Associações de geradores lineares
(Parte 3)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Comentando associações série e paralelo
Vistas as propriedades das associações em série e em paralelo, a conclusão a que chegamos será: quando a resistência externa (R) tiver valor muito grande em relação à interna da associação, convém a associação em série e concordância, quando for bem pequena, convém a associação em paralelo.
Um resumo, sem muitos detalhes sobre tais associações, pode ser:

"quando precisar de 'mais tensão' use a série; quando precisar de 'mais corrente' use o paralelo".

Na prática, a quase totalidade de equipamentos elétricos e eletrônicos, ditos 'portáteis', utilizam como fonte de alimentação diversas pilhas associadas em série. As próprias 'quadradinhas', as baterias de 9 V, são meras associações de 6 pilhas de 1,5 V ligadas em série. Aliás, na emergência de se necessitar de pilhas 'palito', um recurso é abrir tal 'quadradinha' e retirar seus componentes internos.

Falando francamente, nunca vi no mercado nenhum brinquedo ou equipamento elétrico portátil que utilizasse de pilhas associadas em paralelo! O uso prático de tais associações, no quotidiano, se prende ao uso didático (pilhas grandes ligadas em paralelo para alimentar, momentaneamente, algum experimento que demande elevada intensidade de corrente), e ao da 'chupeta' (colocar uma bateria boa, em paralelo com a bateria fraca, momentaneamente, para dar a partida no automóvel).
Tal associação (paralelo) de pilhas é realmente inconveniente pelo fato de que tais pilhas nunca são, na realidade, perfeitamente "iguais", assim, mesmo com o circuito externo desligado, haverá percurso de corrente entre elas, as de maior f.e.m. funcionando como geradores e as de menor f.e.m. trabalhando como receptores. O consumo total delas é inevitável!

Exemplo 3 - Para mostrar o "efeito" acima, propomos resolver uma questão, onde os geradores G1 = (10V, 2W) e G2 = (8V, 4W), associados em paralelo, alimentam o resistor ôhmico de resistência R = 10 W. Analisar o circuito com a chave (CH) fechada e aberta.

Pela eq._15, da Parte 2, calculamos: e_eq.=(10x4+8x2)/(2+4)=~ 9,3 V e  r_eq.=2x4/(2+4)=~1,3 W .
Com a chave fechada, a corrente total no circuito terá intensidade dada por i = e_eq./(r_eq.+R) = 9,3/(1,3+10)= 0,82A.
Pela eq._14, da Parte 2, calculamos a d.d.p. entre a e b: U_ab= 9,3 - 1,3x0,82 = 8,2 V. Essa d.d.p. também poderia ter sido calculada mediante a lei de Ohm: U_ab=R.i = 10x0,82 = 8,2 V.
As correntes internas, i₁ e i₂ podem ser calculadas assim: i₁=(e₁-U_ab)/r₁ =~(10-8,2)/2 = 0,9 A !!!!!!
e i₂ =(e₂-U_ab)/r₂ = (8 - 8,2)/4 =~ -0,05 A !!!!. Entendeu o "efeito"?

O gerador G1=(10V,2W) está realmente trabalhando como gerador, alimentando tanto o G2 (que está trabalhando como receptor) como o R externo. Cerca de 0,82 A para R e cerca de 0,06 A para G2 (os cálculos acima foram aproximados). A corrente indicada por i₂ na ilustração acima tem, realmente, sentido inverso daquele representado. A associação não é vantajosa!

Se apenas G1 alimentasse R, a corrente teria intensidade  i = 10/(2+10) = 0,83 A; se apenas G2 alimentasse R, a corrente teria intensidade i = 8/(4+10) = 0,57 A. Os dois juntos, em paralelo, não alimentarão R com i = 0,83 + 0,57 = 1,4 A !

Com a chave aberta, a corrente entre G1 e G2 é única e calculada por i = (e₁-e₂)/(r₁+r₂) = (10-8)/(2+4) = 0,33 A.

Exemplo 4 - Temos 10 elementos de pilha, cada um com f.e.m. 2 V e resistência interna de 0,3 ohms. A corrente deste grupo irá alimentar um resistor de resistência 0,005 ohms. Determinar a intensidade de corrente através desse resistor nas hipóteses de elementos associados em série e em paralelo. Que associação é mais conveniente?

Solução
Dados: n = 10 elementos, e = 2 V, r = 0,3 W e R = 0,005 W.

Série: i = n.e/(n.r+R) = 10x2/(10x0,3+0,005) =~6,65 A
Paralelo: i = e/[(r/n)+R] = 2/[(0,3/10)+0,005] =~57,1 A

Análise: Um só elemento alimentaria o resistor com corrente de intensidade i = e/(r+R) = 2/(0,3+0,005) = 6,6 A. Assim, a associação em série é desvantajosa (10 elementos estariam fazendo a mesma coisa que faz um só!) e a em paralelo é vantajosa (a intensidade de corrente aumenta cerca de 8,5 vezes).

