Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Superposição de curvas senoidais
Quando duas f.e.m.(s) ou duas intensidades de corrente se superpõem num circuito C.C., a resultante será sempre sua soma algébrica. Assim, uma pilha de f.e.m. 2 V e uma outra de f.e.m. 1,5 V poderão ser conectadas em série e concordância para se obter 3,5 V ou em série e oposição para se obter 0,5 V, porém, não será possível nenhum outro valor.
Duas f.e.m.(s) alternadas, senoidais, também poderão ser superpostas do modo acima descrito, sempre que tenham a mesma freqüência e passem simultaneamente por seus valores 'zero' e 'máximo'. Essas associações em concordância e oposição de curvas senoidais de mesma freqüência são representadas abaixo.

Na ilustração superior, as f.e.m.(s) E₁ e E₂ de dois alternadores ligados em série, estão em concordância de fase entre si e se superpõem para produzir a f.e.m. resultante E, igual à sua soma algébrica em cada ponto definido pelo ângulo de giro no ciclo.
A fase de uma dessas f.e.m.(s), digamos a E₂, pode ser invertida se trocarmos as conexões, como se indica na ilustração inferior do quadro acima. As f.e.m.(s) estarão agora em oposição de fases (ou, em contra-fase, como também se diz) e a superposição delas produz a resultante E, igual à soma algébrica em cada ponto. Assim, no ponto definido pelo ângulo de 90^o, por exemplo, teremos E₁ = + 2 V e E₂ = - 1 V, dos quais resulta E = E₁ + E₂ = (+2V) + (-1V) = + 1 V.

Esse exemplo descrito acima é, sem dúvida, um caso especial de superposição de duas f.e.m.(s) para circuitos de C.A. Suponhamos que as f.e.m.(s) não estão nem em fase, nem em contra-fase ou oposição; qual será então o valor da resultante?
Dependendo das relações de fases entre as duas f.e.m.(s), a resultante poderá assumir qualquer valor contido entre sua soma e sua diferença. Uma situação dessas possibilidades está ilustrada abaixo, os as f.e.m.(s) apresentam uma diferença de fase dada pelo ângulo f (letra grega, minúscula, fi). Este ângulo, medido em graus ou em radianos, entre as posições correspondentes, se denomina diferença de fase ou ângulo de defasagem.

A primeira f.e.m. que passa por seu valor 'zero' ou seu valor 'máximo' se diz que está adiantada ou que está adiante da outra (caso da E₁,no exemplo ilustrado acima), a qual, por sua vez se diz que está atrasada ou que está atrás em relação à primeira; na ilustração, E₁ está 30^o adiante de E₂, ou E₂ está 30^o atrás de E₁.
Existe, sim, o perigo de confundir-se, porque à primeira vista parece que E₂ está adiante de E₁, olhando da esquerda para a direita. Todavia, não são as curvas que se movem, nós (observadores) é que devemos, imaginariamente, percorrer a linha de base da esquerda para a direita e observar os eventos que têm lugar.
Como podemos observar na ilustração acima, onde usamos a letra 'y' para representar as f.e.m.(s) e 'x' para representar o ângulo q, as curvas são gráficos das seguintes equações:

e₁ = E_1máx..senq        e      e₂ = E_2máx..sen(q - f)
ou,    e₁ = E_1máx..senwt       e      e₂ = E_2máx..sen(wt - f)        

O sinal "-" indica que a segunda f.e.m. está atrás da primeira. A curva da f.e.m. resultante E pode ser obtida somando-se algebricamente as ordenadas das curvas que se superpõem (componentes). A seguir, seu valor máximo pode ser medido e seu valor quadrático médio (rms) pode ser calculado; além disso, sua relação de fase com qualquer das componentes pode ser lido ao longo da linha de base.

Esse processo acima descrito é demorado e tedioso; seria interessante procurar uma técnica mais rápida e simples para resolver tais questões --- felizmente tal método existe! E tem um nome pomposo: vetores girantes de Fresnel, por vezes simplificado, simplesmente, para fasores.

