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Princípio dos eletrômetros
Os eletrômetros são aparelhos utilizados para medir diferença de potenciais. Tipicamente, um eletrômetro é um capacitor deformável, onde se mantém entre as armaduras uma diferença de potencial constante U; da medida da força ou do par (binário) que tende a produzir a deformação, deduz-se o valor de U. Como, de modo geral, a referência para potencial elétrico é a terra (solo), com V_o= 0, tem-se U = V - V_o = V; desse modo diz-se, também, que eletrômetro se destina à medida de potenciais elétricos V.

Seja C a capacitância do capacitor. Suponhamos que, sob a ação das forças eletrostáticas, o capacitor experimenta uma deformação que aumenta de dC a sua capacitância; as forças que produzem a deformação efetuam um trabalho dt, e como esse trabalho é fornecido pelo sistema, resulta daí uma diminuição na sua energia potencial eletrostática.
Mas, para manter o potencial constante, torna-se necessário aumentar o valor absoluto da carga de cada armadura da quantidade dQ = V.dC, o que corresponde a um acréscimo V.dQ = V².dC na energia eletrostática.

Em suma, durante essa transformação a um potencial constante, o acréscimo da energia eletrostática do capacitor será de

Mas, por outra parte, tem-se sempre E_elet.= (1/2).C.V² , donde, sendo V constante, diferenciando vem

Identificando-se as duas expressões (eq.01) e (eq.02), pode-se escrever

Daí se segue que dt e dC têm o mesmo sinal; por consequência, as forças elétricas que tendem a efetuar um trabalho positivo tendem também a aumentar a capacitância, e isso qualquer que seja a deformação considerada.

1º-- Se a deformação consiste numa translação dx duma armadura paralela ao eixo dos x, e se F_x é a componente paralela ao eixo dos x da força aplicada a essa armadura, sendo X contada positivamente no sentido dos x positivos, tem-se

2º-- Se a deformação consiste numa rotação da duma armadura, o momento T das forças aplicadas a essa armadura, em relação ao eixo de rotação, contado positivamente quando as forças tendem a aumentar a, é tal que

Da medida de F_x ou de T é possível deduzir V; é o que se realiza com os eletrômetros.

Existem numerosos tipos de eletrômetros, mas estudaremos sumariamente aqui apenas o eletrômetro de pratos, no qual a deformação utilizada é uma translação, e o eletrômetro de quadrantes, no qual a deformação utilizada é uma rotação.

Eletrômetro de pratos
O aparelho é um capacitor plano cuja armadura A é um disco circular com anel de guarda, que se pode deslocar, conservando-se paralelo a si próprio, no sentido das linhas de força. A intensidade da força que se exerce perpendicularmente sobre o disco A vale:

Ora, sendo o ar o dielétrico, tem-se, em unidades do Sistema Internacional: C = e_o.S/x , onde C é a capacitância, e_o a permitividade absoluta do meio (ar, no caso), S = p.R² é a área das placas que se defrontam e x a distância que as separa. Então, derivando-se em relação a x, tem-se:

Levando-se a ... (eq.07) na ... (eq.06) tem-se, em valor absoluto: F = (1/2).e_o.V².S/x² ... (eq.08)

No eletrômetro-balança, de Abraham, representado abaixo, o disco A acha-se suspenso ao travessão duma balança; equilibra-se a força F, depondo-se pesos marcados no prato P. Se m é a massa desses pesos e se os dois braços do travessão são iguais, tem-se:

F = m.g = (1/2).e_o.V².S/x²

... (eq.09)

Vê-se que, se conhecemos x, R, m e g, podemos calcular-se V, em volts. Se interessar, pode-se substituir e_o por 1/(4p.k) , onde k é a constante eletrostática, característica do meio e do sistema de unidades adotado.

O valor de V se deduz de medidas geométricas e mecânicas, por aplicação de uma fórmula; efetua-se, então, uma medida absoluta, e o aparelho é um eletrômetro absoluto.

A diferença de potencial U = V - V_o é estabelecida entre o prato B, por uma parte, e o prato A e o seu anel de guarda A´, por outra parte; A e A' se acham em comunicação com a caixa metálica que encerra o aparelho, a fim de que não haja carga alguma na face externa de A e A´.
Pode-se fazer variar a distância x dos pratos, deslocando, com o auxílio do botão b, que aciona uma cremalheira, o prato B; um nônio permite apreciar os deslocamentos. Mede-se x, levando B ao contato com A.
Mas, o equilíbrio de A é instável; se F ultrapassa um pouco o peso mg, A se aproxima de B, o que tem precisamente por efeito aumentar F. Limitam-se os deslocamentos de A com o auxílio de pequenos espigões ou esperas isolantes; o disco A vem exatamente para o plano do anel de guarda quando a agulha a se acha no zero; o referido disco se apoia, então, sobre a espera isolante inferior.
Para efetuar a medida, coloca-se no prato P uma massa m, levemente superior à necessária, e em seguida diminui-se levemente x, até que a balança oscile; lê-se, então, o valor de x no nônio.

