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A FÍSICA DE LILIPUT
(comparando forças: homem x gafanhoto)
(comparando velocidade: presa x predador)

 Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Introdução
Aceitemos sem maiores considerações as seguintes proporcionalidades, perfeitamente demonstráveis através de experimentos:

1) A força de resistência máxima que um osso longo suporta é proporcional à área de sua secção transversal. 
                                                                             [Fmáx. ~ Atransv.]

2) O peso de um animal é proporcional ao seu volume. 
                                                                                     [P ~ V]

3) A quantidade de calor que um animal homeotermo transfere ao meio é proporcional à área da sua superfície externa. 
                                                                                  [Q ~ Aext.]

4) A quantidade mínima de alimento que um animal homeotermo ingere é proporcional à quantidade de calor que ele transfere ao ambiente.  
                                                                                 [Qa.mín. ~ Q]

5) A área de uma superfície é proporcional ao quadrado de uma dimensão linear. 
                                                                                      [A ~ l2]

6) O volume de um sólido é proporcional ao cubo de uma dimensão linear. 
                                                                                      [V ~ l3]

7) A quantidade máxima de alimento que um animal consegue ingerir é proporcional ao seu volume. 
                                                                                 [Qa.máx. ~ V]

Idealizemos um experimento
Considere um cavalo. Aumentemos todas as suas dimensões lineares, por exemplo, de 10 vezes. Isto significa que a sua altura, o seu comprimento, a sua largura etc. são aumentadas de 10 vezes. Obtém-se, assim, um outro cavalo ampliado semelhante ao primeiro. O cavalo original e o cavalo ampliado são dois 'sólidos' semelhantes, geometricamente falando. Aumentamos, sem alterar as proporções --- temos um cavalo gigante com as mesmas proporções de um normal. 
Tudo isso parece-nos inteiramente possível. Contudo, algumas implicações imediatas desta ampliação torna muito pouco provável a existência  de um tal cavalo gigante no mundo em que vivemos. Podemos dizer que somos assim, homens, cavalos, cachorros etc., não por acaso, mas por que diferentes não poderíamos ser.

Analisemos, por exemplo, a conseqüência da ampliação sobre um osso longo. Se todas as dimensões lineares foram aumentadas de 10 vezes, certamente a área da secção transversal do osso ficou aumentada de (102) vezes. Isto significa que esse osso ficou em condições de suportar pelo menos um peso (102) vezes maior que aquele que suportava anteriormente. Contudo, o volume do cavalo, e portanto seu peso, aumentou de (103) vezes. Em suma, a capacidade de resistência do seu osso aumentou de (102) vezes, mas o seu peso o fez de (103) vezes. Com isso acorrerá uma sobrecarga pouco compatível com a sobrevivência deste gigante. Se a natureza resolvesse evoluir de um cavalo normal para um cavalo gigante, ela não aumentaria na mesma proporção todas as dimensões lineares; em relação ao osso longo, por exemplo, aumentaria em maior proporção o seu diâmetro do que o seu comprimento. Com isto não estaria obedecendo uma mesma escala de ampliação. O cavalo gigante proposto pela natureza não seria semelhante ao cavalo normal que conhecemos.
De certa forma, isto pode ser notado no elefante. A razão diâmetro/comprimento, de um osso longo, é sensivelmente maior no elefante do que no cavalo. 

Há assim pelo menos um motivo razoável para que não exista um cavalo gigante semelhante ao normal. E, o que acontecerá se diminuirmos todas as dimensões do cavalo normal, por exemplo, 10 vezes? Obteremos um cavalo anão semelhante ao normal, isto é, guardando as mesmas proporções. A sua existência é viável?

Todo animal homeotermo extremamente pequeno tem dificuldade de sobreviver. A razão é muito simples. Para manter sua temperatura constante o animal homeotermo elimina maior ou menor quantidade de calor através da pele; e para repor a energia térmica perdida através da pele, ingere alimentos. E é lógico, a quantidade de alimento que um animal é capaz de ingerir depende de seu tamanho. Não é razoável supor que um animal de massa 1 quilograma coma tanto quanto um elefante. Assim, a partir da idéia que o tamanho do animal é de tal maneira pequeno que a quantidade de alimento ingerido não é mais suficiente para repor a energia térmica perdida, a sua sobrevivência estará comprometida. Compreende-se então que os animais muito pequenos não sejam homeotermos; eles são poiquilotermos (será essa a nova nomenclatura? Poiqui = variável) ou animais de 'sangue frio'; a sua temperatura é praticamente igual à do ambiente que o cerca.

