16
em 1 ... o M.H.S.
(movimento
harmônico simples)
Prof. Luiz Ferraz
Netto
leobarretos@uol.com.br
Introdução
O movimento harmônico simples
pode ser examinado sob vários pontos de vista e, sem dúvida, muitos
textos já os exploraram, culminando com exemplos físicos para esse
tipo de movimento. Entretanto, como tenho observado, os professores
do ensino médio assim como os do curso fundamental universitário,
restringem-se quase que exclusivamente ao sistema massa-mola ou então
ao pêndulo simples executando oscilações de pequenas amplitudes.
Isso parece-me um tanto injusto com a natureza das coisas, uma vez
que, tal lei de movimento aparece em muitos outros campos da física,
pelo menos dentro de uma boa aproximação. O propósito desse texto
é chamar a atenção para esse fato e, talvez, tornar-se útil para
aulas introdutórias tanto a nível médio como fundamental universitário.
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Descrição
Colecionei aqui 16 fenômenos distintos lastrados na lei
fundamental do MHS (aceleração proporcional à elongação,
com sinal trocado). Alguns deles são bem conhecidos, outros menos.
Nem todos os fenômenos são independentes um do outro; todos os
sistemas elásticos, por exemplo, executam vibrações que, no fundo,
são devidas à lei de Hooke. Do ponto de vista prático, entretanto,
eles podem ser considerados como distintos e assim, foi listado como
tal. No fechamento do texto, apresento um sistema famoso, cujas vibrações
não são harmônicas simples, embora à primeira vista possam
parecer como tal. Isso foi posto para despertar no leitor que, embora
o MHS seja muito comum, nem todas as vibrações que observamos,
mesmo no dia-a-dia, sejam desse tipo. As vibrações consistem, de
fato, num assunto muito interessante e rico em detalhes. [voltar]
Condições
de contorno
Em todos os casos foi assumido que o sistema apresenta apenas um grau
de liberdade, isto é, apresenta uma única coordenada executando o
MHS. Portanto, fenômenos que envolvam vibrações como as que vemos
num diapasão ou na superfícies dos líquidos quando perturbadas,
embora próximos do movimento harmônico simples, não foram incluídos
na coleção porque eles envolvem sistemas contínuos, ou seja,
apresentam um número infinito de graus de liberdade. Esses serão úteis,
outrossim, para o estudo das ondas.
Também foi pressuposto que não ocorre qualquer dissipação de
energia no sistema abordado; isso, em alguns exemplos citados, é até
bem plausível, em outros, como o de um corpo imerso em um líquido,
essa suposição não se justifica no todo, uma vez que as vibrações
serão rapidamente amortecidas.
Outro pressuposto refere-se à amplitude das oscilações, as quais
tomaremos como suficientemente pequenas, de modo que o sistema
apresente comportamento linear. [voltar]
Ilustrações
Em cada caso a figura dá os parâmetros físicos relevantes do
problema, assim como qual é a coordenada que executa o movimento
medida a partir da posição de equilíbrio. A propriedade de
destaque do sistema, nomeada de 'constante de força, na equação
fundamental do MHS (aceleração = - 'constante de força' x
coordenada em MHS), que traduz o 'quadrado da pulsação' (em
radianos/segundo) ou o 'quadrado da freqüência angular' é, também,
apresentada nessa ilustração, em termos das constantes físicas do
sistema. [voltar]
Técnica
das demonstrações
O aluno do ensino médio poderá estranhar 'um pouco' a técnica para
a obtenção da propriedade de destaque do sistema oscilante; o do
ensino superior reconhecerá imediatamente ser um 'caminho natural'.
Isso advém do fato de que o aluno do ensino médio 'aprende' o
movimento por vias cinemáticas e, para ele, é 'natural' a seqüência:
lei horária (definindo o movimento), lei da velocidade e lei de
aceleração, passando da anterior para a posterior por derivações
sucessivas: v = ds/dt e a = dv/dt = d2s/dt2.
