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Leis de Ohm e de Pouillet
(Demonstrações elementares)

Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
leo@feiradeciencias.com.br

Objeto das leis de Ohm e de Pouillet
Pode-se considerar que estas têm por objeto resolver três questões, a saber:

Que relação existe entre a queda de potencial entre dois pontos de um circuito, a intensidade da corrente e a resistência intercalada entre esses dois pontos?

Que relação existe entre a força eletromotriz de um gerador, a intensidade da corrente e a resistência total do circuito?

Que relação existe entre a resistência de um fio metálico homogêneo, o seu comprimento, secção e natureza, isto é, quais são os fatores envolvidos na resistência do fio?

Estas questões foram resolvidas, separadamente, por Ohm e Pouillet, antes da descoberta da lei de Joule, por meio da qual pode-se re-encontrar as leis de resistência.

Lei de Ohm
... demonstrações pela Lei de Joule e pelo modelo atômico da matéria

Consideremos um condutor AB, de resistência R, percorrido, no sentido da seta, por uma corrente de intensidade i.

Suporemos que a porção de condutor AB é homogênea, o que exclui a possibilidade de um desprendimento de calor por efeito Peltier; que é imóvel num campo magnético invariável e por conseguinte não pode dar lugar à produção de um trabalho mecânico ou de uma força eletromotriz de indução; e, finalmente, que a passagem da corrente não produz nela a menor variação de energia química. Nestas condições, toda a potência elétrica fornecida ao condutor, pelo gerador, é transformada em energia térmica conforme a lei de Joule.

Ora, se  U = VA - VB é a diferença de potencial entre as duas extremidades, a potência fornecida pelo gerador é U.i; a potência que aparece sob a forma de calor é R.i2; por conseguinte pode-se escrever: U.i = R.i2 donde resulta  U = R.i.

É a lei de Ohm, via lei de Joule, cujo enunciado, nesse procedimento, é o seguinte:

A queda de potencial U entre dois pontos é igual ao produto R.i, da resistência interposta pela intensidade de corrente, desde que a energia só apareça sob a forma de energia térmica.

Todavia, a lei original foi obtida por Ohm em 1827, quatorze anos antes da descoberta da lei de Joule, quando então procurava resolver teoricamente, pela análise matemática, o problema da condução da energia elétrica nos condutores.

Devemos, pois, reencontra-la, sem 'apelar' para a lei de Joule. Vamos mostrar como a teoria atômica, sob sua forma elementar, pode oferece uma excelente interpretação.

O modelo atômico nos permite assumir que num metal existem elétrons livres (que formam uma nuvem eletrônica) que podem se deslocar através de uma trama formada por átomos neutros e íons positivos fixos. Longe de um campo elétrico, o movimento dos elétrons livres é desordenado como o das moléculas de um gás: naquela temperatura, todos os elétrons livres se acham animados da mesma velocidade média u, em todas as orientações possíveis.

Mas, se estabelecermos uma diferença de potencial entre dois pontos de um fio metálico, origina-se um campo elétrico nos diversos pontos do interior desse condutor, e os elétrons tenderão, em média, a se deslocar em sentido inverso ao do campo: por conseguinte produz-se um transporte 'ordenado' de cargas que constitui a corrente elétrica.

Consideremos, como se ilustra abaixo, um condutor cilíndrico homogêneo, de seção de área a, e seja U = V1 - V2 a diferença de potencial existente entre as duas seções retas AB e CD cuja distância é L.

Iniciemos calculando a intensidade i da corrente.

Seja PQ = s o percurso médio que segue um elétron, entre dois choques consecutivos, contra os átomos ou os íons positivos do metal; se u é a velocidade média de agitação térmica dos elétrons livres, o tempo empregado por um elétron para efetuar seu livre percurso médio s é q = s/u ; admitiremos que esse breve intervalo de tempo possui o mesmo valor para todos os elétrons livres.


O elétron P que, no intervalo de tempo q entre dois choques descreveria a trajetória PQ, na realidade passa a Q’; o campo lhe comunicou o deslocamento QQ’, paralelamente à sua direção, no ponto considerado.

Entre dois choques, durante o tempo q, o elétron de carga e e de massa m, é solicitado pela força F = e.E, paralela, mas em sentido oposto ao campo elétrico uniforme E, a qual lhe comunica uma aceleração constante g = F/m = (e/m).E.
[Lembramos aqui que: E = U/L = (V1- V2)/L]

Durante o tempo q e sob a ação da força F, o elétron também se desloca, pois, paralelamente ao eixo do condutor, mas em sentido inverso ao campo, de uma quantidade QQ'= z = (1/2).g.q2 .

O campo elétrico lhe imprime, assim, paralelamente ao eixo, em sentido inverso ao campo, uma velocidade média v = z/q = (1/2).g.q = (1/2)(e/m).q.E .

O campo comunica aos elétrons, portanto, um movimento de conjunto de velocidade média v segundo o eixo, que se superpõe à sua agitação desordenada.

Assim, se o metal contém n elétrons livres por unidade de volume, animados da mesma velocidade média v segundo o eixo, o número de elétrons que atravessam uma secção reta do condutor na unidade de tempo é N = n.a.v . No sistema CGS essa expressão ficaria assim:

Disso resulta que a intensidade da corrente é

que é a lei de Ohm escrita assim:

i = (constante).(V1 - V2) ou i = (constante).U.


A (constante) que ai aparece é a 'condutância' do condutor (1/R), ficando  i = U/R  ou  U = R.i .

Ademais, como R = (2m/ne2q).L/a é o inverso da condutância, então, fazendo 2m/(ne2q) = r , tem-se

que é a lei de Ohm-Pouillet.

Observe que sendo 2m/e2 uma constante típica do elétron, r dependerá de n e q , sendo n característico da substância e q um fator dependente da temperatura da substância a qual, por sua vez, afeta a velocidade média quadrática do elétron.

Verificação experimental
Pode-se verificar experimentalmente a lei de Ohm. A medida da intensidade de corrente i se faz por meio de um amperômetro, a medida da diferença de potencial V1- V2 entre as duas extremidades do condutor se efetua por um método eletrostático, mediante um eletrômetro especial.
[Nota: Recomendo leituras nos seguintes trabalhos, sobre eletroscópios e eletrômetros]

Sejam i, i', i", ... as intensidades das correntes lançadas sucessivamente no condutor metálico AB; V1- V2 , V'1- V'2 , V"1- V"2 , ... as diferenças de potencial correspondentes; verifica-se que:

donde uma 'nova' definição da resistência:

A resistência de um condutor é a relação constante (independente de U e de i) entre a diferença de potencial nas duas extremidades desse condutor e a intensidade de corrente que o atravessa.

... segue ... Conseqüências da lei de Ohm


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