes. Entre duas superfícies
de onda consecutivas existirá uma diferença de marcha l,
de modo que aquelas serão eqüidistantes em um dado meio. Como a
velocidade da luz no ar é maior que no material da lente, nesta as
superfícies de onda estarão mais próximas entre si. Na lente, as
superfícies de onda encurtam seu passo e sofrem um atraso tanto
maior quanto mais extenso for o trajeto percorrido dentro do
cristal. Desse modo, as regiões de uma superfície de onda que
caminha pelo centro da lente (maior espessura) apresentam, na saída,
um atraso máximo e, as próximas aos bordos apresentam um mínimo.
As superfícies de ondas refratadas emergem da lente primeiro pelos
bordos (atraso mínimo) e finalmente pelo centro (atraso máximo).
Uma
análise
(1) Se O está além da distância focal da lente (p >
f), as superfícies de onda, ao saírem da lente, estão voltadas
para o outro lado; seu centro não estará mais do lado objeto e
sim numa nova posição, em I (ilustração acima, em a). Na
sua marcha pelo exterior da lente, as ondas se concentram em I e se
propagam a partir desse ponto do mesmo modo que, antes, se
propagaram a partir de O. Logo, I é uma imagem real de O.
(2)
Se O está localizado no foco objeto da lente (p = f), as superfícies
de onda que abandonam a lente são planas, o ponto imagem I é impróprio
(p'®
¥).
(3)
Se O se aproxima da lente (p < f), o centro I das ondas que
emergem da lente estará do mesmo lado da lente (lado que contém
O) e as ondas parecem sair de I; I é uma imagem virtual de O
(ilustração acima, em b).
Caminhos
ópticos
Se imaginarmos desenhados os raios perpendiculares às superfícies
de onda desde O até I, observaremos que quando a imagem é real
(ilustração acima, em a), corresponde a cada raio o mesmo número
de comprimentos de onda l
(próprio de cada meio) e, portanto, o intervalo de tempo que a luz
necessita para ir de O a I, ao longo de cada raio que atravessa a
lente, é sempre o mesmo. A posição relativa da imagem e do
objeto está determinada pela condição de que o intervalo de
tempo que a luz necessita para ir de um a outro, seja independente
do caminho percorrido no interior da lente. Porém, isto significa
que o caminho óptico relativo a qualquer raio que vá de O até
I através da lente, é constante. Entre um objeto e sua imagem
não existe nenhum caminho óptico privilegiado, senão que,
todos os caminhos possíveis passando pela lente são opticamente
equivalentes.
Também
nas imagens virtuais, como ilustramos acima em (b), para qualquer
superfície de onda depois de passar pela lente, se cumpre a condição
de que os caminhos ópticos que ligam o objeto O e com um ponto
qualquer dessa superfície são todos equivalentes.
Do
ponto de vista da Óptica Ondulatória, estas condições são
imediatamente compreensíveis. Para que em I (da ilustração a,
acima, por exemplo) se produza uma 'intensificação' máxima da
luz, é necessário que os raios coerentes que passam por esse
ponto não se 'debilitem' mutuamente por interferência, e isso é
unicamente possível quando tiverem percorridos caminhos ópticos
iguais desde O até I.
Analogamente,
só poderemos ver uma imagem virtual quando os raios que saem da
lente e se reúnem logo em nossa retina (após passarem por outro
sistema óptico), não se neutralizem por interferência; isto
exige que ditos raios apresentem a mesma fase em todos os pontos de
uma superfície de onda; vale dizer, que todos os caminhos ópticos
entre O e ditos pontos dessa superfície sejam idênticos.
Nova
análise
Consideremos esses fatos em um caso bastante simples: o
de um espelho côncavo.
A ilustração abaixo, em (a), representa um espelho côncavo
que produz uma imagem real I (i) do objeto real O (o).
Suponhamos
construída a seta imagem I e fixemos nossa observação para um
raio qualquer que parta da ponta do objeto, reflete-se no espelho e
passe pela ponta dessa imagem. Sejam p e p' as distâncias que
separam os pés do objeto e da sua imagem do vértice desse
espelho; seja R o raio de curvatura deste.
Indiquemos por x a distância do ponto de incidência desse raio até
o eixo principal e por d a distância desse ponto de incidência ao
plano tangente ao espelho, pelo seu vértice.
