Associações de geradores lineares
(Parte 1)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Apresentação
Em variadas situações desejamos dispor de determinadas intensidades de correntes ou de valores de tensões elétricas as quais não podem ser logradas com um só gerador elétrico, sobretudo quando este é uma pilha (célula voltaica) ou mesmo um acumulador automotivo. Todavia, em muitos casos, esse problema pode ser resolvido reunindo-se os geradores disponíveis de maneira adequada. Um agrupamento deste tipo constitui uma associação de geradores. Essa associação, como veremos, constitui outro gerador (denominado "gerador equivalente") e, em se tratando de pilhas ou células voltaicas recebe a denominação de "bateria".
Bateria é, portanto, uma conveniente associação de pilhas ou de células voltaicas. Essa denominação aplica-se também aos acumuladores automotivos, uma vez que, eles mesmos já constituem associações de células voltaicas.
Toda pilha ou célula voltaica produz uma força eletromotriz (e) de baixo valor, algo entre 0,6 e 2,0 volts. Desse modo, não existe 'pilha de 9 V', assim como não existe 'bateria de 1 V'.

Parâmetros de um gerador linear CC
Nesse trabalho, destinado ao Ensino Médio, só nos prenderemos aos geradores ditos 'lineares' (justificaremos isso a seguir) e de terminais com polaridade fixa (um pólo positivo e outro negativo, sem possibilidade de inversão), de modo que só poderão fornecer ao circuito externo tensões e corrente contínuas (CC ou DC). Os geradores eletromecânicos (dínamos e alternadores) terão tratamento diferenciado.
Os parâmetros que caracterizam os geradores de que trataremos são: sua força eletromotriz (e) e sua resistência interna (r), ambos supostos constantes. Desse modo, conhecer um gerador, significa conhecer o par (e,r).
A intensidade de corrente (i) que percorre o interior do gerador em funcionamento e a diferença de potencial ou tensão elétrica entre seus pólos (U) não são parâmetros característicos de um gerador; esses elementos dependem do particular 'circuito externo'. [Pode parecer brincadeira, mas infelizmente não é; quantos não são os alunos que pedem circuito de 'uma fonte que forneça constantemente "5A sob 12V" para seus vários experimentos em eletricidade.]
O gerador é dito linear quando a tensão elétrica entre seus pólos (ou terminais) puder ser determinada como uma função linear de i, ou seja, uma função do tipo:

com e e r constantes, sendo U, e, r e i medidos em um sistema coerente de unidades. No Sistema Internacional de Unidades deve-se ter U e e em volts (símbolo, V), r em ohms (símbolo, W) e i em ampères (símbolo, A).
A função acima (eq.01) é também conhecida como 'equação característica do gerador' e seu gráfico cartesiano (reta 'descendente') como 'curva característica do gerador'. Para a simbologia de tais geradores, qualquer uma das representadas abaixo são válidas e coerentes:

Comentários
É importante notar três detalhes importantes nessa simbologia, decorrentes da equação do gerador:

1) - que o gerador está 'em funcionamento', ou seja, há um circuito externo (não representado) fechando o percurso da corrente, ou ainda, há demanda de corrente pela parte externa do circuito;
2) - que o sentido da corrente no interior do gerador é 'do terminal de menor potencial elétrico para o terminal de maior potencial elétrico'. Isso pode causar alguma surpresa a certos alunos e, a causa disso só pode ser uma: houve falha na conceituação da força eletromotriz! Alunos que confundem (ou identificam) diferença de potencial elétrico  V_a - V_b  (ou tensão elétrica U = V_a - V_b) com força eletromotriz e estarão fadados a cometerem sérios enganos ao longo de seus estudos. Voltaremos a falar disso, a seguir.
3) - que a diferença de potencial elétrico entre seus terminais (U = V_a - V_b), quando há demanda de corrente (que é a situação posta no detalhe 1), é menor do que o valor da força eletromotriz (se i não é nulo, então U < e).
Exclusivamente em situação de circuito aberto, ou seja, quando não há demanda de corrente (i = 0), a diferença de potencial elétrico tem o mesmo valor da força eletromotriz (se i = 0, então U = e).  É essa eventual igualdade de valores entre U e e e o fato de terem a mesma unidade de medida (volt) que desencadeia a errônea conceituação da f.e.m. colocando-a em igualdade com a de d.d.p ou tensão elétrica.

Ambas, a d.d.p. e a f.e.m. implicam em 'separação de cargas elétricas', o que é efetuado às custas de trabalho de forças num determinado 'campo de forças' e, eis ai a diferença na conceituação: a d.d.p. expressa o trabalho por unidade de carga realizado num campo de forças eletrostáticas, enquanto que a f.e.m. exprime o trabalho por unidade de carga realizado num campo de forças não-eletrostáticas.

