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Eletromagnetismo
(Força Magnética)

Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
luizferraz.netto@gmail.com

Introdução
Após a Eletrostática, o estudo dos fenômenos elétricos se completa com o Eletromagnetismo. Complementações que tratam de aplicações detalhadas dessa teoria são feitas através da Eletrônica e da Teoria dos Circuitos.
No Eletromagnetismo encontraremos pela primeira vez dois "novos" tipos de fenômenos elétricos:
(a) uma força intensa entre correntes (cargas em movimento) e
(b) campos elétricos produzidos por correntes variáveis.
O novo tipo de força chama-se força magnética e o fenômeno de um campo elétrico induzido chama-se indução eletromagnética.
Esse tema tem dois pontos culminantes, um é mostrar que a força magnética não é nada diferente de uma força elétrica da lei de Coulomb e outro será a demonstração mostrando que uma corrente variável deve irradiar uma onda eletromagnética propagando-se a uma velocidade v = c. Esta explicação da luz em termos da teoria da eletricidade foi a última conquista do que se chama física clássica.

Corrente Elétrica
Antes de podermos discutir um novo tipo de força entre correntes, precisamos definir corrente. Será posto como fluxo de cargas elétricas através da seção de um condutor. A intensidade de corrente elétrica I é definida, então, a partir da seguinte equação:

I = Q/Dt   ... eq.01

onde Q é a quantidade de carga total que passou através de uma certa área num intervalo de tempo Dt. A unidade oficial 'ampère' (símbolo A) é definida como um 'coulomb' (símbolo C) por 'segundo' (símbolo s).
Formalmente: 1A = 1C/1s.
No sistema CGS (ainda em uso na prática) a unidade de corrente é o statampère, definida como um statcoulomb por segundo, de modo que:

1 A = 3x109 statC/s = 3x109 statA

Num fio metálico, as cargas positivas (núcleos atômicos) não se deslocam; estão 'fixas' (a menos da agitação térmica) numa estrutura cristalina. Entretanto os elétrons exteriores ou elétrons de condução estão completamente livres para se deslocarem ao longo do fio. Isto é contrário a todas as idéias da física clássica e somente pode ser explicado usando da mecânica quântica (veremos isso bem mais adiante). Para que tenham um 'visual' disso na mecânica planetária, é como se o Sol e seus planetas ficassem fixos, porém, todos os satélites pudessem se deslocar livremente nesse espaço planetário.

 Se N elétrons por segundo fluem através de uma seção transversal do fio, o valor da corrente é então N.e, onde e é a carga do elétron.

I = Q/Dt = Ne   ... eq.02

Mas qual é o sentido da corrente? De acordo com a convenção estabelecida por Benjamin Franklin, uma corrente fluindo para a placa de um capacitor forneceria carga positiva à placa. Sabemos agora, entretanto, que a placa de um capacitor torna-se positiva porque os elétrons de condução fluem para fora da placa. Portanto os elétrons de condução sempre fluem no sentido oposta à da corrente. Se tivessem estabelecido convencionar a carga dos elétrons como positiva em vez de negativa, esta dificuldade jamais teria surgido. Todavia, nem só de elétrons é constituída uma corrente elétrica, dela também pode participar íons. Tudo dependerá do tipo de condutor. Assim, o sentido 'convencional da corrente elétrica' será sempre o das cargas positivas, se houver, ou o oposto aos das cargas negativas. Veja detalhes disso AQUI (clique).

Note-se que também podemos produzir corrente elétrica movendo um fio eletrizado com r coulombs de carga por metro (densidade linear de carga = r = Q/L; medida em C/m), a uma velocidade VL , ao longo de sua extensão ou simplesmente girando um disco em cuja periferia se fixa um fio eletrizado com carga Q.

Então a quantidade de carga que passa por um dado ponto em 1 segundo é  r  vezes o comprimento L do fio que se desloca em 1 s. Neste caso, a intensidade de corrente será:

I = r.VL    ... eq.03

 para uma linha de carga que se move com velocidade VL e com densidade de carga de  r  C/m.
Realmente, I =
r.VL = (Q/L)/(L/Dt) = Q/Dt .

