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As três velocidades cósmicas
(Movimento dos corpos no campo gravitacional da Terra)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

A Terra como sistema inercial
Em muitos casos (mas nem sempre), um sistema de referência ligado à Terra pode ser considerado como  inercial. 
Justificamos: a Terra descreve um movimento de rotação com uma velocidade angular de
wT = 7.10-5 rad/s e, por essa razão, corpos que estão a ela ligados encontram-se sujeitos a uma aceleração centrípeta acp,T = w2T.RT. Como o raio médio da Terra, RT, é da ordem de 6.108 m, teremos para essa aceleração centrípeta, acp,T, o valor 0,03 m/s2; assim, acp,T << g (g = 9,8 m/s2) e poderá ser desprezada, o que justifica tomarmos o sistema de referência ligado à Terra como inercial. Além disso, o intervalo de tempo do fenômeno observado será bem pequeno, da ordem dos minutos. Então, no que se segue, passaremos a usar este sistema de referência como inercial.

As velocidades cósmicas
Na ilustração abaixo encontram-se representadas as trajetórias de corpos que são lançados com diversas velocidades v do ponto A que se encontra nas imediações da superfície da Terra (não são considerados os efeitos da resistência do ar).

Trajetórias de corpos lançados no campo gravitacional da Terra: a — num campo gravitacional não-uniforme e uso de grandes velocidades de lançamento: b — num campo gravitacional uniforme (junto à superfície da Terra e uso de velocidades reduzidas). A velocidade inicial dos projéteis em (b) tem módulo vo = 550 m/s; no caso da curva (1) o ângulo de tiro é de 20o; no da curva (2) de 70o e no da curva (3) é de 20o, mas levou-se em conta a resistência do ar. 

Em todos os casos, a velocidade de lançamento é horizontal. Analisemos:

(1a) A trajetória do corpo será uma circunferência se a sua velocidade v no ponto A for tal que sua aceleração centrípeta v2/R se iguale à aceleração da gravidade g.  Aqui, R é o raio da trajetória que, no caso da altitude ser relativamente baixa, pode ser considerado igual ao raio do globo terrestre. Daqui tiramos:

 

 Com R = 6,4.108 m e g = 9,8 m/s2 obtemos v1= 7,93.103 m/s [ 7,93 km/s ]. Esta velocidade é chamada primeira velocidade cósmica.

Se a velocidade do corpo no ponto A for algo maior que 7,93 km/s, então, a trajetória do corpo será urna elipse cujo foco mais próximo do ponto de partida se encontra no centro da Terra.

(2a) Se a velocidade do corpo for v2 = 11,16 km/s, e essa é a denominada segunda velocidade cósmica, então, a sua trajetória será uma parábola. Se a velocidade inicial for algo maior que 11,16 km/s, a trajetória do corpo tornar-se-á uma hipérbole. Nestes dois últimos casos o corpo abandonará definitivamente a Terra e dirigir-se-á ao espaço interplanetário.
A velocidade mínima com a qual o corpo abandona a Terra é, por vezes, chamada velocidade de escape. Essa velocidade de escape é calculada, simplesmente, igualando a energia cinética que o corpo deve ter no momento do lançamento com o trabalho da força para arrastá-lo até o infinito:

(1/2).m.v2 >= (GMm)/RT ==> vesc. >= Ö (GMm)/RT ~ 11,2 km/s

(3a) Se a velocidade do corpo for inferior a 16,67 km/s a terceira velocidade cósmica — então, ao abandonar a Terra, o corpo torna-se um satélite do Sol. Quando a velocidades ultrapassa os 16,67 km/s o corpo pode abandonar o sistema solar.

Veja comentários ao final.

(4) Quando o corpo se desloca a velocidades inferiores a 7,93 km/s, as trajetórias por ele descritas são segmentos de elipse (como se pode observar na ilustração, em tracejado), cujo foco mais afastado coincide com o centro da Terra.
Quando o corpo possui velocidade consideravelmente inferior a 7,93 km/s, estes segmentos podem ser considerados segmentos de parábolas (ainda na isenção dos efeitos do ar).

Se o corpo for lançado da superfície da Terra sob um determinado ângulo a em em relação a ela e uma velocidade inicial de v0 consideravelmente inferior a 7,93 km/s, então, a aceleração da gravidade também pode ser considerada constante, tanto do ponto de vista da sua grandeza, como do ponto de vista da sua direção, e a superfície da Terra pode ser considerada plana. Neste caso, a trajetória é uma parábola (ilustração acima, b), e o alcance de vôo (D) e a altura máxima atingida (H) podem ser calculados pelas fórmulas:

 

Podem ser conseguidos alcances de vôo iguais partindo de dois valores diferentes do ângulo de lançamento: a1 e a2 e além disso, a2 = 90o - a1. O alcance máximo de vôo é conseguido quando o ângulo de lançamento é a = 45o.

Quando se leva em consideração a resistência do ar, o alcance e a altura de vôo atingidos tornam-se consideravelmente menores. Quando, por exemplo, o corpo não sofre a influência da resistência do ar, uma vez lançado sob um ângulo de lançamento a = 20o e com uma velocidade inicial v0 = 550 m/s, o corpo tem um alcance de vôo de 19,8 km, ao passo que se este estiver sujeito à resistência do ar e possuindo os mesmos valores da velocidade inicial e do ângulo de lançamento o seu alcance de vôo será apenas de 8,1 km.

Comentários -

A situação de lançamento de corpos com tais velocidades de km/s complica-se, é lógico, por causa da presença da atmosfera terrestre. Se alguém disparasse um projétil de artilharia com a necessária velocidade de escape a partir da superfície terrestre, tal projétil fundiria logo de saída com o calor desenvolvido pelo atrito com o ar, e os detritos cairiam, pois teriam perdido toda a energia inicial. É aqui que aparecem as vantagens de um foguete sobre um projétil de artilharia. Um foguete parte da sua plataforma de lançamento vagarosamente e vai ganhando velocidade gradativamente enquanto vai subindo. Desse modo, ele atravessa as camadas mais densas da atmosfera terrestre com velocidades para as quais o calor gerado por atrito ainda não tem grande importância, e somente atinge sua velocidade máxima numa altitude em que o ar é suficientemente rarefeito para não causar nenhuma resistência significativa ao vôo. Naturalmente, o atrito com o ar no começo do vôo sempre resulta em alguma perda de energia, mas são perdas relativamente pequenas. Assim, para se enviar um foguete até a Lua, tem-se que ultrapassar a gravitação terrestre e ter ainda uma velocidade suficiente para poder cobrir a distância num tempo razoavelmente curto.

Os foguetes que tem por mira outros planetas do sistema solar tem que se adaptar não só à atração gravitacional da Terra como também àquela exercida pelo Sol. Quando um foguete escapa da gravidade terrestre com velocidade muito pequena, ele é obrigado a percorrer uma trajetória próxima da órbita da Terra, não se aproximando nem se afastando do Sol. Para se afastar da órbita da Terra, o foguete deve possuir velocidade suficiente para “subir a ladeira” da curva da atração gravitacional do Sol.

 

 

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