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Esvaziando a lata furada

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Objetivo
Esse experimento, bastante simples em sua prática, permite várias discussões e excelente oportunidade para aplicar os conhecimentos adquiridos em cinemática. Entre as possibilidades destacamos:

a) Cálculo da velocidade de escoamento de um líquido através de um orifício em seu continente;
b) Variação da velocidade de escoamento com o desnível;
c) Cálculo do tempo de escoamento;
d) Variação do alcance horizontal do jato d'água que sai pelo orifício.

Material
Metro de balcão, 2 latas de 'conserva' (500 g), água e relógio.

Montagem

Procedimento
O preparo inicial consiste em fazer na lateral e próximo ao fundo da lata um orifício de diâmetro d = 3 mm. Essa lata, cheia com água, deverá ser posta sobre a mesa, um pouco deslocada para fora. Algumas gotas que escapam pelo orifício (tapado com o dedo) deixarão marcas no piso e, sobre essa marca coloca-se, deitado no chão, o 'zero' do metro de balcão.
A outra lata (ou recipiente conveniente) é colocado sobre o 'metro' e afastada da mesa. Retira-se momentaneamente o dedo do furo e verifica-se onde chega o jorro de água --- essa será a posição inicial do centro da segunda lata (não esqueça de re-ajustar o nível d'água na primeira lata, na altura ho).

Com a ajuda de um colega proceda assim: tire o dedo do orifício (esse será o instante zero registrado no relógio) e seu colega irá arrastando lentamente a lata sobre o metro, aproximando-a da mesa, de modo que o jorro caia sempre dentro dela; você, nessas alturas, irá anotando as posições (x) ocupadas pelo ponto médio da lata deslizante, em intervalos de tempo igualmente espaçados (como 0, 10, 20, 30 ... segundos).

Posições
 da lata:
                       ...   cm
    nos
instantes:
        ...   s

Faça um gráfico (x X t) da posição da lata nos instantes registrados, mostrando de que maneira o alcance horizontal x do jorro diminui com o tempo t.

A 'olhômetro', desenhe a linha reta que melhor se ajusta aos pontos marcados no gráfico. Leia as coordenadas dos pontos onde essa 'reta' corta os eixos dos x e dos t; essas intersecções com os eixo fornecem xo (alcance inicial, quando o nível d'água na lata era ho) e T (tempo total para esvaziar a lata).

Verificação
A teoria informa que o alcance inicial do jorro deve valer xo = 2(H.ho)1/2 e que o tempo total para esvaziamento da lata deve valer T = (D/d)2.(2ho/g)1/2, onde D é o diâmetro da lata, d o diâmetro do orifício, H altura do orifício ao solo, ho distância do orifício ao nível inicial da água e g o valor da aceleração local da gravidade. Devemos confrontar as medidas de xo e T com aquelas obtidas pelas previsões teóricas.

Como você deve estar curioso no "como chegar nessas previsões teóricas", vamos a isso.

A velocidade do jorro no instante t = 0, como sabemos (ver paradoxo da lata furada nessa Sala) é dado por: vo = (2gho)1/2 e, o tempo de queda livre de uma gota, do orifício até o chão (cinemática da queda livre) é dado por: t = (2H/g)1/2 assim, o alcance horizontal xo, depois de cair da altura H, será:

xo = vo.t = (2gho)1/2.(2H/g)1/2 = 2(Hho)1/2 (alcance inicial)

Se abandonarmos um pequeno volume (v) de água da altura ho, ao sabor da gravidade, ele chegará ao nível do orifício após o tempo tv = (2ho/g)1/2 (simples queda livre!). Ora, o tempo total T de queda de um volume maior (V), de v em v, consecutivamente (pois v é o volume de líquido que jorra em cada tv), será N vezes maior do que tv, onde N é exatamente o número de vezes que v cabe em V.

T = N.tv = (V/v).tv

Assim, se o diâmetro da lata é D, o diâmetro do orifício é d e o nível da água baixou de Dh, então, o volume que baixou na lata V = (pD2/4).Dh conterá N vezes o volume v = (pd2/4).Dh que saiu pelo orifício:

N = V/v = [(pD2/4).Dh]/[(pd2/4).Dh = (D/d)2

Desse modo, o tempo total para esvaziar a lata será:

T = N.tv = (D/d)2.(2ho/g)1/2  (tempo total)

E assim chegamos nas equações teóricas para tais grandezas.

Compare os resultados experimentais com os previstos teoricamente. É bem possível que encontre para T valor que difere sensivelmente do valor teórico e, se assim o for, a razão mais provável da 'falha' é o diâmetro do orifício --- que não é exatamente 0,3 cm (como no exemplo que sugeri). Um erro de apenas 0,02 cm (8%) em d irá resultar num erro de 16% em T! Assim, medir o valor de d (diâmetro do orifício realmente feito na lata) requer todo cuidado e boa técnica (além do aparelho) nesse experimento.
Ah!, saberia dizer qual a velocidade (u) do movimento da lata sobre a régua? Qual uma utilidade prática para esse conhecimento?

Bom sucesso!

Ainda sobre o mesmo tema veja:

Paradoxo da lata furada
Paradoxo da lata furada (complementação)

 

 

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