Ponta metálica e Densidade elétrica

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
(a) Evidenciar o fato de que pontas metálicas próximas do gerador de Van de Graaff em funcionamento impedem-no de atingir altos potenciais elétricos. 
(b) Recordar a Teoria do Poder das Pontas. 
(c) Discutir a densidade elétrica superficial (Ds). Evidenciar a variação da Ds.

(a) Ponta próxima à cúpula do VDG

Material
Arame de cobre, alumínio ou latão; base de madeira envernizada, corrente de bijuteria.

Montagem

Com o arame de cobre, alumínio ou latão, construa a ponta metálica esquematizada. Uma correntinha tipo bijuteria permite a ligação dessa ponta à Terra (um cano d’água, um armário metálico etc).
Repita a experiência com a garrafa de Leiden na ausência da ponta e na presença da ponta metálica próxima á cúpula do gerador. Você observará facilmente, que na presença da ponta não mais saltarão as faíscas para a esferinha do capacitor, pois o gerador não consegue mais alcançar um alto potencial elétrico.

A ponta descarrega continuamente a cúpula impedindo-a de atingir os potenciais esperados. Faça a experiência no escuro e você observará um penacho luminoso em volta da ponta metálica.

(b) Poder das pontas - Teoria
Vejamos, de início, alguns parâmetros relacionados a uma esfera metálica isolada e ligada a um gerador eletrostático de Van de Graaff.

O potencial elétrico da fonte é V, mantido constante. Ao interligarmos o GVDG com a esfera 1, ocorre transferência de cargas elétricas até que a esfera adquira o mesmo potencial elétrico V. A quantidade de carga extra (Q₁) que essa esfera recebe depende exclusivamente da capacitância da esfera (C₁)(*) naquele meio envolvente (supostamente, o ar), uma vez que o potencial está definido (V). Essas grandezas se relacionam assim:

Q₁ = C₁ . V

A densidade elétrica superficial de carga (D₁) nos indicará quanto de carga estará distribuída, por unidade de área. Seu cálculo se faz por meio da expressão:

D₁ = Q₁ / A₁

onde A₁ é a área da superfície esférica dada por:

A1 = 4.p.R₁².

Assim,

A capacitância da esfera isolada (C₁), é função exclusiva do raio da esfera (R₁) e do meio envolvente (de constante eletrostática K), assim relacionados:

C₁ = R₁ / K

Levando-se para a expressão de D₁, obtemos:

onde agrupamos em a todas as constantes em questão

O que observamos é que a densidade elétrica de cargas é inversamente proporcional ao raio da esfera. Em outras palavras, quanto menor o raio, maior será a concentração de cargas por unidade de área (mantidas constantes as demais grandezas envolvidas).

Essa densidade de cargas é um excelente indicador da intensidade de campo elétrico em cada região do corpo eletrizado. No caso de uma esfera isolada, com distribuição uniforme de cargas, o campo elétrico também terá uma distribuição regular ao redor da esfera, o que teria, em uma representação por linhas de campo, o seguinte aspecto:

Se interligarmos, mediante longos fios condutores, a esfera 1 com outra esfera 2 (de raio R₂ < R₁) mantendo-se a ligação com a fonte (garantia da constância do potencial elétrico V), como se ilustra, chegaremos à conclusão de que a densidade superficial de cargas nessa nova esfera é maior do que na esfera 1.

O campo elétrico ao redor da esfera 2 será mais intenso do que ao redor da esfera 1. Sob mesmo potencial elétrico V, conforme diminui o raio, a densidade elétrica superficial aumenta, e com ela a intensidade do campo elétrico.

Seguindo esse raciocínio, podemos ir interligando esferas de raios cada vez menores. Essa interligação não necessita ser feita através de fios (*), para tanto, basta encostar uma na outra, como na ilustração.

Eis a nossa ponta!

Nota: Dispensamos nessa interligação os longos fios e, com isso, se peca em seguir o equacionamento acima, uma vez que a proximidade das esferas altera sua capacitância. Todavia, o modelo é válido, uma vez que corresponde ao que a natureza nos mostra --- o efeito das pontas.

