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Estudando as marés
Prof.
Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br
Introdução
As marés, como bem o sabemos, consistem na subida
e descida regular das águas do mar, duas vezes por dia,
fenômeno bastante visível junto de todas as costas
marítimas. A sua importância prática é enorme: nenhum
grande navio poderia entrar em determinados portos, se
não aproveitasse a subida das águas causadas pela maré.
Na abertura de canais ou no levantamento de represas há
a necessidade de considerar a influência que essas obras
terão sobre o decurso das marés. Há bem mais a comentar!
Ao máximo de subida dá-se o
nome de preamar e ao máximo
de descida, baixa-mar. Como
esta "respiração" dos mares está na imediata dependência
da Lua, acontece que de dia para dia se verifica um
atraso de cerca de 50 minutos nos instantes de preamar e
baixa-mar. Por outro lado, os níveis correspondentes
sofrem uma variação ao longo de cada mês: nas épocas de
lua
cheia e lua
nova, são as marés
particularmente fortes (marés vivas) e são nitidamente
mais fracas nas épocas dos quartos
crescente ou minguante.
As forças responsáveis pelas marés são exatamente
conhecidas e podem em princípio ser comprovadas em toda
a parte.
Modelo de mar
Para o estudo da componente horizontal (a mais
importante), pode imaginar-se o seguinte
modelo de mar: um
recipiente com 12 km de comprimento, colocado
horizontalmente no Equador, na direção leste-oeste,
contém água até meia altura. Observemos o nível da água
nos dois extremos do recipiente, quando a Lua, três
horas após o seu nascimento, se encontra no céu do lado
oriental, a 45o de altura: o nível do extremo
oriental apresenta-se 1 mm mais alto do que no outro
extremo. O mesmo desnível, mas em sentido inverso, será
encontrado quando, seis horas após, a Lua estiver a 45o
de altura, a oeste. Na metade do dia em que a Lua não é
visível, volta a repetir-se esta seqüência de
desníveis.
Michelson e Gale realizaram
pela primeira vez esta experiência, nos arredores de
Chicago, no início do século XX. Dispunham eles de dois
tubos, um orientado na direção norte — sul e outro na
direção leste — oeste. Para poder medir com rigor os
desníveis neste mar em miniatura, recorreram a unidades
de comprimento de onda da luz (1/2000 mm) e medidores
por interferência. Na ilustração a seguir apresentamos,
a título de exemplo, os resultados das leituras horárias
efetuadas durante um mês na extremidade sul de um
dos recipientes.
Podemos notar:
(1) as duas preamares e as duas baixa-mares diárias
(duas 'ondinhas' completas a cada dia);
(2) o seu atraso de dia para dia;
(3) as grandes variações (marés vivas) em 23 de Março, 7
de Abril (lua cheia) e 21 Abril (lua nova), assim como
as pequenas variações em 30 de Março e 14 de Abril
(quartos crescentes e minguante).
A componente vertical
da força responsável pelas marés também é mensurável,
com um gravímetro, em
principio, apenas uma mola espiral alongada ou
comprimida por um peso; essencialmente um dinamômetro
muito sensível. Nos locais em que a Lua se encontre
exatamente por cima ou por baixo, o peso relativo á
massa de 1 kg diminui de 1/8 mgf em relação aos locais
onde a Lua se encontra justamente no nascimento ou no
ocaso.
O que
origina esta variação periódica da força atrativa da
Lua?
Em primeiro lugar, o fato da atração newtoniana
da Lua, como de qualquer outro corpo celeste, diminuir
com a distância. Assim, comparando com o seu valor no
centro da Terra, a atração lunar é máxima no ponto da
superfície terrestre que se encontra exatamente sob ela
—para esse ponto a Lua está no zênite— e é mínima no
antípoda — ponto para o qual a Lua está no nadir.
