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Mudança de referenciais
(Coordenadas cartesianas - parte 2)

............. Em construção ..........

Transformadas no plano
No mesmo plano, consideremos dois referenciais (Oxy) - (versores i, j) e (O'x'y') - (versores i', j'). Seja
j  o ângulo entre i e i' , conforme ilustramos:

Da figura obtém-se imediatamente as equações de transformação:

i' = cos j.i + sen j.j
 j' = -sen
j.i + cos j.j

Se for adotado vetor unitário (versor) normal ao plano, é ele evidentemente k' = k.
Se o ângulo 
j   variar com o tempo, o referencial (O'x'y') gira em relação ao referencial (Oxy) com velocidade angular   w = dj\dt , w = w.k = w.k' (vale a Regra da Mão Direita, RMD).

Os vetores  i'  e  j'  giram:

Vetor de intensidade constante
É o caso, por exemplo, do raio-vetor   r = CP  de um ponto P que se move mantendo-se eqüidistante de um ponto fixo C:

r = CP = P - C    com |r| = CP = constante

A direção do vetor  pode variar; então, P  percorre trajetória qualquer em superfície esférica de centro C e raio |r| = CP. Sem prejuízo na validade geral da conclusão, examinemos um caso particular simples. 

Movimento circular (caso particular)
Um ponto P descreve circunferência de centro C e raio r; a velocidade angular no instante t é  w = dj/dt , w = w.k. Os vetores w e v  seguem a regra da Mão Direita (RMD).

Nas figuras acima (perspectiva e planta) ilustramos o movimento circular no plano xOy. Observem-se, em P, os vetores unitários  t  (tangente) e  (normal). O raio-vetor  r = CP = P - C  pode ser representado na forma  r = -r.n,  com  r = |r|.  No detalhe, chamamos a atenção, que o diagrama vetorial só é correto na imaginação, no limite com  P' ==> P. A velocidade  tem a direção de  t : v = v.t , com sentido igual  (v > 0) ou oposto (v < 0).

O ponto P tem velocidade escalar linear  v = w.r , velocidade vetorial  v = w ^ r  w ^ r  (^ indica produto vetorial). Recordemos: na figura do detalhe acima, arco diferencial  (PP')arco = CP.dj  e deslocamento (PP')corda= (PP')arco.t , logo:  (PP')corda = CP.dj.t  ou  dr = r.dj.t .

Velocidade:  v = dr/dt,  e como  dr = r.dj.t   vem  v = r.(dj/dt).t = r.w.t .

Sendo t = n^k , vem  v = r.w.n^k = (r.n)^(w.k) ; invertendo a ordem dos fatores: v = (w.k)^(-r.n) [cuidado com as inversões em produtos vetoriais!].

Assim, concluímos o estudo vetorial da velocidade:  v = w^r   ou   dr/dt = w^r .
Nota: Esta propriedade estende-se a toda função vetorial  f(t)  de módulo constante. Tal vetor  f(t)  só pode variar mudando de direção: ele gira, logo possui velocidade angular 
w ; sua derivada temporal é df/dt = w^f.

Retornemos ao movimento circular de P e determinemos sua aceleração total:

v = w^r   ==>     a = ==>     a = dv/dt = d(w^r)/dt       ou
atotal = (d
w/dt)^r  +  w^w^(dr/dt)

A velocidade de rotação do vetor  CP = r  é  w = w.com  k  constante. A correspondente aceleração angular é escalarmente  g = dw/dt , é vetorialmente  g = dw/dt :

g = d(w.k)/dt = (dw/dt).k    ou     g = g.k
temos pois,    atotal =
g^r  +  w^v    ou ainda    atotal = g^r  +  w^(w^r)

Examinemos cada termo:

(primeiro termo) ==>    g^r  =  g.k^(-r.n) =  g.r.t  =  at

Esta é a aceleração tangencial de P; ela concorda com  se  g > 0, opõe-se a  t  se  g < 0. Em movimento uniforme ela é nula (g = 0).

(segundo termo) ==>    w^(w^r) = (wxr).w  -  (wxw).r

No caso particular presente é  w _|_ r , logo  w x r  = 0 ; resta:

(wxw).r = -w2.r = w2.r.n = an   ou  an = (v2/r).n

Esta é a aceleração normal (centrípeta) de P; ela é sempre concorde com o versor normal  n , é sempre dirigida para o centro C da trajetória de P.
No geral, em xOy, teremos:

atotal = atangencial + anormal

Caso particular: O vetor v(t) tem módulo constante se o movimento for uniforme. Neste caso é:

dv/dt = w^v , logo,  atotal = w^(w^r) w^(w^r) ,  portanto   atotal = acentrípeta = w2.r.n

A aceleração total resume-se na aceleração normal (centrípeta) an .
Coerência:
w = constante  ==>  g = 0  ==> atangencial = 0  ==>  atotal = anormal .

Fórmulas de Poisson (Parte 3)

Consideremos dois referenciais cartesianos: |A (AXYZ)  e |R (Rxyz). Por exemplo, |A (referencial do observador [A]) fixo nas galáxias, e |R (referencial do observador [R]) fixo em espaçonave.

... continua em construção ...

 


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