O empuxo de Newton
(sistemas acelerados)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Época, dois mil e duzentos (e tantos) anos atrás. Arquimedes, de Siracusa, repentinamente levanta-se da tina de um banho público e sai gritando pelas ruas: - Eureka! Eureka! Os jornais do dia, ainda em papiro, com o tradicional sensacionalismo publicaram:
"Princípio do Homem Nu". 
"Nosso grande mestre das filosofias naturais descobriu hoje o segredo da coroa .....blá, blá, blá....... e enunciou o seguinte:

Quando um corpo é imerso, total ou parcialmente, ele desloca uma certa porção de liquido empurrando-o. O líquido, por sua vez, aplica no corpo imerso, uma força vertical para cima, cujo valor é igual ao peso da porção líquida deslocada". 

Época, trezentos e setenta (e tantos) anos atrás. O jovem inglês lsaac Newton, exercitando a mente, chegou à conclusão que deveria haver uma proporcionalidade entre força e aceleração. Essa conclusão, publicada por entidade acadêmica, ficou conhecida como a Segunda Lei de Newton ou simplesmente, Princípio Fundamental da Dinâmica. No ensino médio ele não é apresentado com sua roupagem histórica.
Os alunos atuais conhecem-no assim: "Força é igual a massa vezes aceleração".

Os professores atuais preferem, via de regra, enuncia-lo assim:

"Em um sistema de referência inercial, a aceleração que um corpo apresenta é diretamente proporcional à resultante das forças externas que nele atuam e inversamente proporcional à sua massa; e escrevem:
a = R/m".
 
Outros, preferem enuncia-lo assim:

"Para sistemas inerciais, a resultante das forças que agem sobre um corpúsculo é dada pelo produto de sua massa pela aceleração que apresenta; e escrevem: R = m.a , para deixarem explícito o caráter vetorial".

Desde os tempos de Arquimedes e Newton, muitos aparelhos, invenções, teorias e demonstrações têm sido feitas, utilizando-se dessas leis. Hoje, parece bastante normal ao aluno que, uma é um princípio fundamental na Hidrostática e a outra é um princípio fundamental na Dinâmica e, "como cada macaco tem seu galho" tais leis continuam a ser aplicadas, cada uma em seu setor.

Generalizando
Como esse é um 'Site' de sugestões, acrescento mais essa. Vamos fundir as duas numa só, enunciando:

"Quando um corpo é imerso, total ou parcialmente, num fluido acelerado, esse (o fluido) aplica sobre aquele (o corpo) uma força (N), que é proporcional ao produto da massa de fluido deslocado (m'), pela aceleração do fluido (a); ambas as grandezas vetoriais, N e a têm mesma direção e sentido ou, analiticamente, 
N = m'. a ”.

Essa força, de caráter geral, deveria ser batizada de Empuxo de Newton (proposta do autor), mantendo-se a denominação de Empuxo de Arquimedes, que é um principio "prático", bem particular, para os casos "terrestres" de fluído em equilíbrio sob a ação da gravidade.

No fundo, ainda que por causas distintas, ambos os empuxos têm um fator comum, a saber, um gradiente de pressão.

Empuxo é força existente em corpo imerso num fluido, desde que haja um gradiente de pressão (ou de densidade) nesse fluido. No caso do empuxo de Arquimedes, esse gradiente de pressão é proveniente do próprio peso do liquido. Uma camada comprime, pelo seu peso, a seguinte e assim, progressivamente, na vertical para baixo, vai determinando um gradiente de pressão.

É um caso muito particular, pois o gradiente de pressão (crescendo verticalmente para baixo) tem o mesmo sentido do peso (ou da aceleração da gravidade) e o empuxo de Arquimedes é vertical para cima. Empuxo de Arquimedes e aceleração da gravidade, em corpos imersos em fluido em equilíbrio, têm sentidos opostos. Quem ainda não percebeu a "coisa" verá, mais adiante, que isso é um caso único no mundo das forças e acelerações; é um caso restrito a forças de campo e, totalmente inválido para forças inerciais.

Continuemos. 
O empuxo de Newton é lei bem mais geral, porém, também proveniente de um gradiente de pressão (ou de densidades).

Se um fluido acelera para a direita, o gradiente de pressão no fluido, por sua inércia, cresce para a esquerda, determinando no corpo imerso um empuxo de Newton para a direita, na mesma direção e sentido que a aceleração. Para clarear bem as idéias, vejamos três situações, envolvendo acelerômetros de pêndulo, em translação acelerada.

