Forças elétricas 2 — Lei de Coulomb
(Método dinâmico - caso das atrações)

Prof. Luiz Ferraz Netto
luizferraz.netto@gmail.com

Caso das atrações
No caso em pauta, em que as duas esferas A e B possuem cargas de sinais contrários e que produzem, portanto, uma atração, nem toda posição de equilíbrio da haste ligada ao fio de torção é necessariamente uma posição de equilíbrio estável. Graças a experiências realizadas com precauções especiais, Coulomb pode verificar ainda a lei do inverso do quadrado, tendo também confirmado o mesmo resultado utilizando um outro método, que é o do pêndulo elétrico.

Pêndulo elétrico
Princípio - Podemos determinar as forças atrativas que se aplicam entre dois corpos eletrizados, a diferentes distâncias, por um processo comparável ao que permite avaliar a ´força da gravidade´ a diversas distâncias do centro da Terra.
Sabemos que o período de oscilações de um pêndulo simples de comprimento L, num local em que o peso da unidade de massa tem por valor ´g´, é dado pela expressão

T = 2p.(L/g)^1/2

Imaginemos, pois, três pêndulos idênticos, AP, A´P´, A"P", colocados respectivamente:

--- próximo á superfície da terra, distante do centro de R ~= 6 000 km;
--- à distância dupla 2R, do centro da terra;
--- à distância tripla 3R, do centro da terra.

De acordo com a lei da atração universal, de Newton, a aceleração devido á gravidade g varia na razão inversa do quadrado da distância e terá portanto, sucessivamente, os valores g ,  g/4,  g/9,  ...; e se o pêndulo tem por comprimento L = 0,25 m, teremos os seguintes períodos de oscilação 1s,  2s,  3s,  ...; respectivamente.

Assim, se a força de atração que a Terra aplica sobre a unidade de massa varia na razão inversa do quadrado da distância, o período de oscilação do pêndulo simples (para um dado comprimento fixo L) deve variar proporcionalmente á distância. Vamos ver isso?

Lei de Newton da gravitação: g = GM/d² ;
Período de oscilação do pêndulo: T = 2p(L/g)^1/2
então,   T = 2p[L/(GM/d²)]^1/2 = 2p.d.(L/GM)^1/2 = K.d ===>  [ T a d ]

Verificando-se experimentalmente que o período do pêndulo simples está de acordo com essa conclusão, verifica-se, pois, a lei da atração universal.

Pêndulo de Coulomb
Foi mediante um método análogo que Coulomb verificou a lei das atrações elétricas. Vejamos isso.
Uma grande esfera condutora ("1 pé de diâmetro"), eletrizada positivamente e isolada, atrai o pequeno disco P, eletrizado negativamente, de um pequeno pêndulo AP, formado por uma leve agulha isolante, móvel no plano horizontal que passa pelo centro da esfera, e suspensa, por um fio sem torção, a uma régua graduada horizontal. representemos a figura em projeção horizontal:

Fico devendo, por enquanto, a demonstração do teorema de Coulomb: "A ação de uma esfera uniformemente eletrizada sobre uma carga elétrica puntiforme exterior, é a mesma que se verificaria se toda a carga da esfera estivesse condensada em se centro."

Quando o pêndulo elétrico se acha em equilíbrio, a agulha AP é, pois, dirigida para o ponto O; afastada de sua posição de equilíbrio, a agulha tende a voltar a ela, executando uma série de oscilações. Sem novidades.
Se a distância d do centro da esfera ao disco P é suficientemente grande, poderemos admitir que a força atrativa F aplicada pela esfera sobre o disco eletrizado fica constante (módulo, direção e sentido), enquanto perdura o movimento.
Seja a o ângulo que a agulha faz, em relação á sua posição de equilíbrio, no instante t; o momento da força F, em relação ao eixo de rotação, de sinal contrário a a é, então, - F.u.sena, se u é a distância do disco P ao eixo de rotação.

Desprezando-se o amortecimento, esse momento é igual ao produto da aceleração angular d²a/dt² pelo momento de inércia K do pêndulo em relação ao eixo de rotação. Por conseguinte, a equação do momento é

isto é, o período das oscilações do pêndulo elétrico será proporcional à distância d do disco ao centro da esfera.
Coulomb achou períodos de oscilação que estão entre si como os números 1, 2 e , para valores de d que estão entre si como os números 1,2 e 2,7. Como nas experiências feitas com a balança de torção, intervém aqui uma certa perda que justifica o afastamento observado na última experiência.

A lei de Coulomb só é, pois, verificável de uma forma bastante grosseira, por experiências diretas pouco numerosas; mas, inteiramente justificada e de pleno acordo com as experimentações de todas as conseqüências que se podem deduzir.

Expressão da lei elementar das ações elétricas
Em suma, as forças F e F´, exercidas uma sobre a outra por duas cargas elétricas puntiformes q e q’, são dirigidas segundo a reta que as une, iguais e opostas, de intensidades proporcionais a q, a q’ e a 1/r² , de sorte que se pode escrever 

|F| = |F´| = constante.qq´/r² .

Essas forças são repulsivas quando as cargas em presença são da mesma natureza; são atrativas em caso contrário. Vê-se, pois, que, se considerarmos as cargas como quantidades algébricas positivas e/ou negativas, as forças F e F´ serão positivas, no caso da repulsão; negativas, no caso da atração. Sendo k a constante escolhida e positiva, pode-se escrever em grandeza e em sinal:

F = F´ = kqq´/r² .

O valor da constante k dessa equação depende do sistema de unidades adotado e do meio onde as cargas estão mergulhadas. No sistema racionalizado (sistema internacional de unidades), tal constante é expressa por k = 1/(4pee_o) , onde e e e_o são, respectivamente as permitividades elétricas do meio envolvente (suposto homogêneo) e do vácuo. No vácuo, k assume o valor 9x10⁹ N.m²/C².