Fasores = vetores girantes de Fresnel
Vimos, na Parte 1 desse trabalho, como um círculo de raio unitário (r = 1) pode ser utilizado para desenvolver uma curva senoidal; e, se assumirmos que tal raio represente o valor máximo de uma f.e.m. ou de uma corrente senoidal, a sua curva característica pode ser construída. Assim, tudo de que se necessita para especificar uma grandeza senoidal e seu desenvolvimento quer em relação ao ângulo, quer em relação ao tempo é traçar um segmento orientado (segmento de reta dotado de uma seta de orientação) em uma escala apropriada e fazê-lo girar ao redor de um eixo perpendicular à sua direção, passando pela sua extremidade. Nada além de um 'vetor girante' (agora chamado de 'fasor'), como o foi introduzido por Fresnel. Eis um visual:

No geral, uma grandeza vetorial, como são exemplos a força, a velocidade, a aceleração etc., apresentam três características importantes, a saber: um módulo ou valor (medida da grandeza), uma direção e um sentido. O vetor que representa tal grandeza pode ser traçado numa escala conveniente para indicar seu módulo.
As coisas também ocorrem assim em relação ao vetor elétrico ou fasor. Neste caso, sua direção é fixada por uma fase particular do ciclo, como se representa acima. Na superposição de grandezas elétricas de mesma espécie [f.e.m.(s), por exemplo], teremos distintos fasores em um mesmo diagrama e é importante que se indique a defasagem correta entre eles, isto é, se a diferença de fase entre as duas grandezas é de 60^o, seus fasores devem ser desenhados com uma separação angular de 60^o.

Adição geométrica de fasores
A resultante de duas forças concorrentes ou de duas velocidades, como sabemos, é dada pela "regra do paralelogramo", ou seja, a diagonal do paralelogramo traçado, usando como lados adjacentes os vetores dado, é a representação, na mesma escala, da sua resultante. A pergunta básica é: esse princípio bem conhecido se aplica também aos fasores de correntes e aos de f.e.m.(s)?

A ilustração a seguir é um diagrama de fasores, em escala, representando as f.e.m.(s) componentes e defasadas de f = 30^o (é exatamente o caso da terceira figura desse trabalho).

O fasor E_1máx. representa, em escala, o valor máximo de E₁, colocado fazendo um ângulo q com a horizontal; o outro fasor E_2máx. está desenhado atrasado com um ângulo de diferença de fase igual a f. Assim, construímos o paralelogramo e desenhamos sua diagonal.
Para comprovar que, na realidade, a diagonal representa a f.e.m. resultante E, deveremos mostrar que na posição (ou tempo) considerado, a f.e.m. instantânea e é soma algébrica dos valores instantâneos de e₁ e de e₂. E é exatamente o que o diagrama mostra, somando-se algebricamente as projeções e₁ e e₂. Incidentalmente a ilustração mostra algo bem importante: o fato da f.e.m. poder ser representada por um fasor (E), demonstra que ela própria é uma curva senoidal!

Se o diagrama for construído, como se faz geralmente, não para avaliar valores instantâneos, senão apenas com o propósito de obter o valor da resultante de duas grandezas senoidais, a orientação do paralelogramo não tem importância alguma e é isso que mostramos na ilustração acima, em (b).

Existe ainda outra simplificação. O diagrama de fasores é muitas vezes solicitado para superpor valores quadráticos médios [rms(s)] de f.e.m.(s) ou de correntes. Estritamente, esses rms(s) devem ser convertidos a seus valores máximos, antes de desenhar o paralelogramo, e a seguir, o valor máximo da resultante deve ser re-convertido para seu rms. Uma trabalheira!
Com o objetivo de evitar essas sucessivas conversões, é costume (como foi feito na figura acima) representar diretamente seus rms(s). Escolher o valor máximo da grandeza senoidal ou seu rms para desenhar a figura dependerá apenas do uso que se deva dar ao resultado da superposição.

Exemplo 2
A resultante de duas correntes senoidais tem valor de 5 ampères. Se uma das componentes vale 3 ampères, estando 30^o atrás da resultante, determinar o valor da outra componente e sua relação de fase com a resultante.

Solução:
A corrente resultante de 5 A é utilizada como fator de referência, como se ilustra abaixo, e o componente de 3 A está desenhado com atraso de 30^o. Completa-se então o paralelogramo (traçando as paralelas que faltam; tracejadas, na ilustração) para obter a corrente que falta (em vermelho) e seu ângulo f com respeito à resultante.