Não podemos trabalhar com dimensões muito grandes do disco A, pois seria difícil regulá-lo paralelamente a B; por outra parte, m deve ser da ordem do grama, e x da ordem do centímetro, se desejamos obter essas quantidades com precisão. Nessas condições, V é relativamente grande. Exemplifiquemos:

Se x = 1,0 cm = 1,0.10^-2m, R = 6,0 cm = 6,0.10^-2m e m = 5,0 g = 5,0.10^-3kg, com e_o = 8,85.10^-12F/m e p = 3,14 tem-se, aplicando a (eq.09) :

V = (1,0.10^-2/6,0.10^-2).√[2.5,0.10^-3.10/(8,85.10^-12.3,14)] = (1/6).√[10¹¹/27,8] = (1/6).√[10¹²/278] = (1/6).(10⁶/16,7) = ~10⁶/10² = 10 000 volts.

O aparelha permite medidas entre 1 000 e 100 000 volts, mas quando se alcança tão alto valor de V, as perdas comprometem a precisão das medidas.
Para valores reduzidos de V, seria necessário operar com distâncias x muito menores; pode-se então medir x, utilizando interferências luminosas. Determinam-se, então, diferenças de potencial de poucos volts.

Para se medirem grandes diferenças de potencial, até 300 000 volts, utiliza-se uma modificação do aparelho precedente, conhecido sob o nome de eletrômetro de Abraham e Villard.

O prato A, rodeado do anel de guarda A', é atraído pelo prato B; A acha-se suspen- so por duas fitas R e R', de aço fino, e seus leves deslocamentos horizontais, amplificados por um sistema de hastes articulados, são transmitidos à agulha a, que se desloca diante duma graduação. O aparelho é de leitura direta; é gradua- do por comparação com um eletrômetro plano conveniente.

Não se trata, pois, de um eletrômetro absoluto; o aparelho permite comparar a diferença de potencial por medir uma diferença de potencial conhecida (calibração do ponteiro na escala), isto é, permite efetuar uma medida relativa: é um eletrômetro relativo.

Eletrômetro de quadrantes
Descrição — O aparelho se compõe essencialmente de dois capacitores, tendo uma armadura comum, móvel.

A armadura móvel é um prato A, muito leve, de alumínio, horizontal, que se denomina ponteiro. Este se acha suspenso por um fio ou por uma fita, de bronze, de prata, de platina ou mesmo de quartzo; numa projeção horizontal, tem a forma de dois setores, diametralmente opostos, cujo ângulo é de 90° aproximadamente; mas os setores se ajustam entre si. Finalmente, uma haste T prolonga para baixo o fio de suspensão, e suporta um espelho plano M, que permite medir a rotação do ponteiro (pelo método de Poggendorf).

Este se localiza no interior duma caixa cilíndrica achatada, de metal, cujo eixo coincide com o fio de suspensão do ponteiro e a qual foi dividida em quatro quadrantes 1, 1´, 2 e 2', por dois planos verticais retangulares, passando pelo eixo. Os quadrantes 1 e 1´ são reunidos por um fio condutor, assim como os quadrantes 2 e 2'. Cada par de quadrantes constitui, pois, uma armadura dum capacitor do qual a outra armadura é a parte do ponteiro situada no interior desses quadrantes.
O conjunto acha-se contido numa caixa metálica que garante a proteção eletrostática e cujo potencial será considerado como potencial zero.

Teoria — Sejam V, V₁, V₂ os potenciais elétricos, respectivamente, do ponteiro, dos quadrantes 1, 1´ e dos quadrantes 2, 2'.
Quando o ponteiro gira do ângulo da, em virtude da simetria do aparelho, a capacitância dos dois capacitores varia a mesma quantidade dC — a mais, para aquele em que a agulha entrou mais, a menos, para o outro.
A derivada dC/da , que representa a variação de capacitância por unidade de ângulo, é, pois, a mesma para ambos os capacitores; e se o ponteiro se acha suficientemente mergulhado nos quadrantes, pode-se admitir que ele é constante, isto é, independente de a, sem embargo das perturbações devidas às bordas do ponteiro e às dos quadrantes.
O primeiro capacitor constituído pelo ponteiro e pelo par de quadrantes 1 e 1´, acha-se ´carregado´ sob a diferença de potencial V - V₁; o momento das forças eletrostáticas, em relação ao eixo de rotação, que tendem a fazer o ponteiro entrar nos quadrantes 1 e 1´ equaciona-se:

No equilíbrio, se o ponteiro girou do ângulo a, a partir da posição para a qual a torção do fio F é nula, pode-se escrever:

A.a = (1/2).g.(V - V₁)² - (1/2).g.(V - V₂)² = (1/2).g.[(V - V₁)² - (V - V₂)²] =
= g.(V₂ - V₁).[V - (V₁ + V₂)/2] e, finalmente
a = K.(V₂ - V₁).[V - (V₁ + V₂)/2]

Instalação
Primeira montagem -- em geral, utiliza-se a seguinte: o ponteiro é posto em comunicação com um dos pólos duma fonte de tensão DC, equivalente a uma associação de 10 baterias automotivas de 12 V, da qual o outro polo é ligado à caixa; o par de quadrantes 2,2' acha-se em comunicação com a caixa; finalmente estabelece-se, entre os dois pares de quadrantes, a diferença de potencial u a medir.

Neste tipo de montagem, tem-se, pois, V₂ = 0, V₁= u e por conseguinte a = K.u.(V - u/2) .
Supomos que u é uma fração do volt, de sorte que u/2 é negligenciável diante de V, que é da ordem de 100 volts. Nessas condições, pode-se escrever: a = K.V.u , isto é, o desvio é proporcional à diferença de potencial a medir.

Obtém-se, assim, um desvio do ponto luminoso de 1 mm numa escala graduada, colocada a 1 metro, para uma diferença de potencial u da ordem do milivolt ou alguns décimos de milivolt.

Segunda montagem -- se a diferença de potencial a medir não é desprezável em relação a V, a aproximação precedente deixa de ser legítima, e pode-se utilizar a seguinte montagem (ilustração acima, à direita): estabelece-se entre o ponteiro e a caixa a diferença de potencial a medir, e, entre os dois pares de quadrantes, a diferença de potencial (V-V_o) dada pela auxiliar fonte de tensão DC, simétrica (+120V/0V/-120V), cujo ´neutro´ se acha ligado à caixa.

Tem-se: V₁=V/2, V₂= - V/2, V₁ + V₂ = 0, e por conseguinte, a = K.V.u ; a é ainda proporcional à diferença de potencial u.

Essa montagem é, entretanto, pouco usada; com efeito, se a diferença de potencial a medir é importante, opõe-se a mesma a uma diferença de potencial u´ conhecida, da mesma ordem de grandeza, e mede-se a diferença u - u´ utilizando-se a primeira montagem.

Terceira montagem -- Finalmente, pode-se lançar mão do eletrômetro sem fazer intervir uma diferença de potencial auxiliar (dada pela fonte DC, simétrica ou não). Para isso, liga-se o ponteiro a um dos pares de quadrantes e à caixa, e os dois pares de quadrantes aos dois bornes, entre os quais se tem a diferença de potencial desconhecida. Por conseguinte, V₁= V = 0, V₂= u e a = (K/2).u².

As indicações do aparelho são então proporcionais ao quadrado da diferença de potencial a medir; essa montagem é também utilizada para medir diferenças de potencial alternadas, das quais dá o valor eficaz.

Seja qual for a montagem utilizada, K não se determina por medidas mecânicas, mas é avaliado mediante a observação do desvio a dado por um valor conhecido u_o da diferença de potencial; o aparelho permite, então, comparar a d. d. p. desconhecida a uma d. d. p. conhecida, isto é, permite efetuar medidas relativas: trata-se, pois, dum eletrômetro relativo.

Usos
O eletrômetro de quadrantes é o aparelho fundamental de todas as medidas eletrostáticas: medidas de d. d. p., de capacitâncias, de quantidades de carga, etc..
E' igualmente utilizado na indústria, sob o nome de voltímetro eletrostático, para medir grandes diferenças de potencial.
A figura acima, centro, representa um tipo desses aparelhos. Compreende dois quadrantes isolados da caixa, sendo os dois outros formados pela própria caixa; o ponteiro de alumínio acha-se ligado à caixa, de sorte que as indicações do aparelho dependem do quadrado u² da d. d. p.; o ponteiro é reconduzido ao zero por uma mola em espiral ou por um estribo que pode suportar um peso.
Empregam-se também eletrômetros multicelulares, formados por células superpostas, que desempenham o papel de quadrantes, nos quais penetra, mais ou menos profundamente, uma série de ponteiros solidários uns com os outros e suportados por uma mola em espiral; o sistema é amortecido por um banho de óleo.
Esses voltômetros têm, sobre os voltômetros comuns (os voltímetros da vida!), a vantagem de não serem atravessados por corrente permanente alguma, de não consumirem potência e de exigirem o dispêndio de energia absolutamente insignificante que corresponde à carga dos capacitores; finalmente, como a ação que se exerce sobre a equipagem móvel é proporcional a u², as indicações fornecidas pelo instrumento são independentes da polaridade da diferença de potencial.