Mas, voltemos ao nosso cavalo. Dividindo-se as suas dimensões lineares por 10, a área da sua superfície externa ficará dividida por (102) e o seu volume por (103). Sendo A e V a área e o volume iniciais, teremos após a redução: 

                                       A' = A/(102)    e V' = V/(103)

E daí:

                                       A'/V' = [A/100]/[V/1000] = 10. A/V

O cavalo anão terá uma superfície corporal demasiadamente grande em relação ao seu volume ( a razão A'/V' é dez vezes maior que A/V ). Para o volume que passa a ter, a perda de calor é muito grande. O alimento ingerido poderá não ser  suficiente para contrabalançar a quantidade de calor eliminado; neste caso ele perecerá rapidamente. E, se for suficiente, a situação não será de tranqüilidade, pois, deverá estar constantemente se alimentando para compensar a proporcionalmente grande perda de calor através da pele. Aliás, é característica dos pequenos animais de 'sangue quente' (essa conotação popular é imprópria), como os ratos, a constante e irrequieta movimentação à procura de alimentos.

Então ...
Se a natureza fosse desenvolver um cavalo anão, certamente ela não o faria com as mesmas proporções do cavalo normal, para evitar a perda excessiva de calor (acima analisada). Daria uma forma tal que fizesse diminuir a área da sua superfície corporal. Para tanto tenderia a ter uma forma arredondada. Lembrem-se que para corpos de mesmo volume a esfera é o que possui a menor superfície externa. Estão se lembrando do porque o gado se amontoa nos dias frios? Porque o gato enrosca? Porque nós fechamos a mão e nos dobramos todo sob a coberta? É o modo encontrado para diminuir a área da superfície externa exposta. No frio ... o segredo é embolar!

NOTA: O mundo de Liliput, obra da imaginação, é o nosso mundo  com todas as dimensões lineares reduzidas cerca de 12 vezes. O homem de  Liliput seria semelhante ao homem normal, guardando as mesmas proporções; a sua altura seria, contudo, cerca de 15 cm.

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Comparando forças: homem X gafanhoto

Vivemos num mundo com enorme variedade de organismos vivos, cujos tamanhos se estendem desde aquele da minúscula célula (10-6cm) ao das grandes sequóias gigantes (102m). Reparem disso que, vivemos num mundo no qual os tamanhos dos organismos vivos se dispersam por oito ordens de grandeza.

As propriedades biológicas de um organismo, por sua vez, dependem explicitamente de suas extensões geométricas, a saber, comprimento, área superficial e volume. Para objetos com forma geométrica simples, tal qual o cubo, essas dimensões guardam entre si relações também simples. Assim, para um cubo de aresta L, teremos para sua área total o valor 6L2 e para seu volume o valor L3. Ainda sobre o cubo, o comprimento de sua aresta, L, é o seu 'comprimento característico'.
Conhecendo-se o 'comprimento característico', L, de um ser vivo, de modo geral, sua área total, A, e seu volume, V, podem ser expressos em função desse comprimento característico como:

A a L2   e   V a L3

Além disso, sabemos que, se um corpo for homogêneo (mesma densidade em todas suas regiões), sua massa, M, também será proporcional a seu volume (M a L3)(*).

Que se entende por mudança de escala, em nosso contexto? Ora, fazer uma mudança de escala significa alterar o 'comprimento característico' mediante um dado fator.  
Assim, se  L
è 2L  então A è 4A e V è 8V.

Sabemos que muitas propriedades biológicas de um organismo dependem da razão entre sua área, A, e seu volume, V, ou seja: A / V a 1 / L. Uma dessas propriedades é a capacidade do organismo vivo mover ou levantar uma dada massa. Esse é o confronto que pretendemos avaliar tomando, como contendores, o homem e o gafanhoto. Esse mesmo raciocínio servirá, junto com suas ressalvas, ao confronto homem / formiga, homem / pulga etc.
Entre tais ressalvas, salientamos a falta de rigor ao apresentarmos um 'comprimento característico' para um organismo vivo. O que se faz é optar por um valor que faça 'sentido físico' e que não se afaste de uma ordem de grandeza. Desse modo, não feriremos o 'sentido físico' e nem fugiremos da ordem de grandeza se adotarmos, para o homem, o 'comprimento característico' de 2m, para um cão de 1m e para uma formiga de 5mm.

Usemos desse conceito de 'comprimento característico' para a compreensão de alguns aspectos físicos do mundo biológico.