O aluno do ensino superior assume como 'natural' o caminho inverso
(tratamento dinâmico), que é o aqui adotado. A técnica, portanto,
resume-se em:
(a) reconhecer as forças que agem no corpúsculo em sua posição de
equilíbrio;
(b) afastar, ligeiramente, o corpúsculo dessa posição de equilíbrio
(afastamento linear ou angular);
(c) caracterizar a resultante das forças que agem no corpúsculo
como sendo de restituição, do tipo elástica; (d) aplicar o princípio
fundamental da dinâmica (2a lei de Newton - para translação
ou rotação);
(e) obter a aceleração (linear ou angular) em função do
deslocamento dado ao corpúsculo.
A (e) deve resultar em "aceleração é diretamente proporcional
ao deslocamento, com sinal oposto". A 'constante de
proporcionalidade' nessa expressão é a nossa "constante de força
do sistema" ou o "quadrado da pulsação do
movimento". Nessa técnica, por simplicidade de notação
usaremos, quando necessário, por exemplo,
Uma
vez obtido o "quadrado da pulsação" (w2),
que caracteriza o movimento em função das constantes do sistema
oscilante, poderemos equacionar o período de movimento (T),
mediante: T = 2p/w.
Os exemplos 'menos famosos' serão analisados com alguns detalhes. [voltar]
Propósito
e agradecimento
Obviamente, esta coleção
pode ser ampliada (e, para tanto aguardo participações) para
incluir muitas variações dos casos apresentados, como por exemplo,
o do cilindro que rola sobre uma curva côncava, em lugar de uma
superfície plana. O propósito da coleção não é tanto investigar
o comportamento físico de cada sistema (para isso há os compêndios
apropriados, e não estranharia encontrá-los na www --- os quais
incluirei aqui assim que descobri-los!) e sim enfatizar a analogia
matemática entre eles.
Agradeço a todos que vierem a colaborar com a ampliação desse
texto, enviando críticas e sugestões.
Espero que encontrem utilidade para o trabalho. [voltar]
Elasticidade
Observe
atentamente que g (aceleração da gravidade) não interfere nas
oscilações próprias do sistema. Há alunos que concordam de
imediato, tratar-se de um MHS, quando o bloco oscila na horizontal,
sobre a mesa lisa, mas relutam em aceitá-lo quando oscila na
vertical, "por causa do peso". Para excluir, por
definitivo, essa relutância, recomendo a leitura do texto posto na
Sala de Textos Selecionados (Sala 19), com o título: Período
de oscilação.
T
é a tração na corda, constante durante as oscilações de pequenas
amplitudes, isto é, nas situações onde podemos aceitar as
substituições: senq =q e
cosq = 1. Para
tais situações, perceba que a força de restituição sobre a partícula
de massa m, deslocada de x de sua posição de equilíbrio é T(x/b +
x/a) de modo que:
T(x/b
+ x/a) = -m.g = -
m.(d2x/dt2)
logo:
d2x/dt2 = - (T/m)(1/a + 1/b).x ==> k =
w2 =
(T/m)(1/a + 1/b) , como se indica na ilustração acima.
Especificamente,
I é o momento de inércia polar da secção reta da barra, que é
constante.
O
disco circular apresenta momento de inércia I em relação ao eixo
de rotação; J é o momento de inércia polar da secção circular
transversal do eixo de diâmetro d. Importante não confundir
'momento de inércia polar J da área (cuja dimensão é comprimento2)
com o 'momento de inércia I da massa (cuja dimensão é forçaxtempo2xcomprimento).
Os
fenômenos elásticos aplicados aos gases estarão sob o título 'Acústicos'.
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Gravitacionais
g = aceleração local da gravidade
(6)-
Pêndulo matemático (ou simples): Embora este exemplo
de movimento seja bem conhecido, provavelmente o mais conhecido de
todos, vale a pena analisa-lo uma vez que serve de 'âncora' para
ilustrar o fato de que o comportamento harmônico simples de todos os
sistemas é só uma aproximação; uma boa aproximação, baseada na
suposição de 'oscilações de pequenas amplitudes'.