O
ponto crítico da questão
Na realidade só muito fracamente pode a atração lunar
ser notada sobre a Terra, porque Terra e Lua giram em
torno uma da outra de tal forma que, nesse referencial
não inercial, a força centrífuga correspondente
equilibra exatamente a atração gravitacional. Esse é o
ponto geralmente negligenciado e totalmente desconhecido
pela maioria das pessoas. Se todos soubessem disso a
'vida dos astrólogos' seria bem pouco rendosa para seus
bolsos. A tal e decantada "influência da lua ou
dos astros em geral" não despertaria interesse algum. A
'influência' gravitacional de uma tia gorda segurando um
recém-nascido é maior que aquela devido à Lua!
Pela mesma razão, numa
astronave que gravita em torno da Lua ou da Terra sem
qualquer propulsão, não se nota nenhuma força; este
estado de imponderabilidade por que passam os
'habitantes' das astronaves foi já muitas vezes descrito
e vivido pelos astronautas. A um observador situado no
centro da Terra também não seria possível notar a
existência da atração lunar, mas as
dimensões do nosso planeta
são bastantes maiores do que as de uma nave espacial, de
modo que os diversos pontos da sua superfície têm
distâncias à Lua suficientemente diferentes para que a
diferença de atração possa ser notada, daí nascendo as
forças que originam as marés. Como
destacamos na ilustração acima, as
acelerações efetivas responsáveis pelas marés são
da ordem de 110 x 10-6 cm/s2
(110 milionésimos do cm/s2), ou seja,
9 milhões de vezes mais fracas que a aceleração da
gravidade normal!
Sobre uma Terra completamente coberta de água
formar-se-iam duas elevações de preamar, uma na região
sob a Lua e a outra na região oposta. Tal fato toma-se
bastante estranho aos não-físicos, que têm muita
dificuldade em compreender como na face oposta à Lua
também se registre a subida das águas. Essa noção "do
tamanho das coisas em órbita" é crítica para o
entendimento de diversos fenômenos. Vamos explorá-la um
pouco mais.
É fácil para você imaginar
uma pequena nave espacial (satélite artificial) em
órbita ao redor da Terra e 'enxergar' que, pelo fato de
todos os seus pontos estarem 'caindo' para a Terra com a
mesma aceleração (as diferenças das acelerações entre
dois pontos quaisquer da pequena nave é zero!), a
aceleração relativa dentro da nave é nula e,
portanto tudo perde seu 'peso'. E dai vem a impressão da
imponderabilidade. A mesma sensação se tem quando a nave
'desliza', com motor desligado, da Terra para a Lua. Em
ambos os casos é "uma queda livre". Mas, vamos 'esticar'
um pouco essa nave. Considere-se então o seguinte
exemplo: uma longa barra
homogênea está em queda para a Lua (ou em órbita ao
redor da Terra e apontando para essa) e a ela agarram-se
três astronautas, um no seu ponto médio M e os
outros nas extremidades A e B.
Pela atração da Lua, a barra
cai cada vez mais depressa (sentido da seta). O
indivíduo M cai com velocidade constantemente
igual à da barra e assim se manterá mesmo que a largue,
mas com A e B já não sucede o mesmo. A
está mais próximo da Lua do que a barra por inteiro,
pelo que experimentará maior atração; B está mais
afastado, a atração que sobre ele se exerce será menor
do que a da barra inteira. Se A e B
largarem a barra, A adiantar-se-á gradualmente em
relação à barra, enquanto B se atrasará e ambos
terão a impressão de forças atuando sobre eles com
tendência para os afastar da barra. As forças que
originam as marés são desta natureza. As acelerações
relativas de A e B com respeito á barra
são mínimas, mas não nulas!
Você (terráqueo) que mora na
Terra 'enxerga' a Lua em órbita ao seu redor mas, se
você fosse um "lunáqueo" (ou 'lunático') diria que é a
Terra que está orbitando ao seu redor, apreciando as
coisas vistas da Lua. Então, pense como "lunático" e
enxergue não a Terra toda, mas apenas uma 'barra longa
de Terra' cercada por uma fina camada de água. A água em
A e em B simularão os astronautas da
figura acima ... e tendem a se afastarem da 'barra de
Terra'. Eis o 'truque' das marés.
