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Onda Senoidal
(Parte 1)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
As formas geométricas das ondas, em particular a retangular e a triangular, já nossas conhecidas de textos anteriores, foram postas com o objetivo de ilustrar determinados princípios. Porém, simples como possam parecer tais ondas, o emprego de qualquer uma delas como norma, complicaria a matemática e a prática das correntes alternadas. Todavia, essas ondas não são encontradas comumente no dia-a-dia; nenhuma delas está de acordo com nossa idéia corriqueira de onda, já que a temos em vista como uma curva contínua.
Porém, algumas curvas, ainda que contínuas como as queremos, podem apresentar diferentes formas, pelo que foi necessário escolher uma onda que obedeça a uma lei matemática. A norma que se usa baseia-se em uma das funções trigonométricas fundamentais, a saber, o seno de um ângulo. A curva senoidal é o gráfico do seno de um ângulo (em geral expresso em radianos) traçada em função do ângulo; qualquer onda dessa forma é denominada de senoidal, senóide ou ainda sinusóide. A função em questão é então do tipo:

y = sen x
ou na sua forma, mais geral,
y = a.sen(x + b)

onde y é a função senoidal, x o ângulo em radianos, sendo a e b constantes em relação a x.

A curva senoidal tem numerosas aplicações. São exemplos os muitos sistemas mecânicos oscilatórios --- o sistema massa-mola, o diapasão, o pêndulo simples --- onde o movimento é 'harmônico simples', ou seja, onde o gráfico do deslocamento, quando traçado tomando-se o tempo como variável independente, dá como resultado uma senóide.

Nesse presente texto investigaremos a aplicação da curva do seno para as grandezas alternantes. Destacaremos suas vantagens particulares para esse propósito, ainda que algumas serão melhor apreciadas ao longo do amadurecimento do aprendizado.

A curva senoidal
Qualquer livro de tabelas matemáticas inclui os valores dos senos naturais para ângulos até 90o. Uma calculadora científica, mesmo as mais simples, dá diretamente o valor do seno de um ângulo até com 9 casas decimais; esses valores podem ser empregados para traçar a curva. Na ausência de tabelas e calculadoras ainda poderemos traçar uma curva aproximada se memorizarmos os seguintes valores: sen 0o = 0; sen 30o = 0,50; sen 60o = 0,86 e sen 90o = 1.

Todavia, será bem mais instrutivo nesta etapa inicial desenvolver a curva senoidal mais simples, dada pela função y = sen q, através da técnica indicada na ilustração abaixo, onde se usa da idéia de 'raio girante':

O raio r da circunferência ABCD inicia seu movimento de rotação em torno de O, a partir da posição OA, girando em sentido anti-horário. Na posição ilustrada acima, o raio está deslocado do ângulo q e o sen q fica definido pela relação (razão) entre a perpendicular p e o raio r. Todavia, se r é tomado como a unidade de medida linear, resultará que p será numericamente igual a sen q e poderá ser projetado para obter um ponto da curva, como se ilustra acima, à direita da circunferência. Outros pontos poderão ser obtidos de modo semelhante, girando r sempre no sentido anti-horário.
O ângulo
q não precisa, necessariamente, ser medido em "graus"; como boa alternativa, a linha base (eixo das abscissas, no gráfico) pode exibir medidas circulares, como é o caso do "radiano", como se indica na ilustração. Sabemos que 2p radianos corresponde a 360o, logo 1 rad = 360o/2p = ~57,3o. Vale lembrar: 0o = 0 rad; 30o = p/6 rad; 60o = p/3 rad; 90o = p/2 rad; 180o = p rad; 270o = 3p/2 rad; etc.

O uso do radiano para a medida de ângulo, além de ser a unidade oficial do Sistema Internacional, tem a vantagem de simplificar muitas fórmulas de C.A.

Gerando um f.e.m. senoidal
Em princípio é bastante simples produzir uma f.e.m. que siga a lei dos senos; tudo que se necessita é fazer girar um quadro de fio, ou uma bobina, à velocidade constante, em um campo magnético uniforme, ainda que, como veremos depois, existem certas dificuldades para a aplicação desse princípio básico aos alternadores práticos.

Por simplicidade, representamos apenas um único condutor na ilustração abaixo (x), deslocando-se desde A até a posição definida pelo ângulo q e cortando obliquamente as linhas do campo de indução B, no vácuo ou ar.

