Paradoxo da lata furada
(Complementação)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Complementando ...
O experimento "da lata furada" pode ser feito com uma simples garrafa PET de 2 litros --- dê preferências às garrafas cilíndricas.

Procedimento
Coloque uma fita crepe envolvendo a garrafa na região mais alta, onde ainda é cilíndrica. Indiquemos por H a distância dessa fita crepe (sua borda superior) até o fundo da garrafa. A contar da base da garrafa, faça nela 3 orifícios nas alturas H/4, H/2 e 3H/4. Esses orifícios têm diâmetro da ordem dos 0,15 cm e não deverão estar na mesma vertical, de modo que os três jorros d'água não se toquem (1,5 cm de distância entre as verticais que passam por eles será o suficiente). O nível da água durante as experimentações deverá ser mantido o mais constante possível, no nível H; uma mangueira ligada a uma torneira deve ser prevista.

Uma alternativa mais prática, e a mais indicada para demonstrações a um grande grupo de pessoas, é a seguinte:

Obtenha um cano de PVC de 40 mm de diâmetro e 1,80 m de comprimento (cano de drenos para pias, tanques etc.) e um tampão para fechar, com cola apropriada, uma das extremidades desse tubo. Com broca de diâmetro 2 mm faça orifícios nas alturas H/4, H/2 e 3H/4, não na mesma vertical, como feito na garrafa.

Como se constata, o jorro d'água proveniente do buraco do meio (H/2) terá o maior alcance horizontal deles. O alcance é a distância horizontal percorrida pela água ao descer até o nível da extremidade inferior do tubo. Como vimos, no "paradoxo da lata furada", esse alcance "x" depende do produto da velocidade de saída (v) da água fora do buraco pelo tempo (t) que a água demora para descer (x = v.t).
O furo central do tubo propicia alcance máximo porque "v" aumenta com a profundidade [v = (2gh)^1/2] --- e com a pressão da água ---, enquanto "t" diminui com a profundidade da água (quanto mais próximo do fundo estiver o furo, menor tempo terá a água para atingir o solo), de modo que o seu produto é máximo (como foi demonstrado) para o furo no ponto médio.

Aqui sugerimos um exercício de  cinemática que é o próprio modelo mecânico do paradoxo da lata furada.

As três bolinhas são abandonadas simultaneamente de A, B e C sobre os planos inclinados perfeitamente lisos e os abandonam na direção horizontal (simulando gotas dos jorros de água).
(a) Calcular essas velocidades com que abandonam os planos inclinados;
(b) Calcular os tempos de queda, de cada uma, a contar dos instantes que deixam seus planos inclinados;
(c) Calcular os alcances horizontais das três bolinhas;
(d) Confrontar os tempos totais de 'quedas' das bolinhas, a contar do instante comum em que foram abandonadas, até chegarem ao solo (nível inferior  da ilustração).

Solução

(a) As velocidades com que abandonam seus planos inclinados, já que não há quaisquer forças dissipadoras, podem ser calculadas pela conservação da energia mecânica (referência solo). Todas as três bolinhas apresentam a mesma quantidade de energia mecânica no nível de partida:

E_m = E_p + E_c = E_p = mg(4H) = 4mgH

Nos pontos em que abandonam os planos inclinados, nas alturas 3H, 2H e H teremos:

Para a bolinha A ==> 4mgH = 3mgH + (1/2)m.v_A²  ==> v_A = (2gH)^1/2

Para a bolinha B ==> 4mgH = 2mgH + (1/2)m.v_B²  ==> v_B = (4gH)^1/2

Para a bolinha C ==> 4mgH =   mgH + (1/2)m.v_C²  ==> v_C = (6gH)^1/2

(b) Os tempos de queda, a contar dos instantes que deixam seus planos, na horizontal, podem ser calculados como simples queda livres (pois as velocidades iniciais verticais na partida são nulas!):

Para a bolinha A ==> 3H = (1/2)g.t_A²  ==> t_A = (6H/g)^1/2

Para a bolinha B ==> 2H = (1/2)g.t_B²  ==> t_A = (4H/g)^1/2

Para a bolinha C ==>  H = (1/2)g.t_C²  ==> t_A = (2H/g)^1/2

(c) Os alcances horizontais serão dados pelos produtos das velocidades v_A, v_B e v_C pelos correspondentes tempos de queda:

Para a bolinha A ==> x_A = v_A.t_A = (2gH)^1/2.(6H/g)^1/2 = 2.3^1/2.H

Para a bolinha B ==> x_B = v_B.t_B = (4gH)^1/2.(4H/g)^1/2 = 4.H

Para a bolinha C ==> x_C = v_C.t_C = (6gH)^1/2.(2H/g)^1/2 = 2.3^1/2.H

Repare que x_A = x_C < x_B; o alcance horizontal da bolinha B é o maior das três.

(d) Os tempos totais são iguais para as três bolinhas uma vez que, partem simultaneamente, caem de mesma altura em meio conservativo.

Ainda sobre o mesmo tema veja:

Paradoxo da lata furada
Esvaziando a lata furada