Nota: Um método alternativo consiste em 'inverter' o fasor de 3 A (ou seja, construir o fasor oposto daquele que representa os 3 A) e adicioná-lo geometricamente (regra do paralelogramo) com o fasor de 5A, para obter o fasor procurado. Isso se baseia na subtração vetorial onde, subtrair o vetor b do vetor a (efetuar a - b) nada mais é que somar geometricamente ao vetor a o vetor oposto de b, que se indica por -b,  ou seja: a - b = a + (-b).

Ondas não senoidais
As condições nos alternadores práticos diferem consideravelmente daquelas de um condutor ou uma bobina girando em um campo magnético uniforme. Na realidade, por exemplo, o fluxo polar corta os condutores 'mais ou menos' em ângulo reto e o próprio fluxo em si não está uniformemente distribuído devido à presença das ranhuras. Ainda que o projetista empregue vários recursos para obter uma onda que se aproxime da senoidal, ou pelo menos uma com mesmo fator de forma, poderá obter uma distorção considerável.
Também nos transformadores, continuando a exemplificar, a tensão de saída pode estar distorcida devido aos efeitos de histerese no núcleo e à variação na permeabilidade do ferro no decorrer do ciclo magnético.

Ainda que o fornecimento de tensão seja senoidal, a corrente desenvolvida não o será, necessariamente. Uma lâmpada fluorescente conduz somente quando a tensão instantânea excede um certo valor e ainda existira uma distorção posterior devido à variação na resistência dos gás ionizado. Assim, nos circuitos de C.A., deveremos estar preparados para encontrar ondas --- particularmente de correntes --- que se afastam da ideal. A teoria das ondas senoidais, como discorremos nesse texto, não pode ser aplicada diretamente em tais casos, porém será útil se as ondas puderem ser decompostas em seus componentes senoidais. E é isso que veremos.

Harmônicas
Existe um teorema, chamado de Fourier, que nos diz que qualquer onda periódica completa pode ser considerada como constituída de duas ou mais das seguintes ondas senoidais:

(i)  uma onda fundamental da mesma freqüência que a onda complexa.
(ii) ondas harmônicas cuja freqüência seja 2, 3, 4, ... etc. vezes a freqüência fundamental.

Exemplos disso ocorrem fartamente em música. Um diapasão vibra com movimento harmônico simples (em primeira aproximação) e produz no ar uma onda sonora sinusoidal. O tom da nota emitida, dependente da geometria do diapasão, pode ser o Dó médio, com 256 Hz. Este som produzido é 'seco' e até 'desagradável', segundo nos informa os 'ouvidos bem apurados' dos mestres na arte.
Um instrumento musical, ou mesmo a voz humana, também poderá produzir uma nota dessa mesma freqüência mas, sem dúvida, a onda não será senoidal! Mesmo um ouvido não apurado discernirá o som emitido pelo diapasão daquele emitido pelo instrumento ou da voz humana. Essa onda produzida pelo instrumento conterá aquela freqüência de 256 Hz e diversos harmônicos, de modo que a onda resultante apresenta um 'timbre' totalmente diferente daquele do diapasão. A onda resultante nada tem de aspecto senoidal! As fontes produtoras do som são diferentes.

Harmônicas na onda de C.A.
O teorema de Fourier se aplica também às ondas de C.A., que podem ser consideradas, portanto, como formadas por uma onda fundamental e uma ou mais ondas harmônicas. Para muitos propósitos, estes componentes se comportam como se existissem 'em separado', dando-nos então a vantagem de se poder aplicar a teoria fundamental das ondas senoidais sucessivamente a tais componentes. Os componentes podem ser medidos com instrumentos especiais ou, se conhecemos a priori a forma de onda, podem ser calculados mediante processo matemático denominado análise harmônica. Ainda que a dificuldade de tais processos escapem ao teor desse texto (não queremos nos aprofundar usando da matemática superior), é vantajoso examinar alguns casos simples com o objetivo de entender como as harmônicas afetam a forma de onda.

As duas formas de onda resultante, nas ilustrações a seguir, foram obtidas por soma algébrica das ordenadas de uma onda fundamental (usei y = 2.senx) com uma harmônica (H).

Comentemos ... (em construção)

........

Vantagens da onda senoidal

.....

Retornar à Parte 1