A velocidade tangencial V, pode ser decomposta em dois componentes ortogonais u e v, um paralelo e outro perpendicular ao campo de indução B, de modo que, pela geometria da figura, podemos escrever para seus módulos: u = V.cos q  e  v = V.sen q. O componente v determina a rapidez com que o condutor corta as linhas de indução do campo e, portanto, é a velocidade que interessa no equacionamento da f.e.m. instantânea gerada no condutor móvel.
Sabemos, do eletromagnetismo, que a f.e.m. gerada num condutor de comprimento L que se desloca com velocidade v perpendicularmente às linhas de indução de um campo cuja densidade de fluxo é B é expressa por:

E = B.L.v

com B em tesla (T), L em metros (m) e v em metros por segundo (m/s), E resultará em volts (V).

Essa expressão pode ser usada para a f.e.m. instantânea (e) induzida no nosso condutor móvel (x), simplesmente substituindo-se v por Vsen q:

e = B.L.V.sen q

Nessa expressão, BLV representa a f.e.m. máxima (valor de pico), Emáx., de modo que:

e = Emáx.sen q

Esta é a expressão básica para uma f.e.m. senoidal, independente do modo como foi gerada; pode também ser empregada para representar outras grandezas senoidais, como a intensidade de corrente alternada por exemplo, substituindo-se os símbolos apropriadamente.

Freqüência angular (w)
Suponha que o condutor (x) ilustrado acima execute f revoluções por segundo. Assim, f é a freqüência e, posto que gira de 360o (ou
2p rad) em cada volta, sua velocidade angular (o total de ângulo que descreve em cada segundo) será 360.f. O valor de q em graus, vale então 360.f.t, onde t é o tempo em segundos transcorridos desde o início do movimento em A ou, simbolicamente: q = 360.f.t .

Se q for medido em radianos, na expressão acima basta substituir 360 por 2p e teremos: q = 2p.f.t , onde 2p.f é a velocidade angular do condutor em radianos por segundo. A quantidade 2p.f aparece freqüentemente nas fórmulas de C.A., baseadas em grandezas senoidais; foi atribuído o nome especial de freqüência angular à essa velocidade angular e indica-se com a letra w (letra grega minúscula 'omega').
A equação fundamental poderá ser escrita então:

e = Emáx.sen wt

Exemplo 1: Uma bobina quadrada de 100 mm de lado e com 250 espiras gira à razão de 60 revoluções por segundo, com seu eixo perpendicular a um campo magnético uniforme, cuja densidade de fluxo é de 40 militeslas. A bobina parte da posição de fluxo concatenado nulo (q = 0o)
Calcular:
(a) a f.e.m. máxima induzida (Emáx.);
(b) a f.e.m. instantânea quando a bobina descreveu ângulo
q = 1 radiano (e1);
(c) a f.e.m. média (Em);
(d) a freqüência angular (
w);
(e) instante no qual a bobina atinge pela primeira vez sua f.e.m. máxima induzida.

Solução:
Ajustes para unidades coerentes: densidade de fluxo B = 40 mT = 0,04 T; comprimento do lado da bobina c = 100 mm = 10 cm = 0,1 m; freqüência de rotação da bobina f = 60 r.p.s. = 60 Hz; raio de giro da bobina r = c/2 = 0,05 m; ângulo de giro
q = 1 radiano = 57,3o .

(a) A cada volta completa de uma espira da bobina, temos dois comprimentos c ativos, logo o comprimento efetivo do condutor da bobina será L = 2.c.250 = 2 . 0,1 . 250 = 50 m.
      Velocidade tangencial do condutor periférico V = 2.
p.f.r = 2 . 3,14 . 60 . 0,05 = 18,84 m/s.
       F.e.m. máxima induzida Emáx.= B.L.V = 0,04 . 50 . 18,84 = 37,68 volts
       Resposta (a): Emáx. = 37,68 volts

(b) sen(57,3o) = 0,8415 (obtido pela calculadora ou tabela trigonométrica)
      F.e.m. instantânea e1 = Emáx..sen
q = 37,68 . 0,8415 = 31,7 volts
      Resposta (b): e1 = 31,7 volts

(c) área da bobina quadrada A = c2 = 0,12 = 0,01 m2
     fluxo máximo concatenado com a 1 espira
fmáx.esp. = B.A = 0,04 . 0,01 = 0,0004 weber = 0,0004 Wb
     fluxo máximo concatenado com a bobina de n = 250 espiras
fmáx.bob. = n.fmáx.esp. = 250 . 0,0004 = 0,1 Wb por revolução.
     A variação de fluxo, desde zero até seu valor máximo e de máximo até o retorno a zero, ocorre 2 vezes para cada meia-revolução, donde a variação total
Df = 2 . 2 . 0,1 = 0,4 Wb a cada volta completa, ou seja, durante o intervalo de tempo Dt = 1 período = 1/f = 1/60 s.
     A f.e.m. média induzida, em cada período, será (lei de Faraday): Em =
Df/Dt = 0,4/(1/60) = 0,4 . 60 = 24 volts.
     Resposta (c): Em = 24 volts