Assumindo-se
como a coordenada em questão como sendo q
= q(t), sendo
q
o ângulo de deflexão com a
vertical (algumas vezes essa coordenada é tomada como sendo a projeção
horizontal x = x(t)), e tomando os momentos das forças assim
como os momentos de inércia em relação ao pivô podemos, aplicando
a segunda lei de Newton para as rotações [resultante dos momentos
das forças = momento de inércia vezes aceleração angular],
escrever:
... eq.(6.1) ...
Agora
podemos expressar senq
como uma série de potências
que converge para todos os valores de q,
isto é:
... eq.(6.2) ...
Se q
é suficientemente pequeno
(mais precisamente, se todas as potências mais altas de q
são desprezíveis em comparação
com q)
então, para uma aproximação, podemos substituir senq
por q
e a eq.(6.1) torna-se:
... eq.(6.3) ...
Que
é a exata equação diferencial do M.H.S., o que implica numa freqüência
angular w
= (g/l)1/2 e período T
= 2p(l/g)1/2
, ambos independentes das condições iniciais e, em
particular, da amplitude do movimento.
Porém, se q
não é pequeno, deveremos
levar em conta cada vez mais termos na eq.(6.2) o que levará a uma
equação de movimento, eq.(6.3), não-linear.
A eq.(6.1), como sabemos, não possui uma solução que possa ser
posta em termos de funções 'elementares', requerendo o uso de funções
elípticas (que é meramente outro modo de se dizer que não podemos
'explicitar' a solução). Como resultado final, fica patente
entretanto, que o movimento, embora periódico, não é harmônico
simples e, uma conseqüência disso é que a freqüência (e portanto
o período) dependerá da amplitude --- um contraste marcante com o
caso linear expresso pela eq.(6.3).
Isso
nos leva a ver que, as observações de Galileu sobre o isocronismo
das oscilações do lustre na catedral de Pisa (que tanto o
impressionou!), não eram tão certas assim, afinal de contas!
Teoria
padrão, comum nos livros de Física.
(9)-
Cilindro não-homogêneo oscilando sobre superfície
horizontal lisa: tomando-se os momentos em relação ao ponto A, eixo
instantâneo de rotações, teremos, pela segunda lei de Newton para
as rotações:
mas,
pelo teorema dos eixos paralelos, IA = IO + mz2
fica:
Agora,
para pequenos ângulos de rotações, para os quais valem cosq
~ = 1 e senq
~ = 0, fica:
(10)-
Partícula caindo através do túnel que passa pelo
centro da Terra: é bastante conhecido que uma partícula que cai
livremente dentro de uma massa com simetria esférica, só é atraída,
efetivamente, pela porção de massa que a separa do centro dessa
esfera.
Isso pode parecer estranho a alguns alunos, por 'acharem' que ficarão
mais pesados quanto mais se aproximarem do centro da Terra; mas, é fácil
dissipar o derivado do senso comum. Quando se está 'fora' da Terra o
peso de seu corpo pode ser pensado como uma só força, agindo num único
sentido, e proveniente de toda a massa da Terra concentrada em seu
centro. Quando se está 'dentro' da Terra, a força de atração das
massas não se exerce num único sentido e sim em todos os sentidos.
Seu corpo será 'puxado' para baixo pelas massas que se encontram sob
ele e, simultaneamente, atraído para o alto pelas massas que se
encontram sobre ele. Na verdade, só a massa que se encontra entre o
corpo e o centro da Terra terá importância para a avaliação do
'atual' peso do corpo. Ao chegar ao centro da Terra o peso do corpo
será zero uma vez que será atraído, em todos os sentidos, por forças
que se equivalem.
Desse
modo, se a distância da partícula (m) até o centro da Terra é r,
a força gravitacional efetiva que age sobre ela será dada por:
FG = G.M'.m/r2
onde
M' é a massa da esfera de raio r. Agora, assumindo que a
Terra apresente uma distribuição uniforme de massas, podemos por:
de
modo que a equação diferencial de movimento (com coordenada r)
assumirá a forma:
Mas,
por definição, a aceleração da gravidade nos pontos da superfície
da Terra é g = GM/R2 e, então, substituindo-se,
temos:
w2
= g/R
Assumindo-se
os valores g = 9,81 m/s2 e R = 6,37x106 m, o
período de oscilação da partícula dentro desse túnel será:
T = 2p/w
= 5 070 s = 84,5 minutos
Curiosamente,
isso vale para qualquer túnel que atravesse horizontalmente a Terra
segundo uma corda. Obviamente desprezando-se a resistência do ar ao
movimento e considerando-se as condições de contorno da demonstração.
