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FIGURAS
DE LISSAJOUS EM 3 DIMENSÕES Prof.
Luiz Ferraz Netto Introdução
Dois
movimentos harmônicos simples coplanares e de direções
perpendiculares entre si, dando como resultante uma figura de
Lissajous. Você pode obter tais figuras projetadas em telas (imagens reais), por efeito de persistência retiniana, de vários modos, tais como: 1
- Projeto com diapasões
Dois
diapasões vibrando em planos perpendiculares 2
- Projeto com alto falantes
Dois espelhos perpendiculares entre si, fixos aos cones de dois alto-falantes Nota:
Esse projeto foi posto, em detalhes, nessa Sala 10; clique AQUI
! Nosso
novo projeto Vejamos a idéia básica do
projeto.
Você deve ver as tais figuras de
Lissajous, logo, a luz deve partir de algum lugar e incidir em seu
globo ocular. Então, necessitaremos de uma fonte de luz. Essa, pode
ser proveniente de um projetor de ‘slides’, um projetor de
‘loops’, ou qualquer outra fonte colimada (dotada de lentes que
permitam o ajuste da focalização). Essa luz não poderá vir diretamente da fonte para os
nossos olhos, ela deverá ser refletida (ou melhor, difundida) por
alguém (superfície difusora) e daí seguir para os olhos de vários
observadores (e não só para os seus!). Além disso, essa luz
difundida para os vários observadores, deverá produzir, por persistência
retiniana, a figura de Lissajous em 3 dimensões;
logo, já deverá ser a resultante de movimentos harmônicos
perpendiculares entre si. Eis como se pode obter tudo
isso: Um pequeno motor elétrico,
cuja rotação possa ser controlada eletronicamente (ver comentários
adiante), leva em seu eixo um disco de madeira (pintado com tinta
preta opaca) de 10 a 12cm de diâmetro e 1cm de espessura. Próximo
à periferia desse disco, prende-se, perpendicularmente ao seu plano,
uma haste cilíndrica de madeira, de diâmetro 0,6 a 0,8cm e
comprimento de 10 a 12cm, pintada com tinta branca (tinta látex,
branco neve). Um lápis de cor, branco, pode ser usado, sem
problemas.
Disposição
do motor (1), disco, haste e controle de velocidade. Ligando-se o motor elétrico, a haste branca põe-se a girar, descrevendo uma superfície cilíndrica, em relação ao eixo de rotação. Se o período de rotação do eixo do motor for menor que 1/10 do segundo, não veremos a haste deslocando-se de uma posição para a outra e sim um ‘tubo branco’, devido à persistência retiniana. Olhando-se tal "tubo", de lado, tal como se observa na figura acima, veremos apenas uma "faixa branca". Essa faixa branca nada mais é que a projeção do movimento da haste, num plano vertical (plano z O y), que é um movimento harmônico simples (MHS), de freqüência f (igual à do rotor do motor) e amplitude r (distância do centro do disco à haste). A figura a seguir mostra o movimento da haste, no plano z O y.
MHS,
visto no plano vertical (zOy) Vista desse plano, o movimento
de um ponto da haste, no eixo de referência
z é dado pela
equação: z = r.cos(2.p.f.t)
(1) onde r é a amplitude do movimento , f sua freqüência e z a elongação do ponto da haste, medida a partir do eixo de rotação. Assumimos fase inicial nula, ou seja, a haste encontra-se na posição extrema A (+r), no instante ao qual se associa t=0. Se olharmos o movimento da haste, por cima, ou seja, visto no plano x O y , também teremos um MHS, de amplitude r, freqüência f e defasado do movimento vertical [de equação (1)] em p/2 radianos. Você deslocou seus olhos do plano vertical para o plano horizontal ¾ deslocou-se de p/2 radianos. Matematicamente, no instante inicial já adotado, o ponto da haste encontra-se em O e não em B. A figura a seguir ilustra tal situação.
MHS, visto no plano horizontal (xOy) A figura a seguir mostra, em perspectiva tais movimentos harmônicos simples.
Perspectiva
dos movimentos componentes segundo (xOy) e (zOy) Esse movimento, observado no
plano horizontal, tem equação: x = r.cos(2. p.f.t - p/2)
ou
x
= r.sen(2. p.f.t)
(2) Superpondo-se esses dois
movimentos harmônicos simples de direções perpendiculares, com
mesmas amplitudes, mesmas freqüências e defasados de p/2 radianos, tem-se como resultado um movimento circular
e uniforme, de raio r e freqüência f, que é o movimento de
qualquer ponto da haste branca, no espaço. A haste toda descreverá,
portanto, a superfície cilíndrica, vista por persistência
retiniana. As equações (1) e (2) são
as equações paramétricas desse MCU. A trajetória resultante, de cada
ponto da haste branca, tem equação obtida a partir de
(1) e (2), com a eliminação do parâmetro t.
x = r.sen(2. p.f.t) elevando-se ao quadrado:
x2
= r2.sen2(2pt.f) somando-se, membro a membro:
x2 + z2 = r2
(3) uma vez que sen2(2ptf) + cos2(2ptf) = 1
A (3) é a equação da
circunferência de raio r e centro na origem do sistema de
coordenadas (O). Observe, portanto, que o
simples movimento da haste ao redor do centro do disco já é a
composição de dois movimentos harmônicos simples perpendiculares
entre si, dando como visual, em alta rotação, a superfície cilíndrica
branca. A seguir, vamos introduzir o terceiro movimento harmônico simples no sistema. Esse terceiro movimento harmônico será o de uma estreita faixa luminosa vertical, percorrendo a extensão da haste branca, horizontalmente. A figura abaixo ilustra a inclusão desse movimento no sistema.