Exemplificando: nas pilhas e baterias este campo não-eletrostático é de natureza eletroquímica, atuando sobre íons do interior do gerador, campo esse orientado do terminal de potencial mais baixo (pólo negativo) para o terminal de potencial mais alto (pólo positivo); nos geradores eletromecânicos (dínamos e alternadores) o campo não-eletrostático é induzido eletromagneticamente (trabalho das forças de Lorentz nascidas da ação do campo de indução B sobre cargas elétricas).

A discussão conceitual e quantitativa do que seja a força eletromotriz (que, ao fim e ao cabo não é força alguma!) é de extrema importância para perceber que fontes de alimentação não são depósitos de carga elétrica como vez ou outra se lê em livros textos de 'eletricidade'. Nas pilhas e baterias há armazenamento de energia potencial química e nos geradores eletromecânicos não há absolutamente armazenamento algum! São transdutores passivos! [Ali na prateleira da escola há um pequeno gerador elétrico tocado a manivela e a seu lado um microfone, exatamente dois transdutores de mesma finalidade: converter energia mecânica em energia elétrica e, em nenhum deles há qualquer armazenamento de cargas elétrica.].
Apreciaria sugerir aos autores de livros-textos a substituição da denominação "força eletromotriz" para "eletromoção".

Associações de geradores elétricos
Três são os modos de se associarem os geradores: (a) em série, (b) em paralelo e (c) mista. Os agrupamentos (a) e (b) têm características bem definidas e seguem as propriedades básicas das associações série e paralelo já vistas para os resistores, a saber:

série
(a1): a intensidade de corrente é a mesma para todos os elementos da série;
(a2): a d.d.p. total é soma das d.d.p.(s) parciais;
(a3): a potência total é soma das potências parciais.
paralelo
(b1): a d.d.p. é a mesma quer para a associação quer para seus elementos associados;
(b2): a intensidade de corrente total é soma das intensidades das correntes parciais;
(b3): a potência total é soma das potências parciais.

 Assim, nas associações em série de geradores existe uma única corrente (de intensidade i) que é comum a todos os geradores da associação, mas há um 'ganho' em tensão elétrica e nas associações em paralelo de geradores a d.d.p. (de valor U) entre seus terminais é comum a todos os geradores da associação, mas há um 'ganho' em intensidade de corrente.

Por facilidade de ilustração, admitiremos que em todas as associações o circuito externo se reduza a um único resistor ôhmico de resistência elétrica R.
Assim, se tivermos um só gerador (e,r) a ilustração do circuito e seu equacionamento ficam assim:

No equacionamento da intensidade de corrente no circuito simples ilustrado acima, do qual resulta a lei de Ohm-Pouillet, vale destacar que:

(a) - se  r  tem valor ôhmico muito pequeno com respeito a R teremos, com boa aproximação i = e/R ... (eq.02) . Essa aproximação tem, por limite, a conceituação do denominado gerador ideal, caracterizado por apresentar  r = 0.
(b) - se, pelo contrário, R for negligenciável com respeito a  r  teremos, com boa aproximação  i = e/r ... (eq.03) . Essa aproximação tem, por limite, a conceituação da denominada corrente de curto circuito cuja intensidade será portanto  i_cc = e/r ... (eq.04). Esse valor de intensidade de corrente, levado à equação do gerador produzirá:

U = e - r.i_cc = e - r.e/r = 0.

É nula a tensão elétrica U, entre os terminais do gerador (e do circuito externo), na condição de curto circuito. Essa situação deveria 'chocar' a todos que confundem d.d.p. com f.e.m. e os identificam, pois estamos em frente a uma situação inédita: um condutor (circuito externo) atravessado por intensa corrente elétrica (i_cc) sem existir, entretanto, qualquer d.d.p. entre seus terminais e um gerador demandando a maior intensidade de corrente possível sem qualquer d.d.p. entre seus terminais! O que diríamos então de um gerador ideal (r = 0) em curto circuito?

Associação em série
Diz-se que vários geradores estão associados em série e concordância, quando estão agrupados de modo que o terminal positivo de um está conectado ao terminal negativo de outro e assim sucessivamente. Abaixo ilustramos, superior à esquerda, a associação série de quatro geradores iguais (e,r) alimentando um resistor externo (R) , superior à direita, o gerador equivalente à associação e, inferior, uma associação série com 4 pilhas de lanterna.

