Movimento de carga no CEU
(Campo Elétrico Uniforme)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Consideremos uma partícula de massa m e carga elétrica +q em movimento em um campo eletrostático uniforme (c.e.u.) E, ou seja, num campo onde, em todos os seus pontos, o vetor campo elétrico E tenha o mesmo módulo (valor, intensidade), direção e sentido. Como exemplo, podemos considerar o campo do interior de um capacitor plano eletrizado e em equilíbrio de cargas.

Será que há alguma analogia formal entre esses tipos de movimentos e os movimentos de partículas no campo gravitacional?

Sem dúvida, há. Desde que o campo gravitacional seja considerado numa região próxima da superfície da Terra, de modo que em todos os pontos dessa região o vetor aceleração da gravidade g apresente o mesmo módulo, direção e sentido, ou seja, uma região de campo gravitacional uniforme (c.g.u.); situação bastante comum para a maioria dos exercícios de lançamento de partículas e de queda livre.

Em ambas as situações, a força resultante sobre a partícula será constante (em intensidade, direção e sentido) e conseqüentemente o 'tipo' de movimento deverá ser o mesmo, apesar das naturezas das forças serem diferentes.
O campo elétrico E aplica sobre a carga elétrica +q a força eletrostática F_e = q.E e essa força comunica á partícula de massa m, portadora da carga +q, a aceleração a_e = q.E/m.
Por seu lado, o campo gravitacional g aplica sobre a massa m da partícula a força gravitacional (peso) P = m.g. e lhe comunica a aceleração g.

Assim, os movimentos de partículas em campos uniformes são cinematicamente iguais e a diferença consiste apenas nas intensidades das forças que atuam num ou noutro campo. O movimento de uma partícula dotada de carga elétrica lançada numa região onde subexiste unicamente um campo elétrico uniforme (CEU) tem o mesmo caráter de uma simples pedra lançada no campo gravitacional terrestre (CGU).

Nas Salas 04 e 05 (cinemática e dinâmica) já apresentamos o movimento de projéteis lançados ou abandonados no campo gravitacional terrestre. Ilustremos uma dessas situações para recordá-lo:

Para revisar esse assunto "Movimento de projéteis no vácuo", clique sobre o destaque. Para a situação esquematizada acima teremos para a altura máxima H₁, alcance D₁ e tempo de vôo t₁, respectivamente:

H₁ = v_o².sen²a/(2g)  ......  D₁ = v_o².sen2a/g  ..... t₁ = 2.v_o.sena/g

Estudo 1
Estudemos a seguir o comportamento dinâmico e cinemático de uma partícula eletrizada lançada numa região onde existem, simultaneamente, dois campos uniformes, um gravitacional e outro eletrostático. Eis a ilustração e o enunciado completo para a questão:

"Uma partícula de massa m dotada de carga elétrica +q é lançada com velocidade inicial v_o que forma ângulo a com a horizontal (eixo x). Na região, subexiste simultaneamente dois campos uniformes g e E, ambos com linhas de forças verticais e sentido para baixo (sentido oposto ao eixo y). Calcular o tempo de vôo da partícula (t₂), a altura máxima atingida (H₂) e o alcance do lançamento (D₂)."

Sobre a partícula agem as forças de intensidades P = m.g e F_e = q.E, ambas verticais, para baixo. A intensidade da resultante delas será R = P + F_e = m.g + q.E também vertical para baixo. Pela Segunda lei de Newton podemos por que R = m.a, de modo que o módulo da aceleração resultante será:

a = R/m = (m.g + q.E)/ m = g + qE/m = constante

Desse modo, as equações cinemáticas para t₂, H₂ e D₂ serão exatamente as mesmas de t₁, H₁ e D₁, simplesmente substituindo-se 'g' por "g + qE/m". Tudo se passa como se a partícula houvesse sido lançada em um 'campo gravitacional mais intenso'. Então:

H₂ = v_o².sen²a/[2(g+qE/m)]  ......  D₂ = v_o².sen2a/(g+qE/m)  ..... t₂ = 2.v_o.sena/(g+qE/m)

Aqui cabe, entretanto, uma pergunta de conceito: --- Comparando o lançamento desse caso acima com aquele que se realiza apenas no campo gravitacional, temos a acrescentar apenas os efeitos da nova força vertical para baixo F_e. 
Mas, sendo essa nova força vertical, por que o alcance na horizontal foi afetado?

A resposta é simples: Esse alcance horizontal depende do tempo de vôo e esse tempo é determinado em função do deslocamento vertical da partícula.