Movimento oscilatório da
faixa luminosa ao longo da haste branca Essa faixa luminosa vertical,
em movimento harmônico horizontal é obtida a partir de um cartão
preto, que contém uma fresta de 2 a 3mm de largura por 5cm de
comprimento, que oscila na frente do feixe de luz proveniente do
projetor. Esse movimento oscilatório do
cartão pode ser conseguido de vários modos. Vejamos alguns:
Obtenção
do terceiro movimento oscilatório (quase) harmônico (b) Eis outra sugestão, que faz com que o cartão realize realmente um MHS:
(c) Uma boa versão da (b) é a seguinte:
(d) Mais possibilidades para fazer a fresta executar um vai-vem periódico:
(e) Outra solução, é colocar guias para o movimento do cartão e ligar a biela diretamente do disco ao cartão, como se ilustra a seguir.
Outro
modo de se obter o terceiro movimento A rotação desse motor (cujo
eixo revestido de borracha toca na periferia do disco) também deve
ser controlada eletronicamente (ver comentários adiante).
y = b.cos(2. p.f’.t)
(4) onde b é a amplitude do
movimento (cerca da metade do comprimento da haste; esse ajuste
faz-se através das posições relativas entre fresta, haste e
projetor) e f’ é a freqüência do movimento do cartão [ajustável,
no motor (2)].
Com
a haste branca em repouso [motor (1) desligado] e com o cartão em
movimento [motor (2) ligado] , a faixa luminosa vertical percorrerá
toda a extensão da haste branca num movimento de vai e vem [é o
movimento dado pela equação (4)] ; com o motor (1) ligado,
observar-se-á a superposição dos 3 movimentos, de equações (1) ,
(2) e (4), simultaneamente, pela luz difundida pela haste branca. Em
ambiente escurecido o visual é surpreendente.
Exemplos
de figuras de Lissajous observadas As equações:
x = r.sen(2pt.f)
z = r.cos(2pt.f)
y = b.cos(2pf’.t) são as equações paramétricas da figura de Lissajous obtida, em 3 dimensões. Essa figura, estará contida na superfície do cilindro com base de raio r e altura 2b, como se ilustra na figura a seguir:
A figura
de Lissajous forma-se sobre a superfície cilíndrica Veja, mais abaixo, algumas figuras de Lissajous, em duas dimensões, em função das defasagens dos dois movimentos componentes. Nota:
Para o terceiro MHS poderíamos tentar a técnica de fazer uma
pequena caneta laser oscilar verticalmente na posição da fresta F. Que tal você
experimentar isso e contar-me o resultado? Comentários Pequenos motores elétricos universais (dotados de escovas), para 110v, são os mais indicados para o projeto (tipo motor de máquina de costura, furadeiras elétricas portáteis, pequenos agitadores elétricos de cozinha etc.), por admitirem ajuste eletrônico de velocidade. O circuito eletrônico mais simples para tais controles é o ilustrado na figura a seguir:
Para
a montagem do controle de velocidade (ou de potência), cuja esquema
apresentamos, o material é o seguinte: Esse controle, dado a sua
simplicidade e o número de componentes, pode ser montado numa barra
de terminais ou, para montadores mais experientes, em um circuito
impresso. Dois "dimmers" de
luz, comerciais, também resolvem os problemas dos controles de
velocidade dos dois motores do Projeto. O movimento do cartão, com fresta vertical, não precisa ser exageradamente rápido; daí a redução proposta, pela técnica de encostar o eixo do motor (2) na periferia do disco de madeira. Um tubinho de borracha ou plástico encaixado justo nesse eixo garante o atrito necessário ao não escorregamento. Esse disco de madeira pode ter diâmetro em torno dos 12cm, desse modo o pino da biela poderá ser ajustado para vários braços de manivela (modificação do raio) e, com isso, ajustar a amplitude do movimento. Apresentamos, a seguir, algumas Figuras de Lissajous, à duas dimensões, em função das defasagens de dois movimentos ortogonais.
Nesse texto, adaptado para a WWW, colaborou na revisão e indicou valiosas sugestões, o Prof. Antonio Carlos M. de Queiroz (veja nossa Sala de bons Links), ao qual acrescento meus agradecimentos. Como de praxe, apreciaríamos suas sugestões e o relato de suas tentativas, erros e sucessos. Tais comentários (com as devidas autorizações) serão colocados em nossas páginas para orientação e ajuda aos demais jovens que optarem por tal projeto. Participe com o processo da Educação.
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