Com um grande número de esferas, de raio cada vez menor, teremos um visual mais definido do que se entende por ponta. O campo ao redor dessa ponta terá o seguinte aspecto:

Observe a tremenda intensidade de campo na região pontiaguda. É esse campo intenso que irá ionizar o ar ao redor, convertendo esse ar em plasma (condutor). Quando o ar se torna condutor, ocorre a faísca, ou seja, as cargas acumuladas na ponta fluem através do plasma (ar ionizado).

(c) Densidade elétrica superficial - (Ds = Q/A)
Destaquemos o visto acima, mais uma vez, através das ilustrações abaixo:

Ou seja, condutores eletrizados com a mesma quantidade de carga elétrica podem apresentar potenciais elétricos diferentes, função de suas superfícies úteis externas. Assim, esferas metálicas com a mesma quantidade de carga elétrica, terá maior potencial elétrico aquela que tiver menor raio, isto porque a concentração de carga por unidade de área (densidade elétrica superficial --- Ds) aumenta.

Podemos demonstrar essa propriedade lançando mão de uma montagem bastante interessante e, ao mesmo tempo, bem simples. Ilustremos a montagem:

Trata-se de um painel vertical de acrílico (azul, na ilustração) de 50 cm de altura por 30 cm de largura, incrustado numa base de madeira densa. Um cilindro de borracha (aproveitado de uma velha máquina de escrever) dotado de eixo e manivela pode girar em mancais de acrílico colados no painel vertical.
Nesse cilindro enrola-se uma tira de papel alumínio (uso doméstico) de 20 cm de largura. Essa tira tem os bordos arredondados na extremidade livre. Para manter o papel alumínio esticado durante as operações de enrolar e desenrolar, foi colado (enrolado e colado), na extremidade livre, uma fina tira de chumbo. Ainda nessa extremidade livre foi colado um par de pêndulos elétricos (bolinhas de isopor grafitadas).
Eletriza-se a folha de alumínio (qualquer processo) e observa-se o afastamento dos pêndulos. A seguir, mediante a manivela, enrola-se a folha de papel alumínio no rolo de borracha e, como a área livre útil diminui, a concentração de carga aumenta (o potencial elétrica da folha aumenta) e os pêndulos afastam-se ainda mais. Com o desenrolar da folha observa-se a aproximação dos pêndulos.

O rolo de borracha pode ser substituído por um tubo de PVC (uma camada de parafina pode ser depositada ao seu redor, mergulhando-o em parafina líquida); os pêndulos podem ser substituídos por finas tiras de alumínio ou outro tipo de eletrômetro.

Uma variante interessante, e uma boa questão para ser proposta em sala de aula, é a ilustrada a seguir:

"Uma tira de alumínio foi cortada com forma triangular e suspensa pela base, mediante um bastão de vidro. Ao longo do segmento vertical que passa pelo vértice, prende-se pêndulos elétricos. Indique como se dispõem esses pêndulos após a eletrização da tira. Justifique."

Outra variante interessante, com material bem simples é a que passamos a comentar:

Material - Papel laminado (uma face papel comum, outra face folha de alumínio), papel de seda, canudo de refresco, linha, bolinhas de isopor, toco de madeira.

Montagem
1 - corte o papel laminado no formato indicado abaixo (procure não deixar 'rebarbas' que funcionem como 'pontas');
2 - fixe o canudo de refresco (tipo grosso, resistente) na base de madeira e cole a figura de papel laminado (pela face não condutora) neste canudo;

3 - fixe na parte condutora do laminado pêndulos elétricos (linha + bolinha de isopor grafitada) de mesmo comprimento (para poder comparar os afastamentos);
     nota: esses pêndulos podem ser substituídos por tiras de papel de seda de 2mm de largura por 3 cm de comprimento.
4 - eletrize o laminado (qualquer técnica serve, até mesmo esfregar um canudo de refresco com papel higiênico) e observe os afastamentos dos pêndulos ou tiras de papel de seda.

Observação: Os pêndulos da região de menor área do papel laminado (região de curvatura mais acentuada) afastam-se mais que os outros, da vertical; ali a densidade de carga é maior.