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Mudança
de Referencial na Dinâmica
(Parte
5)
Lei
da Inércia
Propomos uma pergunta: Qual é a aceleração de um
semáforo ? Resposta: Depende do referencial.
Examinemos
a questão. O semáforo situa-se no eixo de uma avenida reta de mão única
de oeste (W) para leste (E). Na avenida fixa-se o referencial absoluto |A,
com eixo AX dirigido de W para E; o vetor unitário (versor) é i. A
avenida é percorrida por um carro ao qual se fixa o referencial relativo |R
com eixo Rx || AX; o vetor unitário é i = I.
O
movimento de arrastamento, isto é, o de |R em relação a |A,
é reto e translatório (ilustração abaixo). A aceleração complementar
é nula ac = 0.
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Referenciais |A e
|R; semáforo S
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Formalizemos:
Em |A o semáforo S é fixo; sua velocidade é permanentemente nula:
vabs = 0; sua aceleração é nula aabs=
0.
Velocidades:
vabs= vrel+ varr
logo:
vrel= - varr
Acelerações:
aabs= arel+ aarr + ac
logo:
arel= - aarr
Examinemos
alguns casos particulares onde exemplificamos com alguns valores numéricos:
a)
Semáforo verde, o carro passa com velocidade varr =
+12.i m/s, constante; aarr= 0.
Semáforo:
arel= 0; vrel= -12.i m/s
b)
Semáforo vermelho, carro decelera com aarr = -3.i
m/s2.
Semáforo:
arel= +3.i m/s2; vrel
= (-12 + 3.t).i m/s
c)
Semáforo verde, carro parte com aarr= +2.i
m/s2.
Semáforo:
arel= -2.i m/s2; vrel
= -2.t.i m/s.
Em
resumo: O semáforo S tem aceleração zero no caso (a), aceleração
+3.i m/s2 no caso (b) e -2.i m/s2 no
caso (c). A aceleração do semáforo S depende do referencial.
Partícula
isolada é partícula livre de qualquer força de interação. Não
é realizável, mas pode ser imaginada. Deve ser livre de atração
gravitacional, de forças eletromagnéticas (inclusive pressão de radiação)
e de forças nucleares. Admite-se que tal partícula tenha aceleração
nula em relação a referencial galático |A, referencial do
observador [A].
É
o que afirma a Primeira Lei de Newton,
a Lei da Inércia: "Partícula isolada tem aceleração
nula". Fica subentendido nessa afirmação que o referencial seja galático
|A, ou galileano |G, este em translação reta e uniforme em
relação a |A (aarr= 0; w
= 0).
Tanto
em relação a |A como em relação a |G vale a Lei da Inércia;
por isso, os referenciais das classes |A e |G, e só eles, são
chamados “referenciais inerciais”.
Modernamente,
interpreta-se a Lei da Inércia como afirmação da existência de
referencial inercial: "Existe referencial em relação ao qual partícula
isolada tem aceleração nula". Supõe-se que qualquer referencial galático
|A satisfaça esta definição. Admitido isto, qualquer referencial
galileano |G também satisfaz. Os sucessos da Astronáutica
constituem grandiosa confirmação.
Imaginemos
uma partícula material isolada e um observador [R] em seu laboratório no
qual foi fixado um referencial |R. O observador e seu laboratório
(assim como os equipamentos) são necessariamente imateriais (se não o
fossem, a partícula já não seria isolada). O observador possui escala métrica
e relógio. Examinemos os quatro casos possíveis:
a)
|R é fixo em |A, logo é também referencial galático. O
observador [R] constata que a partícula tem aceleração nula (admite-se):
aabs= 0.
b)
|R executa translação reta e uniforme em relação a referencial
galático |A, logo pertence à classe dos referenciais galileanos |G.
O observador constata que a partícula tem aceleração nula: arel=
0.
Formalmente:
aabs= arel+ aarr + ac
(Teorema de Coriolis)
|R
executa translação (w =
0, portanto, ac = 0) reta e uniforme (aarr
= 0), logo aabs= arel. Sendo aabs=
0 conforme (a), resulta arel= 0.
c)
|R executa, em relação a referencial galático |A, translação
reta com aarr ¹
0; é referencial acelerado. O observador constata que a partícula possui
aceleração arel = -aarr.
Formalmente:
aabs= arel+ aarr + ac
(Teorema de coriolis)
|R
executa translação (w =
0, portanto, ac = 0), logo aabs = arel+
aarr. Admitido aabs= 0 conforme (a),
confirma-se arel = - aarr.
d)
|R executa, em relação a referencial galático |A,
movimento qualquer; no caso mais geral, translação curva e não uniforme
composta com rotação não uniforme em torno de eixo variável; é
referencial acelerado.
Formalmente:
aabs= arel+ aarr + ac
(Teorema de coriolis)
Admitido
aabs= 0 conforme (a), resulta arel = -aarr
- ac. Esta aceleração pode ser nula em instantes
discretos, mas será geralmente não nula.
Em
suma: Admitida a Lei da Inércia em |A, ela vale também em |G.
Pelo contrário, em relação a referencial |R distinto de |A
ou de |G, a partícula possui aceleração arel não
nula, dependendo do movimento de arrastamento e da aceleração
complementar: a Lei da Inércia não vale!
Enfatizamos:
Partícula isolada tem aceleração nula em relação a referencial
inercial ( |A ou |G ), mas aceleração qualquer não
permanentemente nula em relação a referencial acelerado |R (com aarr+
ac ¹
0).