(d) freqüência angular w = 2pf = 2 . 3,14.60 = 376,8 rad/s .
     Resposta (d):
w = 376,8 rad/s

(e) A primeira f.e.m. máxima induzida ocorrerá quando o fluxo também for máximo pela primeira vez, ou seja, após o primeiro quarto de volta (90o). Em outras palavras, ao completar o primeiro quarto de período, logo, t = T/4 = (1/f)/4 = 1/4f = 1/4.60 = 1/240 = 0,004 s.
      Outro modo de ver isso é escrever a equação geral da f.e.m. induzida: e = Emáx..sen(2
pf.t) e determinar para que valores de t a f.e.m. torna-se igual à Emáx.; logo Emáx. = Emáx..sen(2p.60.t) ou sen(120p.t) = 1. Assim, a equação é satisfeita para  120p.t = k.p/2 , com k inteiro. Simplificando, 120.t = k/2.  O menor dos k, positivo, é 1, logo: t = 1/240 = 0,004 s.
       Resposta (e): t = 0,004 s

Propriedades de uma onda senoidal
As relações entre os valores máximo, médio e rms, já são nossas conhecidas; agora devemos especificá-los para a onda senoidal. Podemos estimar valores aproximados pelo método da ordenada média, como visto anteriormente, porém, tendo-se em conta a importância da onda senoidal convém partirmos para a obtenção de relações mais exatas.
Isso pode ser feito facilmente por meio do cálculo ou pela interpretação de certas equações trigonométricas; aqui, no escopo desse texto, nos contentaremos com provas geométricas simples, todas elas baseadas na revolução de um condutor em um campo magnético uniforme. Ainda que estabelecidas para as f.e.m(s), essas relações se aplicam igualmente à intensidade de corrente e outras grandezas senoidais.
Importante: Referindo-nos ainda à ilustração acima, vale salientar que: a f.e.m. instantânea é proporcional a v e a f.e.m. máxima é proporcional a V, pelo que será suficiente determinar o valor médio e o rms da primeira velocidade em termos da segunda.

Valor médio
Na ilustração a seguir, parte da figura anterior, destacamos que o ponto P, projeção do condutor sobre o diâmetro AC, move-se com velocidade variável v . Se você examinar bem a geometria da figura e notar que o eixo AC está orientado positivamente de C para A, perceberá que devemos ter v = - V.sen
q, com o condutor na posição da ilustração. Mas, vamos por outro caminho:

O tempo necessário para que esse ponto P percorra o diâmetro de A para C é igual ao tempo que o condutor necessita para percorrer a semicircunferência ABC, com velocidade tangencial constante V. Porém, o diâmetro AC em questão vale somente 2/p da semicircunferência, pelo que o valor de v é, em média, somente 2/p do valor de V [veja o destaque Importante acima]. Aplicando-se isso para a f.e.m. teremos:

Em= (2/p).Emáx.= 0,637.Emáx.

Essa relação é válida para todas as grandezas senoidais e para a curva do seno; por exemplo, poderia ter sido empregada para resolver o item (c) do exemplo 1 acima, usando o resultado do item (a). Observe: no item (a) obtivemos [ Emáx.= 37,68 volts] , logo para resolver o item (c) bastaria fazer [ Em = 0,637.Emáx.= 0,637 . 37,68 = 24 volts ].

Valor quadrático médio (rms)
Neste caso, será necessário, primeiro, determinar o valor quadrático médio, ou seja, o valor médio de v2 , em termos de V.
Na ilustração acima, aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo das velocidades v, u e V teremos:

v2 + u2 = V2 = constante

Então:  valor médio de v2 + valor médio de u2 = V2 = constante (*)

Porém, a menos do sentido, u sofre as mesmas variações no segundo quadrante que sofre a v no primeiro quadrante, e vice-versa; assim, tomando-se sobre meia-revolução (meio período) teremos:

valor médio de v2 = valor médio de u2

Substituindo-se essa identidade na expressão acima (*):

2 x valor médio de v2 = V2
valor médio de v2 = V2/2  ... <=== a raiz quadrada disso será o rms!

ou seja, valor quadrático médio de v = rms de v = raiz quadrada(V2/2) = V/(raiz quadrada de 2).

