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R.M.S.
(raiz quadrática média)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

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Valor médio de grandezas variáveis
Freqüentemente se usam, para um dado intervalo de valores de uma grandeza variável, o seu valor médio como, por exemplo, a velocidade, a temperatura, a altura etc. O valor médio corresponde à média aritmética dos valores do referido intervalo.
Uma grandeza alternante ou alternada também admite o conceito de valor médio, para a qual se utiliza do sub-índice m acompanhando o símbolo da grandeza. Para a colheita de valores da grandeza alternada simétrica se abstrai o sinal negativo, que só representa uma diferença de sentido, tomando-se apenas os semiciclos positivos. Esse valor médio pode ser determinado graficamente, pelo método da ordenada média, como o fazemos no exemplo abaixo, de um sinal triangular, para salientar sua validade.

Exemplo 1: Determinar graficamente o valor médio da corrente, para o semiciclo da onda triangular abaixo representada.

A base do triângulo da ilustração foi dividida em 6 partes iguais e a ordenada (em verde) foi levantada do centro de cada uma dessas partes:

No de ordenadas 1 2 3 4 5 6
Corrente inst.(A) 0,5 1,5 2,5 2,5 1,5 0,5

Soma das ordenadas = 9 A
Corrente média = 9/6 = 1,5 A

Nota: Posto que a altura média de um triângulo é a metade de sua altura, o resultado obtido nesse caso simples é exato; todavia, se necessitará bem maior número de ordenadas, em uma curva típica, para se obter um razoável grau de precisão.

Raiz quadrática média
Além do valor de pico e do valor médio das grandezas alternadas, temos o valor quadrático médio, muito mais importante que os outros dois anteriores, porém, um pouco mais difícil de compreender; por isso vamos começar com uma aproximação simples.

Comecemos pela análise de uma corrente direta interrompida (sinal retangular), como a abaixo ilustrada, que se modifica a cada segundo, desde zero até 2 A, regressando depois de um segundo, novamente ao valor zero. O período do ciclo é de 2 segundos (T = 2 s).

Nosso problema será determinar que valor de corrente contínua e constante produzirá o mesmo efeito que essa corrente retangular em um circuito elétrico. A questão começa interrogando "que efeito particular usaremos"? Será o efeito químico? O efeito térmico? O efeito magnético?

Consideraremos primeiramente o efeito químico, como na carga de uma bateria ou na galvanoplastia. A primeira lei de Faraday, da eletrólise, nos informa que "o efeito químico da corrente é proporcional à quantidade de carga elétrica (Q = I.t)"; assim, ao cabo de 2 segundos (1 ciclo), será:

Qciclo = 0 x 1 + 2 x 1 = 2 coulombs

A corrente estacionária que corresponde ao passo de 2 coulombs em 2 segundos tem o valor de 1 ampère; e esse será o valor médio (Im = Qciclo/T = 2/2 = 1 A).

Poderemos querer generalizar e pensar que isso se aplica a todos os demais efeitos da corrente elétrica, porém, em geral, isso não é assim. No efeito térmico, por exemplo, a quantidade de calor dissipado é proporcional ao quadrado da intensidade de corrente, isso porque, é bom lembrar, a energia elétrica convertida em energia térmica (e dissipada em forma de calor), em 1 segundo, é, por definição, a potência elétrica: Eelet. = Qdiss.= Pelet..Dt .  ou Eelet./Dt = Pelet. . No resistor, teremos: Pelet. = R.I2 .

Assim, se a corrente considerada (1 ciclo da onda retangular) passa por um resistor de resistência 1 ohm, a quantidade de energia liberada em 2 segundos será, usando Eelet. = R.I2.Dt :

Eelet. = 1ohm.02ampère2.2segundos + 1ohm.22ampère2.2segundos = 4 joules

e a corrente estacionária necessária para fornecer 4 joules em 2 segundos será:

Eelet.= 1ohm.I2ampère2.2segundos = 4 joules
ou seja, I2 = 2 ou I = raiz quadrada de 2 = 1,414 ampères.

Essa quantidade se denomina "raiz quadrática média" (rms), ou ainda "valor quadrático médio", ou ainda "valor eficaz"; e recebe esse nome porque é a raiz quadrada do valor médio do quadrado da grandeza. No caso em questão:

Irms = raiz quadrada[(02 + 22)/2] = 1,414

valor esse que é maior que o valor médio da corrente (Im = 1 A).

Para uma simples demonstração experimental temos abaixo, uma lâmpada incandescente (L) de baixa tensão, alimentada pela bateria (fonte CC) através de um reostato, um par de contatos acionados mecanicamente e um amperômetro (A) de bobina móvel (este instrumento mede o valor médio da corrente, porque funciona através da força magnética que o condutor recebe num campo magnético, sendo a intensidade dessa força proporcional à intensidade de corrente).