É popular dizer-se que um gafanhoto (ou uma formiga) é mais forte que um homem. Essa afirmação deriva do fato de que um gafanhoto consegue levantar objetos de cerca de 15 vezes seu próprio peso, enquanto que, um homem adulto, não treinado, consegue levantar objetos de cerca de 1 vez seu próprio peso. Como compreender isso usando o comprimento característico?

Uma 'pista' importante que devemos acrescentar é que a força, F, que um músculo pode desenvolver é proporcional ao número de fibras no músculo e, como esse número depende da área da secção reta do músculo, podemos escrever que: F a L2 (**)

Para comparar a força desenvolvida por organismos de tamanhos diferentes, iniciemos por dividir a intensidade dessa força pela sua própria massa. A esse quociente vamos nomear por "força específica", Fe: Fe = F / M (***)
Para saber como essa forca específica, Fe, se relaciona com o comprimento característico, L, vamos levar os resultados (**) e (*) na (***); teremos:

Fe a 1/L

Adotando-se L = 2m para o homem e L = 2cm para o gafanhoto vem:

Fe,gafanhoto / Fe,homem = 100

Obviamente que essa estimativa não deu (e nem poderia dar) aquele esperado valor 15 para tal quociente, como se sabe ser verdade.
As diferenças decorrem das rudes estimativas adotadas. Nosso cálculo, por exemplo, não contabiliza o fato dos humanos usarem a sua capacidade muscular com mais eficiência que os gafanhotos (se essa afirmação for um tanto exagerada peço desculpas aos gafanhotos). 
A (**), por exemplo, na qual colocamos F
a L2 , requer crítica. 
Um amigo, do grupo de discussão Ciencialist, comenta:

"Vejamos a situação de um mesmo músculo em uma mesma pessoa. Quando alguém se exercita e desenvolve sua musculatura, o comprimento dos músculos não aumenta, a região de origem e inserção dos músculos continuam no mesmo lugar. O que aumenta é a espessura do músculo. Tentar extrapolar isso para organismos diferentes então, deixa a coisa mais complicada e tanto mais complicada quando não podemos nem mesmo garantir a homologia (isto é, origem evolutiva comum) entre as estruturas (como no caso dos músculos da perna de um gafanhoto e de um atleta olímpico)."

Todavia, nossa estimativa deixou algo bem claro, os modelos que usamos na Física são consistentes com o fato dos gafanhotos levantarem coisas bem mais pesadas do que os humanos o fazem.

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Confrontando velocidades: presa X predador

Introdução
Usemos o conceito de comprimento característico para analisar a velocidade de corrida dos mamíferos. 

Comparando
Para um mamífero se movimentar com velocidade constante deve ocorrer uma conversão de energia cinética em calor (ou seja, numa outra forma de energia de menor qualidade, degradada, no sentido que não pode ser aproveitada). No caso do ser humano, por exemplo, as sucessivas acelerações e desacelerações das pernas (com cerca de 30% da massa total do corpo) durante o movimento, para permitir o avanço de todo o corpo, requer uma grande transformação de reservas energéticas químicas em calor.

O trabalho realizado pelas pernas de um mamífero ao correr é dado por:

T = F.d = (1/2).m.V2 

onde F é a intensidade da força muscular aplicada, d é a distância durante a qual o músculo se desloca em cada passada e m é a massa dos músculos da perna. Como vimos na divulgação anterior a intensidade da força é proporcional ao quadrado do comprimento característico L, a distância d é proporcional a L (mamífero maiores possuem uma passada maior) e a massa a L3. Assim podemos ver que:

V2 = (2.F.d)/m a  (L2 .L)/L3 = Cte. 

A equação anterior diz-nos, pois que a velocidade de um mamífero deverá ser independente do seu tamanho. A Tabela a seguir mostra que esta conclusão é aproximadamente correta dentro de um fator de 2 para mamíferos que se movimentam sobre quatro patas.

Velocidades de corrida de alguns mamíferos

Animal

chita

gazela

raposa

cavalo

coelho

lobo

galgo

homem

V (m/s)

30

28

20

19

18

18

16

11

Se as velocidades de corridas não fossem mais ou menos independentes do tamanho dos animais, então o equilíbrio natural entre presas e predadores seria quebrado. Repare-se que o coelho e o lobo possuem mais ou menos a mesma velocidade de corrida, sendo isso também verdade para a gazela e a chita. Os humanos não são corredores muito eficientes, pois o seus músculos propulsores estão apenas localizados em duas pernas, aumentando, assim, a massa que é acelerada e desacelerada no processo de corrida. Os animais mais rápidos são os que possuem pernas longas e finas, com a massa muscular localizada no corpo. Esta diferença entre corredores de duas e quatro pernas, leva-nos ao conceito de semelhança física.

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