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Onda Senoidal
(Parte 3)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leo@feiradeciencias.com.br

Harmônicos
Existe um teorema, chamado de Fourier, que nos diz que qualquer onda periódica completa pode ser considerada como constituída de duas ou mais das seguintes ondas senoidais:

(i)  uma onda fundamental da mesma freqüência que a onda complexa.
(ii) ondas harmônicas cuja freqüência seja 2, 3, 4, ... etc. vezes a freqüência fundamental.

Exemplos disso ocorrem fartamente em música. Um diapasão vibra com movimento harmônico simples (em primeira aproximação) e produz no ar uma onda sonora sinusoidal. O tom da nota emitida, dependente da geometria do diapasão, pode ser o Dó médio, com 256 Hz. Este som produzido é 'seco' e até 'desagradável', segundo nos informa os 'ouvidos bem apurados' dos mestres na arte.
Um instrumento musical, ou mesmo a voz humana, também poderá produzir uma nota dessa mesma freqüência mas, sem dúvida, a onda não será senoidal! Mesmo um ouvido não apurado discernirá o som emitido pelo diapasão daquele emitido pelo instrumento ou da voz humana. Essa onda produzida pelo instrumento conterá aquela freqüência de 256 Hz e diversos harmônicos, de modo que a onda resultante apresenta um 'timbre' totalmente diferente daquele do diapasão. A onda resultante nada tem de aspecto senoidal! As fontes produtoras do som são diferentes.

Harmônicos na onda de C.A.
O teorema de Fourier se aplica também às ondas de C.A., que podem ser consideradas, portanto, como formadas por uma onda fundamental e uma ou mais ondas harmônicas. Para muitos propósitos, estes componentes se comportam como se existissem 'em separado', dando-nos então a vantagem de se poder aplicar a teoria fundamental das ondas senoidais sucessivamente a tais componentes. Os componentes podem ser medidos com instrumentos especiais ou, se conhecemos a priori a forma de onda, podem ser calculados mediante processo matemático denominado análise harmônica. Ainda que a dificuldade de tais processos escapem ao teor desse texto (não queremos nos aprofundar usando da matemática superior), é vantajoso examinar alguns casos simples com o objetivo de entender como as harmônicas afetam a forma de onda.

As formas de onda resultante, nas ilustrações a seguir, foram obtidas por soma algébrica das ordenadas de uma onda fundamental (usei y = 2.senx) com uma ou mais de suas harmônica (Hi).

Fundamental + segundo harmônico
É costume expressar a harmônica como uma percentagem da fundamental. Nesta primeira ilustração adotou-se o valor alto de 20% apenas com o objetivo de ressaltar seu efeito. Ainda nesta ilustração, por simplicidade, se considera que a harmônica passa por zero no mesmo instante que a fundamental, ainda que isto não ocorra, necessariamente, em muitos casos práticos.

Observe que o segundo harmônico foi tomado como positivo com relação à fundamental ao iniciar seu primeiro período. Ao iniciar seu segundo período o segundo harmônico ainda é positivo ainda que a fundamental seja agora negativa. Deste modo, os dois semiciclos da onda resultante têm formas diferentes e uma delas não é imagem especular da outra, ou seja, invertendo-se o primeiro semiciclo ele não será superponível ao segundo semiciclo, por simples translações. Isto exclui o segundo harmônico e todos os harmônicos de ordem par das formas de ondas originadas nos alternadores (este é um requisito básico!).

Fundamental + terceiro harmônico
As coisas são diferentes com o terceiro harmônico, como veremos a seguir. Ilustremos a superposição:

Aqui o harmônico se inverte três vezes enquanto que a fundamental se inverte uma vez, portanto ambas iniciam juntas o segundo semiciclo como o fizeram no primeiro. A onda resultante tem simetria especular (o inverso do primeiro semiciclo é superponível ao segundo semiciclo por simples translação) e isto se estende quando estão presente os harmônicos ímpares. O terceiro harmônico é a harmônica, no geral, mais provável nas ondas de C.A. e, harmônicas ímpares superiores, quando ocorrem, são geralmente de amplitudes decrescentes.

A fase do movimento harmônico simples pode ter efeito considerável na forma de onda resultante. Assim, se o terceiro harmônico na ilustração acima tiver deslocamento de fase em relação à fundamental, a forma da onda resultante apresentará sérias modificações. Se a onda harmônica se inverte (adiantada de 180º --- ilustração à direita) a onda resultante deve ter um pico em lugar de achatamento com cavidade.

Fundamental + vários harmônicos

Uma aplicação das harmônicas é seu emprego na determinação do valor r.m.s. Cada componente da onda resultante produz seu próprio aquecimento proporcional a seu valor quadrático médio, sendo o efeito total de aquecimento igual ao da onda resultante. Por esta razão o valor r.m.s. da onda resultante é dado pela seguinte expressão:

onde os símbolos representam os valores rms da onda fundamental e das harmônicas.

Vantagens da onda senoidal
Concluiremos este trabalho relativo à curva senoidal com um resumo de suas principais vantagens:

1- A onda senoidal é a forma periódica mais simples possível, posto que não pode ser decomposta em componentes mais simples que ela mesmo.
2- Por outro lado, qualquer onda periódica pode ser analisada em suas componentes senoidais.
3- A rapidez com que se modifica uma grandeza senoidal é também senoidal (derivada).
4- Quando se combinam várias curvas senoidais de mesma frequência, produz sempre outras curvas senoidais.
5- Uma grandeza senoidal pode ser representada por um fasor e duas ou mais senoidais de mesma frequência podem ser combinadas por adição de seus fasores.

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