Apesar de que, na prática, seja bastante incomum associarem-se geradores diferentes numa série, nada impede tal associação e vamos nos aproveitar disso para justificar a existência do 'gerador equivalente' na montagem abaixo:

Conforme se observa, a tensão elétrica entre os terminais a e b é U_ab = V_a - V_b , entre os terminais b e c é U_bc = V_b - V_c de modo que a d.d.p. entre os terminais da associação é U_ac = V_a - V_c . Sendo numa série, a tensão total igual à soma das tensões parciais escrevemos:

U_ac = U_ab + U_bc = (e₂ - r₂.i) + (e₁ - r₁.i) = (e₁+ e₂) - (r₁+ r₂).i = e_eq. - r_eq..i  ... (eq.05)

O que justifica a conceituação do "gerador equivalente", acima ilustrado.

Podemos generalizar o procedimento acima para a associação de 'n' geradores em série e concordância e concluir que:

e_eq. = e₁ + e₂ + ... + e_n
r_eq. = r₁ + r₂ + ... + r_n   

e, na hipótese de geradores iguais

e_eq. = n.e  ... (eq.06)
r_eq. = n.r   ... (eq.07)
U = n.e - n.r.i = n(e - r.i) ... (eq.08)

Nessa hipótese, a lei de Ohm-Pouillet para o circuito equivalente simples torna-se:

i = n.e/(n.r + R)  ... (eq.09)

Valem três comentários sobre a eq.09:
(a) - se R tem valor muito grande com respeito a n.r, vale a aproximação: i = n.e/R e, tendo-se em conta a eq.02 podemos por: i_associação = n.i_individual . Ou, em palavras, a intensidade de corrente que o circuito externo (R, no caso) demanda da associação é n vezes maior que aquela possibilitada por um só gerador da associação.
Note, todavia, que e/R (fornecida por apenas um elemento da associação) é uma intensidade bem pequena, um valor bem abaixo quer da corrente de curto circuito quer da corrente média que um circuito externo pode demandar desse elemento da associação.
(b) - se, pelo contrário, R tem valor muito pequeno com respeito a n.r, no extremo de poder ser negligenciado frente a este valor interno, a eq.09 torna-se: i = n.e/n.r = e/r e, segundo a eq.03 ou eq.04, i_associação = i_individual = i_{cc-individual} . Em palavras, a intensidade que o circuito externo demanda da associação é a mesma propiciada por um só elemento da associação.
(c) - um caso interessante ocorrerá quando R for igual a n.r (R = n.r). Essa situação demandará da associação uma corrente de intensidade:

i_especial = n.e/(n.r + R) = n.e/(n.r + n.r) = e/(2.r) = (e/r)/2 = i_cc/2  ... (eq.10)

Essa intensidade especial de corrente, metade da corrente de curto circuito, é exatamente aquela na qual a associação trabalha em "condição de potência máxima", ou seja, a situação R = n.r é aquela que permite maior transferência de energia da associação para o circuito externo por unidade de tempo. Em linguagem técnica diríamos que a 'associação' está casada com o 'circuito externo', propiciando a maior transferência de potência elétrica. Ainda, nessa situação, vale destacar que a tensão elétrica que a associação fornece ao circuito externo (eq.08), também tem um valor especial, a saber:

U_esp. = n.e - n.r.i_esp.= n.e - n.r.(e/r)/2 = n.e - n.e/2 = n.e/2 ... (eq.11)

De modo que, a potência útil máxima que o circuito externo absorve da associação, nessa situação, se equaciona:

P_máx.= U_esp..i_esp.= (n.e/2).((e/r)/2) = n.e²/4r  ... (eq.12)

onde  e²/4r  é a potência máxima que cada gerador individual pode fornecer.

Portanto:
1- Quando a resistência externa tem valor alto em relação à resistência interna da associação, a associação em série e concordância é conveniente porque a intensidade de corrente é multiplicada pelo número de elementos associados.
2- Quando a resistência externa é pequena frente à interna da associação, essa não é conveniente porque a intensidade de corrente é a mesma que demandaria de um só elemento.
3- Quando a resistência externa é igual à resistência interna da associação, situação mais conveniente, o circuito trabalha em condições de potência máxima.

E, antes que alguém pergunte por que por vezes insisto em escrever 'associação em série e concordância', lembro que alguém poderia colocar uma ou mais pilhas 'invertidas' numa associação em série. A intensidade de corrente continuaria a ser comum a todas e a d.d.p. da associação continuaria a ser a soma algébrica das d.d.p.(s) parciais, etc. Por isso diferencio associação em série e concordância da associação em série e oposição.
Duas pilhas idênticas ligadas em série e oposição não admitem um gerador equivalente e sim, por equivalente, um mero resistor.

Para mostrar que não sou tão 'ranheta' e 'radical' na conceituação física (como dizem alguns amigos), vou deixar passar que a primeira pilha da história, a famosa Pilha de Volta, é uma pilha ... mas, não é, é uma bateria, exatamente uma associação série e concordância de células voltaicas!

Associação em paralelo
.... Parte 2 desse trabalho.