Dois exemplos

Exemplo 1
No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, qual é o valor da intensidade corrente definida pelo elétron que circunda o próton?
Assuma os seguintes valores: velocidade orbital do elétron = Ve = 2,18x106 m/s; raio da órbita = Re = 5,3x10-11m.

A intensidade de corrente será o número de vezes por segundo que o elétron passa por um dado ponto de sua órbita (freqüência) multiplicado por e (carga do elétron). Ou, I = fe.e, onde fe = Ve/2pRe que é a freqüência orbital. Então:

I = Ve.e/(2pRe)

Após a substituição numérica obtemos             I = 1,05x10-3 A

Exemplo 2
Uma corrente de intensidade I =  1 A flui através de um fio de cobre de área A = 1 mm2 de seção transversal. Qual é a velocidade média (Ve) de deslocamento dos elétrons de condução? Esse exercício já está resolvido em http://www.feiradeciencias.com.br/sala12/12_T06.asp ; aqui o apresentamos em nova abordagem.
Assuma os seguintes dados:

número de Avogadro = No = 6,02x1023 átomos/mol;
densidade do cobre = dcu = 8,9x103 kg/m3;
massa atômica do cobre = Mcu = 63,6x10-3 kg/mol,
e que se tenha um elétron de condução por átomo de cobre.

Precisamos primeiro calcular N, ou seja, o número de elétrons de condução por metro de fio. Conseguido isso, então  r = N.e ( em C/m) será a carga total por metro e através da equação I = r.Ve (em A), poderemos obter a velocidade Ve (em m/s).
Admitido um elétron de condução por átomo, o  número de elétrons de condução por m3 , (X),  é o número de moles por m3 vezes o número de Avogadro, ou:

X = (dcu/Mcu).No = (8,9x103/63,6x10-3).6,02x1023 = 8,5x1028 átomos/m3

Um fio de comprimento 1m e seção transversal de 1mm2  terá volume de 1mx1mm2 = 1mx(10-3m)2 = 10-6m3 e, portanto, conterá 8,5 x 1022 elétrons de condução/metro.

Então, sua densidade linear de carga será r = N.e = 8,5x1022 elétrons/m x 1,6x10-19 C = 13,6 x 103 C/m.

De acordo com a eq.03, tem-se:

VL = I/r = (1 C/s)/(13,6x103 C/m) = 0,074 x 10-3 m/s = 0,0074 cm/s

Portadores de carga
Correntes podem circular também em líquidos, gases e vapores. Luzes fluorescentes e de néon são exemplos de correntes em gases. Neles a corrente é provocada pelo movimento dos íons positivos bem como pelo deslocamento de elétrons. Entretanto, os elétrons são muito mais rápidos e dão a principal contribuição à corrente. Quando um elétron colide com um íon de gás ou um átomo, a energia cinética da colisão pode ser absorvida pelo átomo e a seguir irradiada na forma de radiação eletromagnética que pode ser percebida pela vista como luz.

A maioria dos líquidos contém íons livres e portanto podem conduzir cargas elétricas. Se duas placas metálicas ou elétrodos forem ligados a uma fonte de tensão e inseridos em um desses líquidos a corrente será provocada por íons positivos e negativos, que se movem em sentidos opostos para atingirem seus respectivos elétrodos. Quando os íons alcançam os elétrodos, estes se neutralizam. Por exemplo, se se dissolvermos sal de cozinha (NaCl) em água, íons de Na+ fluirão para o elétrodo negativo e íons de Cl- para o positivo. Quando os íons Cl- são neutralizados, combinam-se quimicamente formando Cl2 (gás cloro) que borbulha para o ar. Este processo de decomposição química é chamado eletrólise e tem grande aplicação comercial. Na condução em líquidos (condução iônica), elétrons não participam como portadores de carga.

Elemento de corrente
Um elemento de corrente define-se como o produto da corrente (I) num fio, pela pequena extensão (Dl) contida nesse fio;

Elemento de corrente = I.Dl = (r.V).Dl = (r.Dl).V

Mas (r.Dl) é a quantidade de carga que se desloca em Dl. Se chamarmos isto de Q, temos

I.Dl =QV   ... eq.04

Vemos assim, que uma carga puntiforme Q em movimento é matematicamente equivalente ao elemento de corrente. Aqui fica claro porque as forças sobre as cargas em movimento e as forças sobre as correntes têm que ser realmente a mesma coisa.

