Eletrômetros
(Medida de diferença de potenciais)

Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
leo@feiradeciencias.com.br
leobarretos@uol.com.br
Revisado em 15/11/2011

Introdução - Eletrometria
É ramo da Física que se interessa pela medida de grandezas físicas, no vasto campo de estudos da eletricidade, operando com técnicas particulares e com instrumentos diversos, em função da grandeza a ser medida e da finalidade da medida. Os eletrômetros propriamente definidos são empregados para a medida, por meios indiretos, da diferença de potencial, sem absorver a corrente, usando das forças eletrostáticas.
Didaticamente são diferenciados em eletrômetros de repulsão e de atração. Dentre os primeiros destacam-se os 'eletroscópios de pêndulos e os de folhas de ouro'. Atualmente são muito usados instrumentos eletrônicos, os quais praticamente não provocam a passagem da corrente elétrica e, portanto, não alteram as condições do equipamento sob teste.

Princípio de funcionamento dos eletrômetros
Os eletrômetros são aparelhos utilizados para medir diferença de potenciais elétricos, ou seja, a tensão elétrica entre dois pontos de potenciais distintos; U = V - V_o.
Tipicamente, um eletrômetro é um capacitor deformável, no qual se aplica entre as armaduras uma diferença de potencial constante U, objeto da medida; da medida da força ou do par (binário) que tende a produzir a deformação, deduz-se o valor de U. Como, de modo geral, a referência para potenciais elétricos é a terra (solo), com V_o= 0, tem-se  U = V - V_o = V; desse modo diz-se, também, que eletrômetro se destina à medida de potenciais elétricos V.

Demonstração fundamental
Seja C a capacitância do capacitor deformável. Suponhamos que, sob a ação das forças eletrostáticas, o capacitor experimenta uma deformação que aumenta de dC a sua capacitância,então, as forças que produzem a deformação efetuam um trabalho dt, e como esse trabalho é fornecido pelo sistema, resulta daí uma diminuição na sua energia potencial eletrostática.
Mas, para manter o potencial constante, torna-se necessário aumentar o valor absoluto da carga de cada armadura da quantidade dQ = V.dC, o que corresponde a um acréscimo V.dQ = V².dC na energia eletrostática.

Em suma, durante essa transformação a um potencial constante, o acréscimo da energia eletrostática do capacitor será de

 dE_elet. = V².dC - dt    ... (eq.01)

Mas, por outra parte, tem-se sempre  E_elet.= (1/2).C.V² , donde, sendo V constante, diferenciando vem

dE_elet.= (1/2).V².dC  ... (eq.02)

Identificando-se as duas expressões (eq.01) e (eq.02), pode-se escrever

V².dC - dt  =  (1/2).V².dC   ... donde ... dt  =  (1/2).V².dC  ... (eq.03)

Se um capacitor, cuja diferença de potencial entre suas armaduras permanece constante, se deforma sob a ação das forças eletrostáticas, o trabalho dessas forças é igual ao semi-produto do quadrado da diferença do potencial pelo acréscimo da capacitância.

Daí se segue que dt e dC têm o mesmo sinal; por consequência, as forças elétricas que tendem a efetuar um trabalho positivo tendem também a aumentar a capacitância, e isso qualquer que seja a deformação considerada.

1º-- Se a deformação consiste numa translação dx duma armadura paralela ao eixo dos x, e se F_x é a componente paralela ao eixo dos x da força aplicada a essa armadura, sendo X contada positivamente no sentido dos x positivos, tem-se

dt = F_x.dx;    por conseguinte,   F_x.dx = (1/2).V²dC

donde se tira

F_x = (1/2).V²(dC/dx)  ... (eq.04)

2º-- Se a deformação consiste numa rotação da duma armadura, o momento T das forças aplicadas a essa armadura, em relação ao eixo de rotação, contado positivamente quando as forças tendem a aumentar a, é tal que

dt = T.da

Tem-se, pois,

T.da = (1/2).V²dC

donde resulta que

T = (1/2).V²(dC/da)  ... (eq.05)

Conclusão
Qualquer que seja o tipo de eletrômetro, ele deverá atender à (eq.04) ou à (eq.05), assim, da medida de F_x ou de T é possível deduzir V; é o que se realiza com os eletrômetros.

