Batimento e Gráficos
(Freqüência do vibrador - Altura do som)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Esse trabalho permitirá analisar mediante o uso de um disco estroboscópico  ou do estroboscópio eletrônico de uso geral (vide Sala de Estroboscopia) a freqüência de vibração de uma lâmina vibrante ou de um diapasão; verificar quais os fatores que intervêm na altura de um som; evidenciar e estudar o fenômeno do batimento e a construção de gráficos de funções em papel milimetrado, mono-log e log-log.

Material

2 diapasões de mesma freqüência 
1 cursor para diapasão
2 caixas de ressonância para os diapasões 
1 martelo de borracha
2 lâminas vibrantes com cursor estroboscópio
1 cronômetro
1 rolo de fita isolante preta.

Procedimento - usando lâmina vibrante
Fixe a lâmina vibrante (fita de aço) por uma de suas extremidades em uma morsa ou garra apropriada e faça-a vibrar. 
Determine sua freqüência usando o estroboscópio e o cronômetro (se achar conveniente, cubra com fita isolante preta algumas fendas do estroboscópio de maneira que aquelas que permanecem abertas estejam igualmente espaçadas — para o uso do estroboscópio, veja Sala 16 ). 
Adapte a massa-cursor à lâmina, longe da extremidade livre e determine novamente a freqüência. Vá aproximando o cursor da extremidade livre da lâmina e determine a freqüência para umas cinco diferentes  posições do cursor.

Faça um gráfico de f em função de d (distância da massa-cursor ao ponto fixo da lâmina). Tente também um gráfico de f em função de 1/d ou outros gráficos relacionando f e d. 

Algum desses gráficos resultou linear e lhe permite encontrar facilmente o 'tipo da equação' que relaciona f e d?

Caso nenhum desses gráficos resulte linear, aproveite suas medidas de f e d para aprender a usar papel di-logarítmico (veja a técnica no decorrer deste trabalho). 

A freqüência de um vibrador depende de sua massa? ou da sua distribuição de massa? 

Experimente simplesmente modificar o comprimento livre da lâmina vibrante e veja se isso altera a freqüência.

Procedimento - usando um diapasão
Ajuste agora um dos diapasões numa das caixas de ressonância e faça-o vibrar golpeando-o com o martelo de borracha (a). Prestes atenção ao som que ele emite. 

Coloque no diapasão a sua massa-cursor em diferentes posições e observe o som emitido para cada posição da massa-cursor (b). 

Por analogia com o que você observou na lâmina vibrante, é capaz de dizer, pelo menos qualitativamente, de que maneira a altura do som depende da freqüência da fonte?

Um desafio:
O som emitido por um diapasão é tão débil que, de modo geral, é ouvido apenas á pequena distância dele. Não obstante, se o diapasão é fixado numa caixa de ressonância (caixa retangular de madeira com dimensões apropriadas) seu som é ouvido numa sala relativamente ampla. 
De onde aparece, nesse segundo caso, a energia "sobrante"? Não tropeçamos aqui com uma violação  da conservação da energia? [Resposta no final do trabalho.]

Procedimento - usando dois diapasões - batimento
Use agora os dois diapasões (sem massa-cursor) colocando as caixas de ressonância de maneira que suas aberturas fiquem frente a frente (c). 

Faça-os vibrar simultaneamente e observe o som emitido. Coloque a massa-cursor em um deles, bem embaixo, e faça vibrar novamente os diapasões. 

Nota alguma particularidade no som que ouve? 

Varie a posição do cursor até perceber nitidamente que a intensidade do som varia periodicamente, passando por máximos e mínimos alternados — são os batimentos.

Interpretação dos batimentos
Imagine que a um mesmo ponto cheguem duas perturbações do tipo:

y₁ = A.cos 2p f₁.t
y₂ = A.cos 2p f₂.t

que só diferem pelas freqüências, que são, aliás, muito próximas:  f₁ - f₂ £ 10

Somando membro a membro, temos, para a perturbação resultante:

y = y₁ + y₂ = A.cos 2p f₁.t + A.cos 2p f₂.t = 2A.cos 2p[(f₁-f₂)/2].t.cos 2p[(f₁+f₂)/2].t

ou                                                             y = A'.cos 2p[(f₁+f₂)/2].t

onde                                                     A' = 2A.cos 2p[(f₁-f₂)/2].t         é a amplitude do movimento resultante.

A expressão que resulta para "y" pode ser considerada um movimento harmônico simples, em cada instante, só que sua amplitude não é constante, variando com o tempo e produzindo máximos quando:

cos 2p[(f₁-f₂)/2].t = +1 ou -1

e mínimos quando:

cos 2p[(f₁-f₂)/2].t = 0

Eis uma ilustração gráfica do fenômeno:

Os máximos correspondem aos reforços audíveis que você observou. Como, em cada período da perturbação resultante, há dois mínimos, a freqüência dos batimentos é f_b = f₁ - f₂ .

Se as duas fontes utilizadas tivessem freqüências muito diferentes (100 Hz de diferença, por exemplo) você poderia ouvir batimentos?

Volte aos dois diapasões, um deles com massa-cursor e, usando o cronômetro, determine a freqüência f_b dos batimentos para, digamos, 5 posições diferentes do cursor. Faça um gráfico de f_b, em função de d.