Associação mista
Quando precisamos não só de uma corrente mais intensa, mas também uma diferença de potencial mais elevada que a fornecida por um só gerador, temos que recorrer ao agrupamento misto ou agrupamento série-paralelo. A associação mista é formada, indiferentemente, por grupos de elementos em paralelo (m) que se agrupam entre si em série (n) ou grupos de elementos em série (n) que se agrupam entre si em paralelo (m).
Abaixo esquematizamos duas dessas associações, a primeira contém n = 5 grupos em série, cada grupo com m = 3 elementos em paralelo e a segunda contém m = 3 grupos em paralelo, cada grupo com n = 5 elementos em série; o total de elementos associados, em ambos os casos, é k = m.n = 15. A primeira associação permite que os vários grupos da série sejam diferentes entre si (precisando de igualdade só nos geradores de cada grupo em paralelo); a segunda, pelo contrário, salvo casos muito especiais, requer que todos os geradores sejam iguais.

Aqui só trataremos desses tipos de associações para geradores iguais, cada um identificado por (e,r).
A f.e.m. do conjunto será, evidentemente, a do grupo em série, ou seja e_eq. = n.e . A resistência de cada série vem dada por r_s= n.r e, portanto, a das m séries, em paralelo valerá r_eq.= n.r/m . A resistência total no circuito será n.r/m + R . Portanto, a intensidade de corrente total i se calculará (lei de Ohm-Pouillet) com:

... eq._16

Em qualquer das duas associações acima ilustradas, se i é a intensidade de corrente no circuito externo (representado por R), a intensidade de corrente em cada gerador é i' = i/m. A d.d.p. disponível para o circuito externo se equaciona: U_ab = n(e - r.i') = n.e - n.r.i/m = n.e - (nr/m).i ou, simplesmente, U_ab = R.i.

Caso mais vantajoso
A partir da eq._16 acima, é possível obter a condição para que ocorra a máxima transferência de potência elétrica para o resistor externo; basta encontrar a situação na qual a associação mista fornece a máxima intensidade de corrente para R. Para tanto, vamos dividir numerador e denominador da eq._16 por n, que resulta: i = e/(R/n + r/m). Agora, atenção, a i será máxima quando o for a fração do segundo membro e, como nesta o numerador é constante (é o e), seu valor será máximo quando o denominador for mínimo. Assim, tudo se reduz a determinar a condição para que a soma R/n + r/m tenha um valor máximo. Porém, essa expressão nada mais é que a soma de duas variáveis (R/n e r/m) cujo produto Rr/nm é constante, pois o numerador o é porque o são R e r (foram assumidos como ôhmicos) e o denominador também, pois nm = k é o número total de elementos, que é fixo pela hipótese da montagem.
Quando isso se cumpre, sabemos (pela matemática) que a soma é um mínimo quando as parcelas são iguais e, então, a condição de mínimo se reduz a  R/n = r/m, ou seja, R = nr/m e, como o segundo membro desta expressão é a resistência interna da associação, se chega à lei:

A intensidade de corrente entregue por uma associação mista é máxima quando a resistência externa é igual à resistência interna.

Bem, isso não é grande novidade, pois a 'lei' acima continuará válida trocando-se a palavra mista por série ou por paralelo. É conhecida por 'lei do casamento perfeito' ou 'condição de potência máxima'.

Circuito gerador - receptor ou dois geradores lineares em oposição
Dois geradores lineares estão interligados em oposição, quando reunidos pelos pólos de mesmo nome. Um receptor estará sempre ligado em oposição com o gerador que o alimenta. Na eletrodinâmica, o exemplo mais comum para receptor é o motor elétrico CC; e, o mais simples exemplo de motor elétrico C.C. é aquele dos carrinhos de brinquedo movidos à pilha ou associações série delas.
Abaixo esquematizamos o circuito do gerador (e₁,r₁) com o gerador (ou receptor) (e₂,r₂), sendo, portanto, e₁ > e₂. Na prática, o gerador pode ser representado por duas pilhas iguais em série e o receptor pelo motor do carrinho de brinquedo.

Equacionando a d.d.p. entre a e b:

...eq._17

A f.c.e.m. (força contra-eletromotriz) gerada pelo motor (que só aparece quando o motor está com o eixo girando!), e que se opõe à d.d.p. nele aplicada, determinando o abaixamento da intensidade de corrente no circuito, pode ser evidenciada pela experiência seguinte:

Uma bateria B (gerador) alimenta um circuito compreendendo uma lâmpada L e um pequeno motor M entre cujos bornes (terminais) está conectada a lâmpada L', como se ilustra:

Com a mão imobilizamos o eixo do motor (por isso sugerimos 'um pequeno motor'). Não havendo produção da f.c.e.m., o brilho da L é intenso, enquanto que L' diminui de brilho (ou se apaga). Deixando-se livre o eixo do motor, este gira, absorvendo parte da energia elétrica do gerador e, por sua vez, gera a f.c.e.m., diminuindo a intensidade de corrente no circuito geral; L diminui de brilho, enquanto L' brilha devido ao aumento de tensão entre os terminais do motor. Um amperômetro (A) poderá ser acrescido à série para mostrar, numericamente, as variações de intensidade de corrente no circuito.

Para tal experimento didático, pode-se utilizar do circuito prático ilustrado acima (pilhas e motor), acrescentando-se duas lâmpadas de 1,5 V; uma (L) intercalada no fio vermelho que vai da pilha ao motor e outra (L') ligada em paralelo com o motor. O amperômetro é dispensável.

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