Existem numerosos tipos de eletrômetros, mas estudaremos sumariamente aqui apenas o eletrômetro de pratos, no qual a deformação utilizada é uma translação, e o eletrômetro de quadrantes, no qual a deformação utilizada é uma rotação.
Outros aparelhos (eletrômetro de folha de ouro, eletrômetro unifilar de Wulf, eletrômetro bifilar de Wulf e eletrômetro capilar) são comentados no final desta exposição.

Eletrômetro de pratos
O aparelho é um capacitor plano cuja armadura A é um disco circular com anel de guarda, que se pode deslocar, conservando-se paralelo a si próprio, no sentido das linhas de força. A intensidade da força que se exerce perpendicularmente sobre o disco A vale:

F = (1/2).V²(dC/dx)  ... (eq.06)

Ora, sendo o ar o dielétrico, tem-se, em unidades do Sistema Internacional:   C = e_o.S/x , onde C é a capacitância, e_o a permitividade absoluta do meio (ar, no caso), S = p.R² é a área das placas que se defrontam e x a distância que as separa. Então, derivando-se em relação a x, tem-se:

dC/dx = - e_o.S/x²  ... (eq.07)

Levando-se a ... (eq.07) na ... (eq.06) tem-se, em valor absoluto:    F = (1/2).e_o.V².S/x²  ... (eq.08)

No eletrômetro-balança, de Abraham, representado abaixo, o disco A acha-se suspenso ao travessão duma balança; equilibra-se a força F, depondo-se pesos marcados no prato P. Se m é a massa desses pesos e se os dois braços do travessão são iguais, tem-se:

Vê-se que, se conhecemos x, R, m e g, podemos calcular-se V, em volts. Se interessar, pode-se substituir e_o por 1/(4p.k) , onde k é a constante eletrostática, característica do meio e do sistema de unidades adotado.

O valor de V se deduz de medidas geométricas e mecânicas, por aplicação de uma fórmula; efetua-se, então, uma medida absoluta, e o aparelho é um eletrômetro absoluto.

A diferença de potencial  U = V - V_o  é estabelecida entre o prato B, por uma parte, e o prato A e o seu anel de guarda A´, por outra parte; A e A' se acham em comunicação com a caixa metálica que encerra o aparelho, a fim de que não haja carga alguma na face externa de A e A´.
Pode-se fazer variar a distância x dos pratos, deslocando, com o auxílio do botão b, que aciona uma cremalheira, o prato B; um nônio permite apreciar os deslocamentos. Mede-se x, levando B ao contato com A.
Mas, o equilíbrio de A é instável; se F ultrapassa um pouco o peso mg, A se aproxima de B, o que tem precisamente por efeito aumentar F. Limitam-se os deslocamentos de A com o auxílio de pequenos espigões ou esperas isolantes; o disco A vem exatamente para o plano do anel de guarda quando a agulha a se acha no zero; o referido disco se apoia, então, sobre a espera isolante inferior.
Para efetuar a medida, coloca-se no prato P uma massa m, levemente superior à necessária, e em seguida diminui-se levemente x, até que a balança oscile; lê-se, então, o valor de x no nônio.

Não podemos trabalhar com dimensões muito grandes do disco A, pois seria difícil regulá-lo paralelamente a B; por outra parte, m deve ser da ordem do grama, e x da ordem do centímetro, se desejamos obter essas quantidades com precisão. Nessas condições, V é relativamente grande. Exemplifiquemos:

Se x = 1,0 cm = 1,0.10^-2m, R = 6,0 cm = 6,0.10^-2m e m = 5,0 g = 5,0.10^-3kg, com  e_o = 8,85.10^-12F/m e p = 3,14 tem-se, aplicando a (eq.09) :

V = (1,0.10^-2/6,0.10^-2).√[2.5,0.10^-3.10/(8,85.10^-12.3,14)] = (1/6).√[10¹¹/27,8] = (1/6).√[10¹²/278] = (1/6).(10⁶/16,7) = ~10⁶/10² = 10 000 volts.

