Esvaziando a lata furada

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Esse experimento, bastante simples em sua prática, permite várias discussões e excelente oportunidade para aplicar os conhecimentos adquiridos em cinemática. Entre as possibilidades destacamos:

a) Cálculo da velocidade de escoamento de um líquido através de um orifício em seu continente;
b) Variação da velocidade de escoamento com o desnível;
c) Cálculo do tempo de escoamento;
d) Variação do alcance horizontal do jato d'água que sai pelo orifício.

Material
Metro de balcão, 2 latas de 'conserva' (500 g), água e relógio.

Montagem

Procedimento
O preparo inicial consiste em fazer na lateral e próximo ao fundo da lata um orifício de diâmetro d = 3 mm. Essa lata, cheia com água, deverá ser posta sobre a mesa, um pouco deslocada para fora. Algumas gotas que escapam pelo orifício (tapado com o dedo) deixarão marcas no piso e, sobre essa marca coloca-se, deitado no chão, o 'zero' do metro de balcão.
A outra lata (ou recipiente conveniente) é colocado sobre o 'metro' e afastada da mesa. Retira-se momentaneamente o dedo do furo e verifica-se onde chega o jorro de água --- essa será a posição inicial do centro da segunda lata (não esqueça de re-ajustar o nível d'água na primeira lata, na altura h_o).

Com a ajuda de um colega proceda assim: tire o dedo do orifício (esse será o instante zero registrado no relógio) e seu colega irá arrastando lentamente a lata sobre o metro, aproximando-a da mesa, de modo que o jorro caia sempre dentro dela; você, nessas alturas, irá anotando as posições (x) ocupadas pelo ponto médio da lata deslizante, em intervalos de tempo igualmente espaçados (como 0, 10, 20, 30 ... segundos).

Faça um gráfico (x X t) da posição da lata nos instantes registrados, mostrando de que maneira o alcance horizontal x do jorro diminui com o tempo t.

A 'olhômetro', desenhe a linha reta que melhor se ajusta aos pontos marcados no gráfico. Leia as coordenadas dos pontos onde essa 'reta' corta os eixos dos x e dos t; essas intersecções com os eixo fornecem x_o (alcance inicial, quando o nível d'água na lata era h_o) e T (tempo total para esvaziar a lata).

Verificação
A teoria informa que o alcance inicial do jorro deve valer x_o = 2(H.h_o)^1/2 e que o tempo total para esvaziamento da lata deve valer T = (D/d)².(2h_o/g)^1/2, onde D é o diâmetro da lata, d o diâmetro do orifício, H altura do orifício ao solo, h_o distância do orifício ao nível inicial da água e g o valor da aceleração local da gravidade. Devemos confrontar as medidas de x_o e T com aquelas obtidas pelas previsões teóricas.

Como você deve estar curioso no "como chegar nessas previsões teóricas", vamos a isso.

A velocidade do jorro no instante t = 0, como sabemos (ver paradoxo da lata furada nessa Sala) é dado por: v_o = (2gh_o)^1/2 e, o tempo de queda livre de uma gota, do orifício até o chão (cinemática da queda livre) é dado por: t = (2H/g)^1/2 assim, o alcance horizontal x_o, depois de cair da altura H, será:

x_o = v_o.t = (2gh_o)^1/2.(2H/g)^1/2 = 2(Hh_o)^1/2 (alcance inicial)

Se abandonarmos um pequeno volume (v) de água da altura h_o, ao sabor da gravidade, ele chegará ao nível do orifício após o tempo t_v = (2h_o/g)^1/2 (simples queda livre!). Ora, o tempo total T de queda de um volume maior (V), de v em v, consecutivamente (pois v é o volume de líquido que jorra em cada t_v), será N vezes maior do que t_v, onde N é exatamente o número de vezes que v cabe em V.

T = N.t_v = (V/v).t_v

Assim, se o diâmetro da lata é D, o diâmetro do orifício é d e o nível da água baixou de Dh, então, o volume que baixou na lata V = (pD²/4).Dh conterá N vezes o volume v = (pd²/4).Dh que saiu pelo orifício:

N = V/v = [(pD²/4).Dh]/[(pd²/4).Dh = (D/d)²

Desse modo, o tempo total para esvaziar a lata será:

T = N.t_v = (D/d)².(2h_o/g)^1/2  (tempo total)

E assim chegamos nas equações teóricas para tais grandezas.

Compare os resultados experimentais com os previstos teoricamente. É bem possível que encontre para T valor que difere sensivelmente do valor teórico e, se assim o for, a razão mais provável da 'falha' é o diâmetro do orifício --- que não é exatamente 0,3 cm (como no exemplo que sugeri). Um erro de apenas 0,02 cm (8%) em d irá resultar num erro de 16% em T! Assim, medir o valor de d (diâmetro do orifício realmente feito na lata) requer todo cuidado e boa técnica (além do aparelho) nesse experimento.
Ah!, saberia dizer qual a velocidade (u) do movimento da lata sobre a régua? Qual uma utilidade prática para esse conhecimento?

Bom sucesso!

Ainda sobre o mesmo tema veja:

Paradoxo da lata furada
Paradoxo da lata furada (complementação)