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Acústicos
(11)-
Pistão oscilando no cilindro cheio de gás: O módulo
de compressão volumétrica do gás é dado por:
... eq.11.1 ...
onde
V é o volume de equilíbrio, DP
é a variação de pressão ao redor da pressão de equilíbrio e DV
é a correspondente variação de volume. No caso proposto, DP
= P - Po é a pressão acústica, isto é, o excesso da
pressão instantânea P sobre a pressão de equilíbrio Po(normalmente
a pressão atmosférica Patm.).
Se
A é a área da seção reta do pistão e x = x(t) é o deslocamento
medido a partir da posição de equilíbrio teremos, para a equação
de movimento do pistão:
... eq.11.2 ...
Da
eq.11.1 tiramos: DP
= - B.DV/V,
que levada na eq.11.2 fornece:
 ...
eq.11.3 ...
A
variação de volume (DV)
pode ser posta sob a forma: DV
= A.x, e teremos:
 ...
eq.11.4 ...
Observamos
novamente, pela eq.11.4, a lei de movimento do MHS e, da qual
tiramos:
 ...
eq.11.5 ...
Na
prática, podemos distinguir dois casos: um para o processo isotérmico
e outro para o adiabático. Esse último é normalmente o caso
que se aplica aos fenômenos acústicos onde as variações de pressão
são muito rápidas, de modo que toda troca de calor é negligenciável.
No
caso do processo ser isotérmico teremos:
 ...
eq.11.6 ...
Donde,
 ...
eq.11.7 ...
Dessa
última e da eq.11.5 tiramos:
 ...eq.11.8
... "quadrado da pulsação no processo isotérmico".
No
caso do processo ser adiabático teremos:
 ...
eq.11.9 ...
onde g é
a razão entre os coeficientes dos calores específicos à pressão
constante e a volume constante (g = cp/cv).
Então:
 ...
eq.11.10 ...
Dessa
última e da eq.11.5 tiramos:
 ...eq.11.11...
"quadrado da pulsação no processo adiabático".
(12)
O ressoador de Helmholtz : Nesse exemplo, o pistão
indicado na (11) será substituído por um 'pescoço' de
comprimento l
e área da seção reta A.
Se assumirmos que toda a massa de ar contida nesse pescoço mova-se
como um todo (para fazer as vezes de pistão), e assim o sistema
apresentará apenas um grau de liberdade, poderemos substituir
essa massa do 'pistão' por m = r.l.A
, de modo que, pela eq.11.5 vem:
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Hidrostáticos
(13)
Líquido oscilando em tubo em U : Para um deslocamento genérico
x da superfície do líquido, contado a partir da posição de
repouso (equilíbrio), a resultante das forças que age sobre a massa
total oscilante é: - 2.r.A.g.x
, onde r é
a massa específica do líquido e A a área da seção reta do tubo,
suposta constante. Essa resultante acelera toda a massa líquida que
vale : 2.r.A(h+d).
A equação diferencial de movimento será:
(14)
Cilindro flutuando em líquido : Na situação de equilíbrio,
indiquemos por: rL
e rs
as massas específicas, respectivamente, do líquido e do cilindro (sólido);
V e V' os volumes total e da parte imersa do sólido. Pelo princípio
de Arquimedes pomos:
... eq.14.1 ...
expressão
que traduz o equilíbrio entre o peso do corpo sólido e o empuxo
despertado sobre ele.
A seguir, damos um pequeno deslocamento vertical (x - medido na
vertical para cima) ao cilindro, retirando-o da situação de equilíbrio
estático. Nessa situação, a resultante das forças sobre ele, na
vertical, assume o valor:
... eq.14.2 ...
mas,
pela eq.14.1, o primeiro e o terceiro termo cancelam-se, e a equação
diferencial de movimento do corpo será:
Esse
resultado pode ser expresso de outro modo, lembrando que, sendo a
massa do corpo igual a 'rs.A.h',
sendo h a altura do cilindro, podemos por:
... eq.14.5 ...