A Força Magnética --- uma correção relativística da lei de Coulomb
Até essa altura, no campo de estudos em eletricidade, somente uma nova lei fundamental da natureza foi introduzida (lei de Coulomb), e nela se especifica que todas as cargas precisam estar em repouso. Isto foi feito por uma boa razão.
Acontece que, quando deixamos as
cargas se moverem, algo novo aparece: surge uma nova força que precisa ser somada à força de Coulomb, e que é chamada força magnética. De fato, em alguns casos onde a lei de Coulomb prevê força nula, podem existir forças magnéticas intensas.
Um destes exemplos vê-se ilustrado abaixo, à esquerda. Uma carga Q em movimento, na presença de uma corrente I, irá sentir a ação de uma força intensa proporcional à intensidade de corrente no fio e também proporcional à velocidade V da carga Q. Isto é verdade mesmo se a carga elétrica resultante do fio (soma algébrica de todas as cargas positivas e negativas) for zero; isto é, o campo elétrico que atua em Q é zero! Ainda assim haverá uma força observável Fm
a (QVI)/r .

 É esta força que provoca a deflexão de elétrons em movimento no interior de um tubo de televisão. Variando-se I nos fios (bobinas) que se encontram ao redor do tubo, tal força sobre o feixe de elétrons varia e movimenta o ponto luminoso produzido pelos elétrons ao incidirem na tela (ilustração acima, à direita -- vista lateral de um tubo de televisão onde se vêm bobinas para deflexão horizontal).
Outro exemplo desta nova força magnética é a força de atração que se observa entre correntes paralelas, como se mostra na ilustração a seguir:

O princípio do motor elétrico é a força magnética entre dois fios paralelos e descarregados, quando através deles se faz passar uma corrente. Tudo que é necessário para observar este fenômeno básico é uma bateria, uma chave interruptora e um fio como se vê na ilustração acima. Quando se fecha a chave os dois fios repelem-se apreciavelmente.
Nota: Não deixe a chave fechada por um tempo muito longo porque este tipo de circuito é comumente conhecido como curto-circuito. Num curto-circuito as correntes são muito intensas, os fios aquecem-se e a bateria descarrega-se rapidamente.

Explicando a força magnética por meio da lei de Coulomb e da relatividade
Em princípio, esta nova força entre fios não carregados (não eletrizados) não deveria ter nada a ver com a força de Coulomb, que somente se aplica a objetos dotados de uma carga elétrica resultante não nula. Por isso, foi dado um nome diferente - força magnética - para distingui-la da força eletrostática.
Mas estas duas forças são tipos de força verdadeiramente independentes?
Além da interação gravitacional e da força nuclear, precisamos considerar dois tipos básicos de interações elétricas, a eletrostática e a magnética?
Felizmente a resposta é não.

A natureza geralmente é mais simples do que se poderia esperar. Einstein em sua teoria da relatividade, propôs em 1905 que estas duas forças são na realidade apenas uma. Muitas experiências mostram que Einstein estava correto, e por isso agora chamamos estas forças de forças eletromagnéticas. Einstein propôs que a força magnética é uma mera correção relativística, à lei de Coulomb.
No que se segue demonstraremos como a fórmula para forças magnéticas entre correntes pode ser deduzida da lei de Coulomb e de um efeito famoso em teoria da relatividade - a contração de Lorentz. A contração de Lorentz descreve uma contração no comprimento de um objeto que se movimenta. Ela é discutida com detalhes nos textos de Relatividade Restrita, como se tem exemplo em www.feiradeciencias.com.br/sala....  .

De acordo com a lei de Coulomb, a força eletrostática resultante sobre Q (veja a primeira ilustração desse texto) deve ser zero, não importa se os elétrons de condução do fio estão se movendo --- em cada instante a carga total resultante ao longo do comprimento L do fio é nula. Entretanto, fazendo uso da teoria da relatividade, o espaçamento médio entre os elétrons de condução, quando estes começam a se movimentar, decrescerá pelo fator de contração de Lorentz  (1 - v2/c2)1/2 , onde v é a velocidade de deslocamento dos elétrons de condução. Então, de acordo com a teoria da relatividade, a densidade de carga  r-  dos elétrons de condução aumentará do fator 1/(1 - v2/c2)1/2 ; enquanto que a densidade de carga das cargas positivas fixas permanecerá inalterada (r+ = ro). Portanto a carga resultante não será mais zero. Esta situação no sistema do laboratório fica algo como ilustramos abaixo;
* à esquerda: Uma carga Q em movimento à velocidade V e um fio percorrido por uma corrente no sistema do laboratório. A velocidade de deslocamento dos elétrons de condução é v. As cargas positivas estão fixas.
* à direita: Mesma situação anterior, mas vista por um observador movendo-se junto com Q. Agora Q está em repouso, as cargas positivas têm agora velocidade (-V) e os elétrons de condução têm velocidade (-V) + v.