Estudo 2
A seguir, vejamos novamente a questão proposta, com uma modificação: "as linhas de força do campo eletrostático E fazem um ângulo b com a vertical". Como na questão anterior, pedem-se a altura máxima atingida (H₃), o alcance horizontal (D₃) e o tempo de vôo (t₃). Eis a ilustração:

Nessa situação, a resultante das forças que atuam na partícula será dada (vetorialmente) por: R = P + F_e e a segunda lei de Newton fica: R = m.a = P + F_e . Projetando-se essa 'lei vetorial' sobre as direções Ox e Oy teremos as duas equações escalares do movimento da partícula: 

R_x = P_x + F_ex = F_ex = m.a_x             (uma vez que P_x = 0)     e 
R_y = P_y + F_ey = P + F_ey = m.a_y              (uma vez que P_y = P)

Os componentes de F_e segundo as direções y e x valem, respectivamente:

F_ey = F_e.cosb     e      F_ex = F_e.senb.

de modo que as acelerações escalares do movimento segundo as direções Ox e Oy serão:

a_x = F_ex/m = F_e.senb/m = constante

a_y = (P + F_ey)/m = (m.g + F_e.cosb)/m = g + F_e.cosb/m = constante

O componente horizontal F_ex não interfere no deslocamento vertical da partícula e conseqüentemente não interfere no tempo de vôo e na altura máxima vertical atingida de modo que já podemos dar duas respostas á questão apresentada:

t₃ = 2.v_o.sena/(g + F_e.cosb/m)     e     H₃ = v_o².sen²a/[2(g + F_e.cosb/m)]           

ou, substituindo-se F_e = q.E teremos, em função dos dados da questão:

t₃ = 2.v_o.sena/(g + qE.cosb/m)     e     H₃ = v_o².sen²a/[2(g + qE.cosb/m)]           

O componente horizontal F_ex = F_e.senb = qE.senb afeta o alcance horizontal acrescentando o alcance (1/2).a_x.(t₃)² (MUV); em outras palavras, o alcance horizontal será aquele dado pela expressão de D₂ vista acima mais o deslocamento horizontal imposto pela força horizontal constante F_ex que lhe imprime a aceleração a_x:

D₃ = v_o.cosa.t₃ + (1/2).a_x.t₃²    ou  

D₃ = v_o.cosa[2.v_o.sena/(g + qE.cosb/m)] + (1/2).(qE.senb/m).[2.v_o.sena/(g + qE.cosb/m)] 

ou ainda

Esse último resultado também apresenta uma analogia formal com o lançamento de projéteis no campo da gravidade uniforme; é o caso em que se considera a existência da 'resistência' do ar numa situação favorável, ou seja, de um vento 'soprando a favor' do movimento e nele aplicando uma força horizontal constante.

Essas analogias facilitam sobremaneira a solução de exercícios. Assim, aqueles casos típicos de elétron lançado entre as placas de um capacitor plano (região onde reina campo elétrico uniforme) onde se desprezam as ações do campo gravitacional, têm solução equivalente ao caso ao caso de lançamento de projéteis no campo de gravidade uniforme e no vácuo.

Estudo 3
Vejamos a seguinte questão, continuando nosso estudo de movimento de cargas:

"Um elétron penetra no interior de um capacitor plano, com uma velocidade inicial v₁, formando um ângulo a₁ com as placas do capacitor, e sai deste formando um ângulo a₂ com as placas, como se ilustra abaixo. O comprimento das placas é L. Obter a intensidade do campo elétrico uniforme, E, no interior do capacitor e a energia cinética do elétron ao abandoná-lo. A massa m e a carga q do elétron se consideram conhecidas."

Indiquemos por v₂ a velocidade do elétron ao sair do capacitor. 
Na direção das placas (na horizontal, na ilustração) o elétron apresentará movimento uniforme (uma vez que não há componente de forças nessa direção) e, disso tiramos o tempo de percurso do elétron dentro do campo: 

t = L/(v₁.cosa₁)

Na direção perpendicular ás placas (na vertical, na ilustração), a força resultante é F_e = qE e a aceleração nessa direção será a_y = - F_e/m = - qE/m = constante; nessa direção o movimento do elétron é uniformemente variado. Assim sendo para os componentes da velocidade do elétron segundo a vertical teremos:

v_2y = v_1y + a_y.t   ou  v₂.sena₂ = v₁.sena₁ - (qE/m).L/(v₁.cosa₁)

Lembre-se que segundo a horizontal o movimento é uniforme e, conseqüentemente o componente da velocidade segundo essa direção não varia, ou seja: v₁.cosa₁ = v₂.cosa₂ . Com isso em mente a expressão acima fica:

v₁.cosa₁.tga₂ = v₁.sena₁ - (qE/m).L/(v₁.cosa₁)

Dessa expressão, podemos isolar E e teremos uma das respostas da questão, a saber, a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor:

E = (tga₁ - tga₂).m.v₁².cos²a₁/(qL)

A energia cinética do elétron ao sair do capacitor será dada por:

(1/2).m.v₂² = (1/2).(m.v₁²)(cos²a₁/cos²a₂)

Tudo entendido? Podemos apertar a 'porca' um pouco mais? ... Vamos lá.

Estudo 4
São bastante interessantes as questões sobre as oscilações de um pêndulo eletrizado, colocado dentro de um capacitor plano. Vejamos a seguinte:

"Uma pequena esfera de massa m e dotada de carga elétrica q está suspensa por um fino fio de seda de comprimento L e oscila dentro de um capacitor de placas paralelas. A intensidade do campo eletrostático no interior do capacitor é igual a E e as linhas de força são verticais e sentido para baixo, como se ilustra abaixo em (a).  Queremos determinar o período T das oscilações desse pêndulo."