O aparelha permite medidas entre 1 000 e 100 000 volts, mas quando se alcança tão alto valor de V, as perdas comprometem a precisão das medidas.
Para valores reduzidos de V, seria necessário operar com distâncias x muito menores; pode-se então medir x, utilizando interferências luminosas. Determinam-se, então, diferenças de potencial de poucos volts.

Para se medirem grandes diferenças de potencial, até 300 000 volts, utiliza-se uma modificação do aparelho precedente, conhecido sob o nome de eletrômetro de Abraham e Villard.

Não se trata, pois, de um eletrômetro absoluto; o aparelho permite comparar a diferença de potencial por medir uma diferença de potencial conhecida (calibração do ponteiro na escala), isto é, permite efetuar uma medida relativa: é um eletrômetro relativo.

Eletrômetro de quadrantes
Descrição — O aparelho se compõe essencialmente de dois capacitores, tendo uma armadura comum, móvel.

A armadura móvel é um prato A, muito leve, de alumínio, horizontal, que se denomina ponteiro. Este se acha suspenso por um fio ou por uma fita, de bronze, de prata, de platina ou mesmo de quartzo; numa projeção horizontal, tem a forma de dois setores, diametralmente opostos, cujo ângulo é de 90° aproximadamente; mas os setores se ajustam entre si. Finalmente, uma haste T prolonga para baixo o fio de suspensão, e suporta um espelho plano M, que permite medir a rotação do ponteiro (pelo método de Poggendorf).

Este se localiza no interior duma caixa cilíndrica achatada, de metal, cujo eixo coincide com o fio de suspensão do ponteiro e a qual foi dividida em quatro quadrantes 1, 1´, 2 e 2', por dois planos verticais retangulares, passando pelo eixo. Os quadrantes 1 e 1´ são reunidos por um fio condutor, assim como os quadrantes 2 e 2'. Cada par de quadrantes constitui, pois, uma armadura dum capacitor do qual a outra armadura é a parte do ponteiro situada no interior desses quadrantes.
O conjunto acha-se contido numa caixa metálica que garante a proteção eletrostática e cujo potencial será considerado como potencial zero.

Teoria — Sejam V, V₁, V₂ os potenciais elétricos, respectivamente, do ponteiro, dos quadrantes 1, 1´ e dos quadrantes 2, 2'.
Quando o ponteiro gira do ângulo da, em virtude da simetria do aparelho, a capacitância dos dois capacitores   varia  a  mesma   quantidade dC — a mais, para aquele em que a agulha entrou mais, a menos, para o outro.
A derivada  dC/da  , que representa a variação de capacitância por unidade de ângulo, é, pois, a mesma para ambos os capacitores; e se o ponteiro se acha suficientemente mergulhado nos quadrantes, pode-se admitir que ele é constante, isto é, independente de a, sem embargo das perturbações devidas às bordas do ponteiro e às dos quadrantes.
O primeiro capacitor constituído pelo ponteiro e pelo par de quadrantes 1 e 1´, acha-se ´carregado´ sob a diferença de potencial V - V₁; o momento das forças eletrostáticas, em relação ao eixo de rotação, que tendem a fazer o ponteiro entrar nos quadrantes 1 e 1´ equaciona-se:

(1/2).(V - V₁)².(dC/da)   ou   (1/2).g.(V - V₁)²

No equilíbrio, se o ponteiro girou do ângulo a, a partir da posição para a qual a torção do fio F é nula, pode-se escrever:

A.a = (1/2).g.(V - V₁)² - (1/2).g.(V - V₂)² = (1/2).g.[(V - V₁)² - (V - V₂)²] =
= g.(V₂ - V₁).[V - (V₁ + V₂)/2]   e, finalmente
a = K.(V₂ - V₁).[V - (V₁ + V₂)/2]

Instalação
Primeira montagem -- em geral, utiliza-se a seguinte: o ponteiro é posto em comunicação com um dos pólos duma fonte de tensão DC, equivalente a uma associação de 10 baterias automotivas de 12 V, da qual o outro polo é ligado à caixa; o par de quadrantes 2,2' acha-se em comunicação com a caixa; finalmente estabelece-se, entre os dois pares de quadrantes, a diferença de potencial  u a medir.