(1) pêndulo simples, (2) pêndulo simples imerso num líquido, com A < P e (3) pêndulo invertido com flutuador (bóia) imerso num líquido, com A > P

Na coluna (a), mostramos três sistemas físicos (acelerômetros de pêndulo) montados num carrinho base, com aceleração horizontal para a direita. A coluna (b) mostra os diagramas do corpo-livre e a coluna (c) mostra os diagramas vetoriais. Nas ilustrações, A é o empuxo de Arquimedes, N é o empuxo de Newton, P é o peso da bolinha, T é atração aplicada pelo cordel e R é a força resultante.

Em (1), na esferinha do pêndulo, agem apenas duas forças: seu peso P e a tração T determinada pelo fio ideal.

A componente de T, na vertical (T.cosq) equilibra o peso P (P = T.cosq) ; a componente de T, na horizontal (T.senq), não tem equilibrante, ela representa a resultante das forças atuantes na esferinha (R = T. senq). O sistema de equações:

R=T.senq 
P=T.cosq 

fornece:  R = P.tgq  e, como  R = m.a   e   P = m.g,  vem    m.a = m.g.tgq  ou 

a = g.tgq 

o que faz do dispositivo um acelerômetro.

Em (2), na esferinha do pêndulo, mais densa que o líquido envolvente, agem quatro forças: o peso da esferinha (P = m . g), a tração devida ao cordel (T), o empuxo de Arquimedes (A), devido a um gradiente de pressão ocasionado pelo peso do liquido e o empuxo de Newton (N) determinado pelo gradiente de pressão ocasionado pela inércia do líquido acelerado. Para destacar A e N lembramos que: se o liquido é água, por exemplo, a pressão da água no fundo do recipiente é maior que em seu topo e, a pressão na parede interna traseira é maior que na parede interna dianteira. 
Assim, na vertical, a força hidrostática é maior na base da esferinha que no seu topo e dai nasce A [detalhes na ilustração abaixo, em (a)]; na horizontal, a força nascida da pressão sobre a  esferinha é maior da esquerda para a direta do que da direta para a esquerda [detalhes na ilustração abaixo, em (b)], e a resultante delas é o empuxo N.

(a) Gradiente de pressão devido ao peso, forças decorrentes desse gradiente e sua resultante A;
(b) Gradiente de pressão devido à inércia, forças decorrentes desse gradiente e sua resultante N;
Destaque: A e g sentidos opostos; N e a, mesmos sentidos

 A componente de T, na vertical, é T.cosq e, na horizontal, é T.senq. 
Na vertical,  A + T.cosq  equilibram o peso P; temos:

P = A + T.cosq  {1}

Na horizontal N + T.senq constitui a resultante R:

R = N + T.senq  {2}

Sendo  P = m.g,  R = m.a  (m = massa da esferinha), de {1} e {2} vem:

  mg - A = T.cosq  {3} 
ma - N = T.senq  {4}

Dividindo-se, membro a membro, {4} por {3}, tem-se:

ma - N
                  --------- = tgq  {5}
mg - A

Recordemos que A tem intensidade igual ao peso do liquido deslocado, logo, A = m'.g; indicando-se por m' a massa do líquido deslocado pela esferinha.

Lembremos também, que o empuxo de Newton é dado pelo produto da massa de líquido deslocado pela aceleração do líquido, logo, N = m'. a.

Substituindo-se em {5} , A e N, respectivamente, por m'.g e m'.a, teremos:

o que faz do dispositivo em questão, também, um acelerômetro.

Perceba-se que, esse resultado (a = g.tgq), tanto para o acelerômetro (1) como (2), são independentes das densidades dos fluidos, das massas e dos volumes das esferinhas dos pêndulos. Por isso são chamados de acelerômetros: não importa formato, constituição, líquido, volume etc, conhecido g, a é função exclusiva de tgq (ou vice-versa).

Para o acelerômetro (3), vamos nos limitar ao equacionamento, visto ser análogo ao caso (2) :

Na horizontal : R = N - T.senq  {6}
Na vertical:      A = P + T.cosq {7}
De {6} e {7} vem:

(N - R)/(A - P) = tgq

Sendo  N=m'.a,  A=m'.g,  R=m.a  e  P=m.g  vem:

a(m' - m)/g(m' - m) = tgq   ou, novamente,  a = g.tgq

Os resultados mostram que os acelerômetros "terrestres" dependem de g, logo, num satélite em órbita ou zonas de imponderabilidade, eles não funcionam. O empuxo de Arquimedes desaparece (pois é apenas uma lei "prática", "terrestre", particular), pois não há mais as forças de campo. Os pêndulos ficariam com os cordéis 'frouxos “, pois não há quem os tracione!”.