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Elétricos
(15)-
Circuito Indutância-capacitância : Este circuito elétrico
foi acrescentado à lista com o propósito de destacar a questão das
'analogias' existentes entre os sistemas mecânicos e os circuitos elétricos.
Entenda-se por sistemas 'análogos' aqueles cujas equações
diferenciais do movimento são matematicamente as mesmas. Quando isso
acontece, os termos correspondentes nas equações diferenciais do
movimento são análogas.
O
encaminhamento básico para estudar os circuitos elétricos
equivalentes aos sistemas mecânicos são as leis de Kirchhoff:
1a lei (das tensões): A soma algébrica de todas as tensões
em qualquer percurso elétrico fechado (malha) é igual a zero;
2a lei (das correntes): A soma algébrica de todas as
correntes que passam por um nó é igual a zero, em qualquer
circuito.
Há
duas analogias elétricas para os sistemas mecânicos: (a) a analogia
'tensão-força' (ou indutância-massa) e (b) a analogia
'corrente-força' (ou capacitância-massa).
Para a maioria dos sistemas usa-se da (a). O quadro, a seguir, mostra
ambas as analogias:
| Sistema Mecânico |
Sistema Elétrico |
Sistema Elétrico |
| Analogia |
Tensão-força |
Corrente-força |
| Princípio
D'Alembert |
1a
lei Kirchhoff |
2a
lei Kirchhoff |
| Grau de
liberdade |
Malha |
Nó |
| Força
aplicada - F |
Tensão - U |
Corrente -
i |
| Massa - m |
Indutância
- L |
Capacitância
- C |
| Deslocamento
- x |
Carga - q |
f =
(integral)U.dt |
| Velocidade
- dx/dt |
Corrente -
i |
Tensão -nó-
U |
| Amortecimento
- c |
Resistência
- R |
Condutância
- 1/R |
| Mola - k |
1/capacitância
- 1/C |
1/indutância
- 1/L |
Regra
para circuitos elétricos equivalentes aos sistemas mecânicos:
"Se as forças atuarem em série no sistema mecânico, os
elementos que representam essas forças são associados em paralelo;
forças em paralelo são representadas por elementos em série,
em circuitos elétricos."
Nota:
A fim de que a analogia elétrica seja completamente equivalente ao
sistema mecânico em questão, é usada a análise
dimensional para obter a escala correta de fatores, para que
os dois sistemas fiquem idênticos. Os 'números', a seguir, podem
ser obtidos da análise dimensional:
Posto
isso, vamos mostrar as analogias entre os sistemas (1- massa-mola) e
(15- indutância -capacitância). Usaremos do texto e das ilustrações,
a seguir:
"Um
circuito elétrico contém um capacitor C, um indutor L e uma chave
interruptora ch, em série.
O
capacitor tem, inicialmente, uma carga qo e a chave ch é
mantida aberta para t < 0. Se a chave é fechada em t = 0, achar a
carga subseqüente no capacitor."
Usando
a 1a lei de Kirchhoff para a malha em questão temos:
Compare
esse circuito elétrico (a) com o sistema massa-mola (b), com um grau
de liberdade.
A equação desse movimento, como vimos é:
onde
xo é o deslocamento inicial (amplitude) da massa m a
contar da posição de equilíbrio estático.
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Extras
(16)
Prancha sobre cilindros : Uma prancha horizontal repousa em A
e B sobre dois roletes (cilindros), os quais giram com mesma
velocidade angular w,
porém em sentidos opostos (A horário, B anti-horário).
De início a prancha homogênea está centrada entre os dois roletes,
ou seja, o CG da prancha coincide com o ponto médio entre os dois
apoios. A distância entre os eixos dos roletes é 2a. A prancha
encontra-se em repouso (equilíbrio), e a distância do CG a qualquer
dos apoios é a.