Lei
fundamental da Dinâmica
Adotemos referencial inercial, |A
galático ou |G galileano. Seja P(m) uma partícula de massa m
submetida a forças diversas. Estas são só forças de inter-ação ( Fia),
umas impressas (de campo ou de contato),
outras vinculares (de contato). Umas são constantes, outras são funções
de variáveis tais como posição, tempo e velocidade. A soma íntegra
delas é a força resultante aplicada na partícula:
SFia
= F
Sob
a ação conjunta das citadas forças a partícula sofre aceleração aabs.
Em referencial inercial vale a Dinâmica de Newton. Aplica-se a Lei
Fundamental da Dinâmica:
m.aabs=
SFia
= F
Ao
iniciar-se o estudo de Física, o referencial subentendido é fixo na sala
de aula suposta em edifício firmemente apoiado no solo; é referencial de
Foucault |F . Por causa do movimento da Terra, é referencial
acelerado. Não obstante, nos fenômenos corriqueiros (duração breve,
velocidade moderada) o movimento da Terra não se percebe, logo o
referencial de laboratório pode ser considerado inercial.
Imagine--se
a complicação no estudo da queda livre se fosse adotado referencial galático!
Em
outros fenômenos, a rotação da Terra é fator relevante. Por exemplo, o
peso de um corpo varia com a latitude; a queda livre não é vertical; em
pendulo de Foucault, o plano de oscilação gira. A rotação da Terra
influi sobre correntes atmosféricas e oceânicas, sobre balística de
longo alcance e no deslanche de espaçonave. Em tais casos, referencial |F
de Foucault precisa ser considerado tal como, a rigor, é --- referencial
acelerado ---, pois ele gira em relação a referencial inercial.
O
Teorema de Coriolis faculta transformar a Lei Fundamental da dinâmica
de modo que ela possa ser aplicada também em relação a referencial
acelerado. De fato:
aabs=
arel + aarr+ ac
donde
arel=
aabs - aarr- ac
Multiplicando-se
esta igualdade pela massa m da partícula, obtém-se:
m.arel=
SFia
+ (-m.aarr) + (-m.ac)
No
segundo membro figura a soma das forças de inter-ação acrescida de
termos que são da espécie física de força, mas não são forças de
inter-açao. Elas são chamadas “forças de inércia".
são elas:
a)
Força de arrastamento:
Farr= -m.aarr
Sua
componente radial e chamada "força centrifuga
de inércia" (e não deve ser confundida com força
centrífuga de reação, que é força de inter-ação, é a reação
á força centrípeta).
b)
Força complementar, ou de Coriolis:
Fc = -m.ac .
As
forcas de inércia (impropriamente também ditas fictícias) são forças
de campo que surgem por causa do movimento do referencial |R. São
forças impressas que só se manifestam em referencial acelerado. Neste,
elas são tão reais como as forças de
inter-ação.
No
equilíbrio “relativo”, isto é, equilíbrio em relação a |R,
as forças de inércia são incorporadas nas leis da Estática.
Na
dinâmica, elas aceleram ou deceleram a partícula, impulsionam, trabalham,
tal como as forças de inter-açao. (Pergunto: Que trabalho realiza a força
complementar ?).
Exemplos
Avião veloz em curva pode ser sede de forças
de inércia ; estas geram esforços na estrutura e influem decisivamente na
circulação de fluidos (combustível e comburente); se houver turbina ou hélice,
surgem esforços devido ao efeito giroscópico.
Estação
espacial tripulada é dotada de rotação para gerar um campo de forças
de inércia equivalente ao campo de gravidade ao qual estamos habituados e
adaptados.
Pode-se
pois escrever:
|R
==> m.arel= SFia
+ Farr+ Fc
Abreviadamente:
m.arel= F, desde que a resultante F
contenha todas as forças aplicadas na partícula, tanto as de inter-açao
como as de inércia.
O
que precede pode-se resumir no quadro seguinte:
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impressas |
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|
de
inter-ação |
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|
vinculares |
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Forças |
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de
arrastamento |
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|
de
inércia |
|
|
|
|
complementar |
Lei
de Ação e Reação
Seja qual for o referencial, esta
lei vale para forças de inter-ação, só para estas e para todas estas:
"Quando um corpo A aplica força FAB em um corpo B,
este aplica no corpo A a força FBA colinear, oposta e de
intensidade igual."
Destas
duas forças, aquela aplicada no sistema eleito pode ser chamada
“força de ação”; a outra é então a “força de reação”.
Afirmar que elas formam par nulo (ou se equilibram) é incorreto, pois elas
são aplicadas em corpos distintos.
A
Lei de Ação e Reação não se aplica a forças
de inércia, pois estas surgem não por inter-ação de partículas, mas
por causa da aceleração absoluta do ponto coincidente em |R, e da
aceleração complementar.
Importante:
Impulsionando o móvel, elas (as forças de inércia) podem causar interação
deste com o obstáculo ou vínculo --- assim, força de inércia pode
acarretar forças de inter-ação. As forças de inércia, que para alguns
autores "não existem" e para outros "são fictícias",
podem fazer surgir forças de inter-ação ... e quebrar costelas! ... 'forças
fictícias' não podem originar fraturas de costelas!
Nota:
Nas Partes 6 e 7 desse trabalho
desenvolveremos os seguintes exercícios-exemplos:
1.
Pêndulo cônico
2. Plataforma de manobra
3. Pêndulo de Foucault
4. Ferrovia
5. Furação
6. Giroscópio
7. Desvio da vertical
8. Torre Eiffel
9. Espaçonave - Referencial |G
10. Espaçonave - Referencial |F
11. Experimento de Eötvös
12. Imponderabilidade no equador
Importante: Este
trabalho está em fase de edição. Críticas/Sugestões são bem vidas.
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