Sabemos que, se houvesse apenas o campo gravitacional, o período de oscilação do pêndulo seria dado por:

A presença do campo elétrico uniforme (de mesma direção e sentido que g), como sabemos das questões anteriores, implica no acréscimo da aceleração qE/m imposta pela força elétrica. é como se o pêndulo estivesse oscilando num local onde a aceleração da gravidade tivesse valor "g + qE/m", logo, o período que buscamos será:

Como se observa as soluções começam a ficar mais simples quando se sabe utilizar das analogias entre movimento no CEU e no CGU.

Estudo 5
Como ficará afetada essa expressão para T se invertermos o sentido do campo elétrico, ou seja, invertermos a polaridade do capacitor?

Essa é fácil, basta subtrair de "g" a parcela "qE/m":

Estudo 6
Nessa situação de polaridade invertida acima, que acontecerá com o pêndulo no caso de aumentarmos gradativamente a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor?

O período das oscilações aumentará progressivamente (irá ficando cada vez mais lento) e tenderá ao infinito (tenderá a 'parar') quando F_e = P, ou seja, qE = m.g ou E = mg/q.
Se a partir desse valor continuarmos a aumentar a intensidade do campo elétrico E, teremos que prender o fio na placa inferior do capacitor e não mais na superior, caso queiramos que existam as oscilações (o pêndulo funcionará de 'ponta cabeça').

E qual será, para esse caso, a expressão para o novo período do pêndulo?

A nova expressão será:

Estudo 7
Vamos complicar um pouquinho mais a questão:

"A pequena esfera eletrizada oscila agora dentro do campo elétrico de um capacitor cujas placas são verticais (e não mais horizontais como na questão original), como se ilustra (b). Neste caso as acelerações g e qE/m formam entre si um ângulo reto. Determinar o período das oscilações do pêndulo e o ângulo a que a posição de equilíbrio do fio forma com a vertical."

Nessa situação,
(1) o período das oscilações do pêndulo será expresso em função da aceleração resultante ou efetiva g_ef, soma vetorial das parcelas segundo a vertical (g) e horizontal (F_e/m) e
(2) o ângulo a será aquele entre a vertical e a posição de equilíbrio (que coincide com a direção de g_ef).

Então, fácil ver que:

Estudo 8
Acredito que agora poderemos analisar o caso geral no qual as placas do capacitor fazem com a horizontal um ângulo genérico b. A pergunta é a mesma: obter o período de oscilação do pêndulo e o ângulo que o fio, na sua posição de equilíbrio, forma com a vertical. Ilustramos isso em (c):

Como no caso anterior, a aceleração resultante ou efetiva g_ef será dada pelo soma vetorial das parcelas g e F_e/m. A intensidade dessa aceleração efetiva (que será levada na expressão do período) pode ser obtida pela aplicação do 'teorema do cosseno', bem conhecido da trigonometria:

g_ef² = g² + (qE/m)² + 2.g.(qE/m).cosb

De modo que T e a serão expressos por:

Verifique que, para b = 0 voltaremos ao resultado obtido para as placas do capacitor na horizontal  e   para b = 90^o para o caso em que as placas estão na vertical. Se restarem dúvidas mande um e.mail para leobarretos@uol.com.br, autor do www.feiradeciencias.com.br e detalharemos essa verificação.

Estudo 9
Para terminar nossas análises propomos a seguinte questão:

"Calcular o período das oscilações de uma pequena esfera eletrizada de massa m e carga +q, quando no ponto de suspensão do fio se localiza outra carga +q, como se ilustra."

Vejamos a resposta 'de um aluno apressado em suas conclusões': Segundo a lei de Coulomb a esfera suspensa será repelida pela esfera fixa por força de intensidade k.q²/L². Essa força deve comunicar á esfera uma aceleração [kq²/L²]/m. Dessa forma o período das oscilações será:

Você concorda com esse raciocínio?
Ou será que você pensou assim: "Não concordo. Para que a expressão acima seja correta, é necessário que a aceleração "[kq²/L²]/m" se manifeste constantemente na vertical para baixo, o que não ocorre na situação, exceto quando a esferinha suspensa passa pela posição de equilíbrio."

A bem da Física, você só acertou quando disse "Não concordo" e acrescento 'a expressão está errada'.
Observe que nesse caso a força elétrica está permanentemente dirigida ao longo do fio e, portanto, é equilibrada pela tensão no fio. Dessa força de natureza elétrica não aparece, na direção do movimento, nenhuma parcela que possa ser considerada como restauradora. Assim apenas o fio fica mais tenso; é como se trocássemos a esfera original eletrizada por outra de massa maior, não eletrizada. Mas ... como a massa não interfere no período do pêndulo esse continuará a ser expresso por:

Chega?

Certo, bom sucesso em seus estudos.