Donde se infere que o valor quadrático médio da f.e.m. (Erms) será:

Erms = [1/(raiz quadrada de 2)].Em = 0,707.Em

 Novamente, esta relação é válida para a curva senoidal e todas as senóides. Deve-se notar que o valor médio de v2 é a metade de V2, pelo que o valor médio de e2, será também a metade de (Emáx.)2 ; para a curva senóide (y = senq), em si mesmo, o valor médio de sen2q é 1/2 = 0,5.

Fator de forma
Define-se como fator de forma a razão entre o valor quadrático médio (rms) e o valor médio de uma grandeza alternada; para a f.e.m., teremos, portanto:

fator de forma = Erms/Em = 0,707.Emáx./0,637.Emáx. = 1,11

Fator de pico
Define-se como fator de pico a razão entre o valor máximo e o valor quadrático médio (rms) de uma grandeza alternada; para a f.e.m., teremos, portanto:

fator de pico = Emáx./Erms = Emáx./0,707.Emáx.= 1,414

Velocidade ou rapidez de variação
É outra propriedade importante de uma senóide e conseqüentemente das grandezas alternadas como tensão elétrica, intensidade de corrente elétrica etc. Vamos nos concentrar na conceituação da rapidez da variação da tensão alternada em volts por segundo, ao longo de um ciclo (um período).
Novamente nos ateremos ao condutor girando com velocidade angular constante no campo magnético uniforme, analisando sua projeção P no diâmetro AC. Já sabemos que sua velocidade instantânea (v) varia senoidalmente, produzindo a f.e.m. senoidal; queremos saber agora com que rapidez varia essa velocidade, ou seja, sua aceleração através das linhas de campo.
Se o texto se destinasse ao nível superior, a tarefa seria simples, bastaria dizer que essa aceleração é simplesmente a segunda derivada da função e = Emáx..sen
w.t em relação ao tempo. Todavia, estamos nos esforçando para evitar a matemática superior e, não vamos 'mudar a regra do jogo' agora. Continuemos.

Conforme o condutor se movimenta em uma trajetória circular com velocidade tangencial V, de módulo (valor) constante, sua aceleração radial também tem módulo (valor) constante, porém sua direção varia de ponto a ponto, sempre com sentido orientado para o eixo de rotação; trata-se, portanto, de uma aceleração centrípeta. Na ilustração abaixo essa aceleração centrípeta se representa por A e mostra também seus componentes retangulares, dos quais destacamos a parcela vetorial a que é justamente a aceleração do ponto P. A geometria da figura mostra claramente que : a = A.cosq .

O valor (módulo) de A é constante, mas a aceleração transversal a é proporcional ao cosseno de q . Assim, se infere que a rapidez de variação de uma grandeza senoidal (que é proporcional a senq ), pode ser representada por uma curva cujos valores são proporcionais a cossenoq . é o que mostramos abaixo:

A curva cossenoidal (verde) mostrada na figura acima é a própria curva senoidal (azul) deslocada para a esquerda de 90o ; a curva dos cossenos tem a mesma forma da curva dos senos e, portanto, é uma senóide. Isso significa que a rapidez de variação de uma grandeza senoidal é também senoidal. A recíproca também é verdadeira, se a rapidez de variação de uma grandeza é senoidal, a própria grandeza também deve ser senoidal; nenhuma outra curva periódica possui uma propriedade semelhante.

Curva do quadrado do seno
Como já notamos acima, o valor quadrático médio (rms) requer o conhecimento do valor médio do sen2
q, e isso pode ser representado por uma curva, como veremos a seguir.

A ilustração abaixo foi obtida elevando-se ao quadrado os valores dos senos de vários ângulos desde 0 até 360o. Na figura, os ângulos q  são indicados por x .

Ao contrário da curva dos senos (y = sen x), essa nova curva encontra-se completamente acima da linha de base (eixo x), porque o quadrado de um número sempre é positivo, independente de seu sinal. Além disso, os valores do seno ao quadrado de q são, no geral, menores que os os valores do seno de q, porque esse último é sempre menor que a unidade.

Como já mencionamos, o valor médio de sen2q é 1/2 = 0,5, que também está indicado na figura acima. Pode-se observar claramente que a curva sen2q (preenchida para dar destaque) é simétrica em relação ao seu valor médio e que flutua em torno desse valor médio com o dobro da freqüência da curva original sen q, sendo também uma senóide (*); além disso, repare que se 'cortarmos' suas cristas, essas partes preencherão perfeitamente seus vales.

(*) Nota matemática: Isso dito acima, resulta da identidade trigonométrica sen2q = 1/2 - (1/2).cos2q . Neste caso, a constante 1/2 representa o deslocamento para cima do eixo horizontal (translação de eixos) e, com essa nova linha de base, a curva fica representada por -(1/2).cos2q, sendo portanto de forma senoidal.


Segue Parte 2

 


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