Com as limitações que já conhecemos para os sistemas ópticos
(condições de estigmatismo de Gauss), sabemos que as distâncias
x e, com maior razão, d são muito pequenas em confronto com o, i
e R. As propriedades geométricas da circunferência nos permitem,
pois, escrever: d »
x2/2R.
Em
primeiro lugar, da ilustração (a) acima, se deduz o seguinte: a
condição de que todos os caminhos ópticos que vão de uma à
outra ponta das setas objeto e imagem sejam idênticos, não pode
rigorosamente ser cumprida por uma superfície esférica. Seria
obedecida, isso sim, se o espelho tivesse seção elíptica com os
focos nas duas pontas das setas O e I, respectivamente. As
propriedades da elipse nos garante isso.
Mantendo-se fixo o vértice do espelho, a cada posição de ditas
pontas de setas, corresponderia uma forma e uma posição do eixo
da nova elipse.
Portanto, é evidente que a formação da imagem mediante um
espelho esférico há de ser forçosamente incompleta. Quanto menor
for a porção da superfície esférica utilizada, tanto menos
diferirá esta de um elipsóide de revolução e tanto mais
completa será a formação da imagem. Aqui repousa as condições
de estigmatismo de Gauss.
Para que se formasse perfeitamente a imagem de um ponto objeto
situado no eixo e à distância infinitamente grande, a seção do
espelho teria que ser parabólica.
Cálculo
aproximado do caminho óptico
Calculemos agora o caminho óptico s representado na
ilustração acima, em (a), ou seja, o percurso óptico de O
até I, na reflexão da luz. A ilustração permite escrever:
Os
parêntesis (o - x) e (i + x), conforme já
destacamos acima, são pequenos em comparação com o e com i. Um
desenvolvimento em série, no qual só fazemos intervir os termos
de segunda ordem e no qual se desprezam os termos multiplicados
pelo quadrado d2 ,de valor insignificante, nos
permite escrever:
Como
os caminhos ópticos de todos os raios que vão desde a ponta da
seta objeto até a ponta da seta imagem, passando pelo espelho,
devem ser iguais entre si, é preciso que s seja independente de x.
Isso só é possível quando são nulas as expressões dos parêntesis
multiplicadas por x e por x2. Dai se
conclui:
Tratam-se
das conhecidas equações do aumento linear transversal e da
conjugação de Gauss, relacionando tamanho e posições de objeto
e imagem. Portanto, as leis referentes à conjugação de imagens
em um espelho côncavo podem ser deduzidas por completo na base da
teoria ondulatória.
Consideremos
agora que i é o tamanho da imagem virtual de um objeto extenso de
tamanho o, conjugados por um espelho côncavo, como se ilustra
acima, em (b).
Seja P um ponto qualquer de uma superfície esférica descrita com
centro na ponta da seta imagem I(i) e raio R igual ao do espelho;
se trata, pois, de uma superfície de onda refletida.
O caminho óptico que vai desde O até P vale [ m + R - n ]
, sendo n a distância entre a imagem e o espelho medida ao longo
de R. Como R tem o mesmo valor para todos os pontos da superfície
de onda, resulta que [ m - n ] há de ter o mesmo valor para
todos os caminhos ópticos que conduzem desde a ponta da seta O ao
espelho, perpendicularmente à superfície de onda, vale dizer, [ m
- n ] há de ser independente de x. Tomando um valor
negativo para a distância da imagem ao vértice do espelho (-p'),
obtemos as mesmas equações anteriores.
De modo
análogo as leis das lentes podem ser deduzidas desde o ponto de
vista da Óptica Ondulatória; e neste caso é preciso fazer
intervir o caminho óptico percorrido pela luz no interior da
lente.
Comentário
final
A ação luminosa não se produz exclusivamente para caminhos ópticos
precisamente iguais, senão que se apresenta também (ainda que
mais débil) em outros pontos nos quais coincidem trens de onda
coerentes, cujos caminhos ópticos se diferenciam em menos de um
comprimento de onda. Em geral, as diferenças de fase fazem com que
se produza por interferência uma debilitação parcial ou
completa. Na realidade, a imagem de um ponto de um objeto não é
um ponto isolado, ele está rodeado de certo número de anéis de
interferência concêntricos muito próximos, cuja intensidade
luminosa decresce rapidamente com a distância ao centro. Se trata
de um disco de difração.
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