Nessa situação, tomando-se B como pólo para os momentos das forças,
as equações de equilíbrio são:
FA + FB
= P (1a condição) e FA.2a -
P.a = 0 (2a condição)
donde
resulta:
FA = FB = P/2
A
seguir, vamos dar um pequeno deslocamento horizontal x para a
prancha, retirando-a de sua condição de equilíbrio. Como o CG
desloca-se de uma distância x para a direita (vide ilustração), a
força de atrito em B será maior do que em A, tendendo a restituir a
prancha à sua posição inicial (a resultante das forças sobre a
prancha é de restituição). A seguir, mostraremos que essa
resultante é também do tipo elástica, ou seja, seu módulo é
proporcional ao deslocamento. Vejamos:
O
equilíbrio na vertical e os momentos tomados em relação a B nos
fornecem:
onde
P = m.g é o peso da prancha e FA e FB
são as forças verticais para cima exercidas pelos roletes contra a
prancha.
Da eq.16.1 e da eq.16.2 tiramos:
As
forças de atrito despertadas em A e B serão, como sabemos,
proporcionais às forças FA e FB, ou sejam: fat.A
= m.FA
e fat.B = m.FB
, tendo mesma direção (horizontal) e sentidos opostos (ambas
dirigidas para o CG). Assim, a resultante das forças que agem sobre
a prancha será:
Obtida
a resultante, função de x (e observe que seu módulo é
proporcional ao deslocamento), a equação diferencial de movimento
da prancha será:
... eq.16.5 ...
o
que implica num MHS, com freqüência angular dada por:
... eq.16.6 ...
Se
os roletes girassem em sentidos opostos ao indicado nas ilustrações,
a situação seria bastante diferente. A nova resultante será:
... eq.16.7 ...
e
a equação diferencial de movimento torna-se:
... eq.16.8 ...
que
apresenta solução hiperbólica do tipo:
... eq.16.9 ...
onde
A, B, C e D são constantes e
... eq.16.10 ...
A
natureza do movimento, nessa última situação, depende
essencialmente das condições iniciais, isto é, dos valores de x e
de dx/dt no instante t = 0, uma vez que esses valores determinarão
as constantes A e B (ou C e D). Observe a possibilidade que, para x =
0, o equilíbrio é instável.
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17- Oscilador
não-harmônico simples: Considere
a roda de raio a girando com velocidade angular constante w.
A um ponto de sua periferia
está pivotado um extremo do eixo de manivela de comprimento l
,que pode girar livremente. O
outro extremo dessa manivela é vinculado e obrigado a percorrer o
eixo x, que passa pelo centro da roda.
Em vários compêndios o movimento desse extremo do eixo de manivela,
vinculado ao eixo x, é assumido como MHS. Entretanto, esse extremo,
apesar de realizar um movimento periódico de freqüência angular
(ou pulsação) w,
não é harmônico simples.
Já fizemos alguns comentários sobre isso no projeto "Figuras
de Lissajous em 3D" da Sala 10.
Mostraremos mais, sobre isso, a seguir:
(17)
Movimento do extremo da manivela : Tomemos como eixo dos x a
linha ao longo da qual desloca-se o extremo direito da manivela, com
origem no centro da roda ou biela. As coordenadas desse ponto extremo
será (x,0). Com isso teremos:
... eq.17.1 ...
Resolvendo
essa equação para x = x(t) obtemos:
... eq.17.2 ...
Uma
vez que  ,
haverá valores reais para x desde que a condição 
seja satisfeita. A eq.17.2 mostra que o movimento é periódico com
período T = 2p/w,
mas não é harmônico simples, exceto em dois casos extremos:
(a)
Quando l =
a, teremos as soluções x = 0 ou x = 2a.cosw
t, MHS de amplitude 2a.
(b) Se l >>
a (muito maior que a), de modo que tenhamos l
/ a >> 1, teremos a partir
da eq.17.2 os seguintes resultados aproximados:
x = a cosw
t + l
e
x = a cosw
t - l
O
que indica um MHS com amplitude a, mas com posição de equilíbrio
deslocada em relação ao centro da roda.
[voltar]
|