Neste tipo de montagem, tem-se, pois, V₂  =  0,  V₁= u  e por conseguinte  a = K.u.(V - u/2) .
Supomos que u é uma fração do volt, de sorte que  u/2  é negligenciável diante de V, que é da ordem de 100 volts. Nessas condições, pode-se escrever:  a = K.V.u , isto é, o desvio é proporcional à diferença de potencial a medir.

Obtém-se, assim, um desvio do ponto luminoso de 1 mm numa escala graduada, colocada a 1 metro, para uma diferença de potencial u da ordem do milivolt ou alguns décimos de milivolt.

Segunda montagem -- se a diferença de potencial a medir não é desprezável em relação a V, a aproximação precedente deixa de ser legítima, e pode-se utilizar a seguinte montagem (ilustração acima, à direita): estabelece-se entre o ponteiro e a caixa a diferença de potencial a medir, e, entre os dois pares de quadrantes, a diferença de potencial (V-V_o) dada pela auxiliar fonte de tensão DC, simétrica (+120V/0V/-120V), cujo ´neutro´ se acha ligado à caixa.

Tem-se: V₁=V/2,  V₂= - V/2, V₁ + V₂ = 0,  e por conseguinte,   a = K.V.u ; a é ainda proporcional à diferença de potencial u.

Essa montagem é, entretanto, pouco usada; com efeito, se a diferença de potencial a medir é importante, opõe-se a mesma a uma diferença de potencial u´ conhecida, da mesma ordem de grandeza, e mede-se a diferença u - u´ utilizando-se a primeira montagem.

Terceira montagem -- Finalmente, pode-se lançar mão do eletrômetro sem fazer intervir uma diferença de potencial auxiliar (dada pela fonte DC, simétrica ou não). Para isso, liga-se o ponteiro a um dos pares de quadrantes e à caixa, e os dois pares de quadrantes aos dois bornes, entre os quais se tem a diferença de potencial desconhecida. Por conseguinte, V₁= V = 0,  V₂= u  e  a = (K/2).u².

As indicações do aparelho são então proporcionais ao quadrado da diferença de potencial a medir; essa montagem é também utilizada para medir diferenças de potencial alternadas, das quais dá o valor eficaz.

Seja qual for a montagem utilizada, K não se determina por medidas mecânicas, mas é avaliado mediante a observação do desvio a dado por um valor conhecido u_o da diferença de potencial; o aparelho permite, então, comparar a d. d. p. desconhecida a uma d. d. p. conhecida, isto é, permite efetuar medidas relativas: trata-se, pois, dum eletrômetro relativo.

Usos
O eletrômetro de quadrantes é o aparelho fundamental de todas as medidas eletrostáticas: medidas de d. d. p., de capacitâncias, de quantidades de carga, etc..
E' igualmente utilizado na indústria, sob o nome de voltímetro eletrostático, para medir grandes diferenças de potencial.
A figura acima, centro, representa um tipo desses aparelhos. Compreende dois quadrantes isolados da caixa, sendo os dois outros formados pela própria caixa; o ponteiro de alumínio acha-se ligado à caixa, de sorte que as indicações do aparelho dependem do quadrado u² da d. d. p.; o ponteiro é reconduzido ao zero por uma mola em espiral ou por um estribo que pode suportar um peso.
Empregam-se também eletrômetros multicelulares, formados por células superpostas, que desempenham o papel de quadrantes, nos quais penetra, mais ou menos profundamente, uma série de ponteiros solidários uns com os outros e suportados por uma mola em espiral; o sistema é amortecido por um banho de óleo.
Esses voltômetros têm, sobre os voltômetros comuns (os voltímetros da vida!), a vantagem de não serem atravessados por corrente permanente alguma, de não consumirem potência e de exigirem o dispêndio de energia absolutamente insignificante que corresponde à carga dos capacitores; finalmente, como a ação que se exerce sobre a equipagem móvel é proporcional a u², as indicações fornecidas pelo instrumento são independentes da polaridade da diferença de potencial.