Eis uma solução "elástica" para tais situações: uma bóia é mantida imersa num líquido por duas molas cujas constantes elásticas k são ajustadas para serem as mesmas em todas as direções.

Acelerômetro inercial. Forças em relação às 'estrelas fixas'

Nesse acelerômetro, a indicação será dada pelo vetor deslocamento d. Do diagrama vetorial obtemos:

R = N - k.d 
m.a = m'.a - k.d 
a(m'-m) =  k.d 

Sendo  m' = u'.V  e  m = u.V,  onde u' e u são, respectivamente, as densidades absolutas do liquido e da bóia, com  u' > u  e  V  o volume da bóia, vem:

a.V(u' - u) = k.d 
ou

k
a = -----------------.d
V(u' - u)
 

O deslocamento d pode ser alterado atuando sobre k, V, u' e u.

Fixados esses valores, a aceleração a (no sistema inercial) e d são diretamente proporcionais.

Ainda na Sala 05 - Dinâmica, desse 'site' você encontrará, para reforço, outras aplicações dos acelerômetros, incluindo-os na rotação uniforme. O empuxo de Newton é, assim, substancialmente ressaltado.

Respondendo à questão proposta
A questão, para pensar, colocada no início de nossas explanações, é agora facilmente respondida:

Primeira hipótese: No campo de gravidade devido à massa M (colocada no ponto B), todas as porções de nosso sistema (recipiente, água, cordel e bolinha) adquirem mesma aceleração, devido às forças de campo. No líquido não há gradiente de pressão, não há empuxo de Arquimedes ou de Newton. A configuração do cordel e bolinha é qualquer. 
Segunda hipótese: No caso do foguetinho, surge gradiente de pressão, devido à inércia da água, o empuxo de Newton empurra a bolinha para a DIREITA até que o cordel estique aplicando força T. A resultante de N e T acelera a bolinha para a direita.

O recipiente, a água, o cordel e a bolinha terão a mesma aceleração para a direita. Não há empuxo de Arquimedes.

Talvez alguém relute em não entender porque na primeira situação (forças de campo) não há empuxo de Newton, uma vez que o sistema está acelerado, e porque na segunda situação não há empuxo de Arquimedes.

Na primeira situação, todas as partículas da água já estão sob a ação de forças externas (decorrentes da ação das massas) e nenhuma quer ficar individualmente para trás (para obedecer ao princípio da inércia), por isso, não precisam ser empurradas quer pelas outras partículas de água ou pela parede "traseira" do recipiente. Não há forças normais 'de contato'. Cada partícula é independente por si só, apenas estão juntas por forças internas de coesão (que não determinam acelerações). Como as inércias dessas partículas já foram "vencidas" pelas forças de campo e já estão aceleradas, não há necessidade de alguma outra força (que seria o empuxo de Newton) para acelerá-las.

Na segunda situação, não há forças de campo. Cada partícula de água quer manter a velocidade atual (princípio da inércia). Para acelerá-la, a partícula de trás deve-lhe aplicar uma força normal (fluido não resiste a esforços tangenciais). A partícula que precede a de trás deve aplicar força normal de intensidade duplicada (pois tem que acelerar duas partículas) e assim sucessivamente, até que chega na parede "de trás", que tem que aplicar a força necessária para acelerar toda a massa de água.
Dessa distribuição de forças normais decorrentes das inércias das partículas de água é que surge o empuxo de Newton sobre a bolinha, pois para as partículas de água, não interessa quem vem pela frente, tudo se passa como se fosse água. Daí a expressão do empuxo de Newton. Se no lugar da bolinha houvesse água, de massa m', a resultante das forças nela, também seria m'.a.
O gradiente de pressão nasce da inércia da massa de água e não do peso da água; por isso não há empuxo de Arquimedes. Ressalte-se, ainda, que o sistema não está em equilíbrio.

Encerramos propondo uma situação mais "terrestre", simplesmente colocando nosso recipiente com o pêndulo de bóia dentro de um elevador em queda livre. Discuta essa situação.

Que o empuxo inercial de Newton lhe seja útil. Segue-se, nessa Sala, os exemplos para aplicação desse conceito "Empuxo de Newton" o qual, possivelmente, é inédito nos textos de Mecânica.
O autor agradece críticas e comentários sobre esse trabalho.

Veja na Sala 05 - Dinâmica, texto 31 os exemplos referentes ao Empuxo de Newton.