Sabemos que é seguro usar a lei de Coulomb para calcular a força resultante sobre Q, se Q estiver em repouso. Então a força eletrostática seria Felet. = QE, onde E é o campo elétrico resultante produzido pelo fio, agora com densidades de cargas positivas e negativas diferentes [Outro modo de dizer isso: o centro elétrico de todas as cargas positivas no elemento de corrente não coincide com o centro elétrica das cargas negativas]. Embora Q não esteja em repouso no sistema de laboratório, podemos colocá-la em repouso movendo-nos junto com ela; (um observador movendo-se para o topo da tela à velocidade V verá a situação mostrada na ilustração acima, à direita). Nesta situação, onde as cargas positivas movem-se com velocidade (-V) e os elétrons com velocidade (-V) + v , a contração de Lorentz afeta ambos e permite-nos recalcular:

r+ = ro (1 - V2/c2)-(1/2)     e   r- = -ro (1 - (v+V)2/c2)-(1/2)

A carga resultante no fio é agora  r+ + r-  e o campo resultante em Q é dado por:

E = 2r/r = 2(r+ + r-)/r = (2ro/r)[ (1 - V2/c2)-(1/2) - (1 - (v+V)2/c2)-(1/2) ]   ...eq.05

Já sabemos, do Exemplo 2 acima, que a velocidade de deslocamento dos elementos de condução num metal é tipicamente da ordem de 1 mm/seg ou menos. Portanto v/c é muito menor que um, e podemos seguramente usar a teoria binomial que nos diz que

 (1 + a)-(1/2) ~ [1 + (1/2)a]    e, então,    (1 - V2/c2)-(1/2) ~ 1 + (1/2).V2/c2

e a eq.05 torna-se:

E ~ (2ro/r)[ (1 + V2/2c2) - (1 + (v+V)2/2c2) ] = (2ro/r)[(V2 - (v+V)2)/2c2] = -(rov/rc2)(2V+v)

Estamos interessados em exemplos onde V é maior que 1 cm/seg, ou quando V>>v  de forma que podemos desprezar o termo v comparado a 2V na equação acima. Então

E ~ - 2rovV/c2e de F = QE  vem  F ~ Q(- 2rovV/c2r) ~ (-Q.V/c)(2I/cr)

onde I = rov é a corrente no fio. O sinal menos indica uma força atrativa. Realmente, na teoria da relatividade a força vista por um observador em movimento não é a mesma que a vista por um observador parado. Resulta-se que, se o cálculo acima for feito sem nenhuma aproximação usando a teoria da relatividade, a resposta correta no sistema de laboratório (a situação de nossa primeira ilustração) será uma força atrativa de intensidade

Fmag. = (QV/c).(2I/cr)  ...eq.06

Esta é a fórmula para a força magnética entre uma carga Q em movimento (V) e um fio retilíneo percorrido por uma corrente elétrica de intensidade I.

Mas por que as forças magnéticas são tão intensas se são meramente pequenas correções relativísticas da lei de Coulomb?
De fato, vimos na dedução acima que o efeito relativístico é da ordem de  vV/c2  vezes a
força eletrostática exercida somente pelos elétrons de condução, e sabemos que sua velocidade de deslocamento v é tão pequena que v/c ~ 10-12. A resposta a esta charada repousa na quantidade enorme de carga que se move no fio. Vimos no Exemplo 2 que existem, num fio comum, aproximadamente 1022 elétrons de condução/metro; tipicamente 1020 vezes mais carga do que se pode aplicar ao fio para produzir forças eletrostáticas.

... em construção (lembrete: racionalizar a expressão final da Força de Lorentz).

 


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