O experimento consiste no seguinte:
(a) fechamos os contatos, com o que se estabelece uma corrente estacionária que acende a lâmpada com brilho reduzido;
(b) os contatos são abertos e fechados rapidamente (através de um processo mecânico qualquer), fazendo com isso, que a intensidade da corrente diminua e, com ela, o brilho da lâmpada.
(c) A parte final consiste em manter constante a freqüência do fechamento e abertura dos contatos e ajustar o reostato de modo que a lâmpada volte a apresentar o brilho anterior.
(d) A indicação do amperômetro mostrará que o valor efetivo (rms) dessa corrente interrompida é maior que o valor médio da corrente lida no amperômetro, em (a).

RMS de uma grandeza alternada
O valor eficaz ou rms de uma d.d.p. ou de uma corrente alternada é definido como sendo a raiz quadrada da média dos quadrados de seus valores instantâneos; por tanto, é igual à d.d.p. ou a corrente estacionária que produziria os mesmos efeitos térmicos ou de potência térmica; por isso é importante nas medidas de C.A.

O rms de uma grandeza é representado pelo seu símbolo corriqueiro (U e I, por exemplo). Os sub-índices são geralmente omitidos porque, exceto que se diga outra coisa, fica entendido sempre que estamos nos referindo ao valor rms. Assim, a tensão nominal de uma fonte de alimentação C.A. ou a intensidade de corrente nominal de um aparelho elétrico se dá como valor rms; assim também são, com tais valores, calibrados os instrumentos de C.A.
O sentido da d.d.p. ou da corrente não influi no valor rms, por isso poderá ser calculado para apenas um semiciclo, sempre que as duas metades da 'onda', no seu período, sejam semelhantes (simétricas).

Uma extensão do método das ordenadas médias facilita o cálculo do valor rms. Apesar de usarmos no  exemplo que se segue a simples onda triangular que já vista, o método é geral e pode ser sempre empregado para qualquer forma de onda.

Exemplo 2: Determinar o valor rms da corrente, tipo onda triangular, do exemplo 1.
Os valores das seis ordenadas são repetidos aqui e são acrescentados, na tabela, seus quadrados:

Número de ordenadas 1 2 3 4 5 6
Corrente instantânea (A) 0,5 1,5 2,5 2,5 1,5 0,5
Quadrado da ordenada (A2) 0,25 2,25 6,25 6,25 2,25 0,25

Soma dos quadrados = 17,5 A2
Valor médio de quadrados = 17,5/6 = 2,92 A2
Valor rms = raiz quadrada[2,92 A2] = 1,71 A

Nota: A ilustração abaixo mostra claramente que o gráfico do quadrado da corrente (em preto) tem forma diferente do gráfico da corrente original (triângulo em verde). Em geral, o quadrado de uma grandeza varia mais acentuadamente que a própria grandeza, tornando-se assim um tanto mais difícil a determinação precisa de seu valor médio, para se obter, a seguir, o valor quadrático médio ou rms. O resultado do exemplo visto acima deveria ser 1,73 A e não 1,71 A. Para contornar isso deveríamos tomar, no mínimo, o dobro do número de ordenadas na colheita de dados. Faça isso como novo exercício.

Relação entre os vários valores da grandeza alternada
Ainda que geralmente se use o valor rms, há ocasiões nas quais outras indicações são necessárias, por exemplo, o valor médio de uma corrente pode ser importante quando se retifica, ou podemos necessitar do valor da tensão de pico para decidir sobre um apropriado isolamento. A relação entre os valores depende da forma da onda e será dada pelo 'fator de forma' e pelo 'fator de pico', assim definidos:

Fator de forma = valor rms/valor médio
Fator de pico = valor de pico/valor rms

Para uma típica C.A. o valor de forma situa-se ao redor do 1,1, enquanto que o fator de pico (ou de crista, como se diz por vezes) fica ao redor do 1,4. Estes valores variam consideravelmente sendo, no geral, pequenos para as 'ondas achatadas' e maiores para as 'ondas bicudas'.

Exemplo 3: Calcular os fatores de forma e de pico para a corrente de onda triangular dos exemplos 1 e 2.

Valor rms de I (do exemplo 2) = Irms = 1,73 A
Valor médio de I (do exemplo 1) = Im = 1,50 A
Fator de forma = Irms/Im = 1,73/1,50 = 1,15
Valor de pico de I (do exemplo 1) = Ip = 3,0 A
Fator de pico = Ip/Irms = 3,0/1,73 = 1,73

Um detalhe digno de nota é que esses valores obtidos no exemplo acima dependem somente da forma de onda, aplicando-se não só à onda considerada como também a todas as ondas triangulares independente de sua amplitude e freqüência.

As medições de valores rms são tremendamente importantes, assim, recomendamos uma boa leitura sobre os aparelhos de medida em C.A.

 

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