Outros eletrômetros:

Eletrômetro de folhas de ouro - é o tipo mais simples, constituído de dois fios, fitas ou laminas de ouro ou de alumínio, fixados juntos por uma das extremidades a um suporte metálico. Durante a medição, o angulo de divergência que se estabelece entre as laminas fornece a medida da diferença de potencial, se o invólucro do instrumento, eletricamente isolado da parte móvel, é ligado à terra. Mesmo com modificações e aperfeiçoamento, estes instrumentos não podem ser calibrados com precisão, e portanto foram substituídos no uso pratico por instrumentos mais complexos, mas dotados de maior precisão e sensibilidade.

Eletrômetro unifilar de Wulf - é constituído, conforme ilustramos abaixo, de um fio de quartzo metalizado, preso entre dois eletrodos planos com auxilio de dois suportes de quartzo. Os eletrodos são levados a potenciais iguais e contrários de cerca de ± 200 volts, reguláveis por meio de um potenciômetro. A diferença de potencial é aplicada entre os pontos T e o instrumento utiliza, portanto, a deflexão do fio sob a ação da força eletrostática. As deflexões do fio são observadas por meio de um microscópio ligado com o aparelhamento e provido de uma escala graduada, da qual se obtém o valor da tensão aplicada, através da proporcionalidade existente. A sensibilidade do eletrômetro unifilar depende da tensão mecânica do fio, da diferença de potencial aplicada entre as armaduras dos eletrodos e da posição dos mesmos; podem ser obtidas, sem dificuldades, sensibilidades até de 1/500 de volt.

Eletrômetro bifilar de Wulf - é uma variação do instrumento anterior, onde se constata a presença de dois fios de quartzo metalizados aos quais e aplicada a diferença de potencial a medir. O afastamento entre os fios é observado por meio de um microscópio. Portanto, diferentemente do unipolar, o eletrômetro de dois fios e usado então eletrostaticamente, isto e, exclusivamente por efeito da tensão a ser medida.

Eletrômetro capilar - Aparelho especial destinado a executar medidas de pequenas diferenças de potencial, utilizando fenômenos eletrocapilares.

A e B são ampolas de vidro que contêm mercúrio; C é um eletrólito constituído por solução aquosa de acido sulfúrico; T é o  tubo capilar; P a bateria de alimentação; R é o reostato; G é o galvanômetro; M e N constitui a barra potenciométrica; X é o cursor do potenciômetro MN. Aplicando-se uma diferença de potencial entre A e B, o menisco do mercúrio desloca-se no tubo capilar T, permitindo medir com o seu deslocamento, a diferença de potencial aplicado mediante o potenciômetro. O eletrômetro capilar é capaz de medir diferenças de potencial da ordem de décimos de volt.

Eletrômetro de Exner - Aparelho bastante cômodo para uso em laboratório e para estudo da 'eletricidade atmosférica', além da vantagem de se poder projetar sobre uma tela as posições de suas folhas, dando-lhe um caráter altamente didático para salas de aula.

No interior de uma caixa cilíndrica cujas faces são vedadas por discos de vidro, há uma vareta de cobre, muito bem isolada da caixa e que ter mina, superiormente por um eletrodo. No interior da caixa, ligado a esta vareta, tem-se duas folhas de alumínio. Ao comunicarmos uma carga elétrico ao eletrodo superior, as folhas divergem devido ao fato de apresentarem cargas de mesmo sinal. Ainda no interior do aparelho, tem-se duas placas metálicas que podem ser unidas de modo que protejam as folhas quando o instrumento é transportado. O eletroscópio de Elster e Geitel se diferencia muito pouco do eletrômetro de Exner.

Eletrômetro de Braun  e Voltômetro eletrostático de Lord Kelvin -

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