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 Mudança de Referencial na Dinâmica
(Parte 8 - Exercícios Básicos 7, 8 e 9)

leobarretos@uol.com.br 

7- Desvio da vertical     8- Torre Eiffel     9- Espaçonave - 1


7- Desvio da vertical
No equador terrestre há um poço de mina com profundidade h = 500 m. Na boca do poço abandona-se, do repouso, uma pedra. Em virtude da rotação da Terra, a pedra em queda se desvia ligeiramente do prumo. Adotar g = 9,78 m/s2. Calcular a distancia do prumo ao ponto de impacto da pedra no fundo. Admitir aproximação.

Solução
Para pequenos intervalos de tempo, o movimento orbital da Terra pode ser considerado reto e uniforme em relação a referencial de Copérnico. Admitido isso, referencial  |G com origem no centro da Terra e eixos dirigidos para estrelas fixas é inercial (galileano). Em relação a |G , a Terra gira uniforme mente com “período sideral” T = 86 164 s, e tem velocidade
de rotação  w = 2p/T = 7,292.10-5 rad/s .
A queda da pedra será observada no referencial  |F fixo na Terra (referencial de Foucault).

Aproximadamente, a velocidade relativa da pedra é  v = g.t  vertical. A aceleração de Coriolis tem intensidade  ac = 2.w.v = 2.w.g.t  horizontal e dirigida de Leste para Oeste. A força de Coriolis age em sentido oposto, imprimindo  ac  horizontal no sentido de Oeste para Leste. A pedra adquire o componente horizontal de velocidade (W ==> E):

Este desvio tem o sentido de Oeste para Leste (concorde com a rotação da Terra).

Nota: Seja R o raio da Terra. Note-se que, em |G , a velocidade horizontal na boca do poço é w.R , e no fundo do poço é w.(R - h) . A velocidade da boca em relação ao fundo é  w.h  para Leste. Grosseiramente, vem  d = w.h.tq , resultado que seria correto se o movimento da boca em relação ao fundo fosse translatório.


8- Torre Eiffel
Ela tem altura h = 320,77 m e situa-se em Paris, à latitude d = 48o N. Adotemos g = 9,8 m/s2. Conforme o exercício anterior, a velocidade angular da Terra é  w = 7,292.10-5 rad/s. Abandona-se uma pedra no alto da torre. Calcular a distancia do prumo ao ponto de impacto da pedra no solo.

Solução
Da rotação
w(vetor) da Terra, interessa o componente horizontal  w.cosd . A aceleração de Coriolis tem intensidade  ac = 2.w.cosd.g.t.  A duração da queda será  tq = 8,09 s.
O desvio do prumo calcula-se:  d = (2/3).
w.cosd.h.tq  ou  d = (2/3).7,292.10-5.0,669.320,77.8,09 = 8,4 cm .


9- Espaçonave - 1
Considerar a Terra como esfera homogênea de raio R = 6,4.106 m. Adotar referencial galileano |G (origem no centro da Terra, eixos apontando estrelas fixas). O período de rotação da Terra é o dia sideral T =  86 164 s; dai a velocidade de rotação w = 7,292.10-5 rad/s. Junto à linha equatorial o campo de gravitação da Terra tem intensidade próxima de go = 9,82 m/s2.

No plano do equador uma espaçonave circunda a Terra em órbita circular de raio r ³ R, com velocidade constante v dada. Os motores exercem o empuxo necessário. No laboratório, dentro da nave, uma pedra de massa m pende estaticamente de um dinamômetro que acusa a leitura F.

(a) Determinar a intensidade go do campo de gravitação da Terra no laboratório da nave. 
(b) O referencial |G inercial. A velocidade v do laboratório é, também, a da pedra . Determinar F.
(c) No laboratório reina imponderabilidade se for  F = 0 . Neste caso, como varia v com r ? Esboçar gráfico cartesiano.
(d) Se o laboratório for geo-estacionário (por exemplo, TELSTAR), sua velocidade angular é igual à da Terra, 
w = 7,292.10-5 rad/s.  Determinar r .

Solução (a)
A rotação da Terra não influi na atração gravitacional que ela exerce. Sendo M a massa da Terra, tem-se:

Solução (b) 

Verificação 
Se o laboratório fosse estático em |G  (não na Terra!), seria v = 0  e  F = m.go' ; em particular, junto à superfície da Terra,  F = m.go . Não confundir com   P = m.g  em laboratório fixo na linha equatorial da Terra, pois alem da atração gravitacional  m.go  agiria a força centrifuga de inércia.

Solução (c)
O dinamômetro não aplica força alguma: F = 0. O empuxo dos motores equilibra eventual resistência que o meio opõe à nave.
A nave gravita em torno da Terra:

    r    
106 m
 6,4   10   20   30   40   50 
      v     
103 m/s
7,9 6,3 4,5 3,6 3,2 2,8
    w.r    
103 m/s
0,47 0,73 1,5 2,2 2,9 3,6

Solução (d)
Lembrando: (d) Se o laboratório for geo-estacionário (por exemplo, TELSTAR), sua velocidade angular é igual à da Terra,  w = 7,292.10-5 rad/s.  Determinar r .


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