Usando aqueles valores de f_b, o valor conhecido da freqüência do diapasão sem cursor, e a expressão f_b = f₁ - f₂, determine as freqüências correspondentes do diapasão com cursor. Faça um gráfico dessas freqüências em função da posição do cursor — você terá, assim, calibrado o seu diapasão com cursor.

Nota  — Você poderá "ver" os batimentos se fizer a montagem ilustrada abaixo. As duas lâminas L₁ e L₂, têm, em seus extremos, espelhos E₁ e E₂ e devem vibrar no mesmo plano horizontal  com freqüências ligeiramente diferentes. A luz proveniente de uma 'caneta' laser O é refletida em E1 e E. e, depois projetada numa pequena tela. Se em lugar da caneta laser usar simplesmente uma fenda luminosa O a luz emergente do espelho E₂ pode incidir diretamente no olho do observador. Observe a imagem da fenda O, e faca a analogia com o fenômeno acústico dos batimentos.

Estudo dos gráficos
Quando estudamos um fenômeno físico, medimos as grandezas que nele intervêm obtendo uma tabela de valores numéricos. Em seguida, observando cuidadosamente aquele conjunto de valores, procuramos descobrir se eles se ajustam a alguma 'equação' simples que será, então, a expressão matemática da lei daquele fenômeno. 
Muitas vezes o trabalho de descobrir a forma matemática da lei de um fenômeno físico torna-se muito mais fácil se transpusermos os resultados de nossas medidas para um gráfico em papel milimetrado — se obtivermos uma reta, ficaremos sabendo que as grandezas medidas são diretamente proporcionais. Mas se obtivermos outra curva qualquer, poderemos “achar” que ela se parece com uma parábola ou uma hipérbole, ou uma exponencial, por exemplo, mas não poderemos ter certeza. São nesses casos que os papeis mono-logarítmico e di-logarítmico podem ajudar. 

No papel mono-logarítmico (mono-log) , um dos eixos é dividido proporcionalmente aos números 1, 2, 3, ... e o outro eixo é dividido proporcionalmente aos logarítmicos dos números 1, 2, 3, ... (nesse eixo, o número 5, por exemplo não indica 5, mas sim o log 5). 
No papel di-logarítmico (di-log ou log-Iog) os dois eixos são divididos proporcionalmente aos logaritmos dos números. Damos a seguir dois exemplos para esclarecer essa questão:

Exemplo 1 - Digamos que, feita uma experiência em que intervinham as duas variáveis físicas x e y, transpusemos os dados obtidos para papel di-log e obtivemos o gráfico 1. 

Este gráfico permite concluir que:

log y = a.log x + log b

Ora, esta equação pode ser escrita:

log y = log (x^a.b)

o que nos dá:             y = b.x^a 

Resta descobrir os valores numéricos dos parâmetros a e b. Isto pode ser feito voltando ao gráfico e observando que:
(1) - sendo a = tg a, mede-se o ângulo a com um transferidor e procura-se numa tabela trigonométrica o valor de tg a.
(2) - por outro lado, b pode ser obtido observando que, para x = 1, temos log y = log b, ou seja: y = b.

Casos particulares:

Se a = 45^o , tg a = 1, a = 1 e então y = b.x
Se a = 135^o , tg a = -1, a = -1 e então  y = b.x^-1 , ou seja,  x.y = b.

Se você tivesse feito o gráfico em papel milimetrado, que tipo de curva teria encontrado para esse segundo caso particular?

Exemplo - 2 - Feita uma experiência, obtivemos a seguinte tabela de valores:

Levando esses valores para papel milimetrado e log-log, obtemos, respectivamente, os gráficos 2 e 3.

 Este último nos dá: a = 63^o , tg a = a = 2  e, para  x = 1,  y = b = 2.

Logo, a função procurada é  y = 2.x² 

Baseado nesses exemplos, e voltando ao estudo da freqüência dos batimentos, faça o gráfico de log f em função de log d e determine a forma matemática da relação entre f e d.

Resposta ao desafio
O som do diapasão amortece paulatinamente, já que a energia de suas oscilações é transferida, pouco a pouco, para o meio circundante.
A dispersão aumenta e transcorre com maior rapidez se o diapasão encontra-se fixado em um ressoador ou simplesmente encostado no tampo de uma mesa, posto que, nesses casos, a transmissão ocorre não apenas via ramos do diapasão como também pela superfície do ressoador ou da mesa.

Desse modo, ainda que nos casos citados se ouça um som mais intenso, sua duração será menor e a energia emitida resultará igual em ambos os experimentos (diapasão suspenso ou encostado em algo).

O experimento que comprova isso é simples: um osciloscópio - traço duplo - dotado de 2 pequenos amplificadores de áudio e 2 microfones; um microfone é posto a alguns centímetros do diapasão (em ambos os experimentos) e o outro a uns 5 metros de distância. Ajustam-se os ganhos de modo que ambos os microfones sejam sempre sensibilizados.
Feitos os experimentos comprova-se facilmente que nos casos do diapasão encostado em algo o fenômeno tem menor duração que quando livre.