Também o Sol interfere nas
marés. A sua massa MS é 27,1 milhões de vezes
superior à da Lua ML.
MS = 27,1x106
ML
Por um acaso notável — o que
também se verifica nos diâmetros aparentes do Sol e Lua
como os vemos e que são quase iguais — as forças de maré
criadas pelo Sol valem 46% (~ 50%) das da Lua,
isto é têm a mesma ordem de grandeza. Dizer isso é
equivalente a afirmar que, na ilustração acima, se você
trocar a Lua pelo Sol (nas suas devidas distâncias) os
afastamentos de A e B com relação á "barra
de Terra" se reduzem á metade.
A demonstração é
relativamente simples: se indicarmos por g a
aceleração normal da gravidade, MT e rT
a massa e o raio da Terra, MS e rS
a massa e a distância da Terra ao Sol, ML e rL
a massa e a distância da Terra á Lua, as diferenças de
acelerações (ou de forças atrativas) serão
2 g (MS/MT).
(rT/rS)3 por
parte do Sol e
2 g (ML/MT).
(rT/rL)3
por parte da Lua, para um
ponto em que o astro (Sol ou Lua) se encontre no zênite
ou no nadir. As obtenções dessas expressões, com todos
seus detalhes, podem ser vistas no "Paradoxo
das Marés", em nossa Sala 19.
Nota: O cálculo desse 'diferença de
acelerações' para os demais pontos da superfície da
Terra será posto, como detalhe, no final do texto.
A relação entre estas
forças, tomando em consideração as relações conhecidas
entre MS e ML e rS e rL,
resulta nos 46%, conforme afirmamos. A responsabilidade
da Lua em nossas marés é cerca do dobro daquela devida
ao Sol.
Nota sobre a microgravidade
O termo microgravidade, muito em voga na atualidade
devido aos textos emitidos pela NASA, é muito mal
compreendido. As revistas pseudocientíficas e o
jornalistas não especializados associam impropriamente
essa microgravidade ao termo imponderabilidade ou algo
do gênero. Como as naves estão cada vez maiores, e
muitas delas assumem a forma tubular (pense em nossa
longa barra em órbita) as diferenças de acelerações
internas entre os centros das naves e sua periferia já
se fazem notar, e ai reside o termo microgravidade. Sob
esse ponto de vista, nossas marés poderiam ser
justificadas pela microgravidade impostas pela Lua e Sol
aos pontos distintos da superfície da Terra.
A ação conjunta do Sol e Lua
explica a variação mensal da amplitude das marés. Quando
a Terra, a Lua e o Sol se encontram em linha reta — lua
nova e lua cheia —as atrações de ambos compõem-se
"construtivamente" para dar as marés vivas; em
contrapartida, nas fases de quarto, com a Lua e o Sol em
quadratura, há apenas composição parcial das atrações e
as marés são mais fracas. Se o Sol e a Lua se
deslocassem sempre sobre o equador celeste (o que para o
Sol só acontece na época dos equinócios), teríamos o
fenômeno das marés com as mesmas características por
toda as partes, duas preamares e duas baixa-mares por
dia. Porém, como ambos os astros, nas suas órbitas
aparentes, se afastam do equador celeste, o Sol até 23,5o,
a Lua até 28,7o, surgem assimetrias — ainda
que seja no caso ideal de uma Terra totalmente coberta
de água.
Na ilustração acima vê-se,
em cima (em escala exagerada), a conformação da
superfície do mar correspondente a uma posição da Lua 25o
ao norte do Equador. Para conhecermos a variação do
nível das águas no decurso de um dia, em qualquer local,
basta-nos rodar a elipse em tomo do eixo terrestre; os
resultados para um dia lunar completo são apresentados
na primeira coluna da parte inferior da mesma figura.
Verifica-se que só no Equador se apresenta com perfeição
o caráter semidiurno da maré, isto é, duas marés altas
iguais e duas marés baixas iguais por dia. Nas restantes
latitudes, as curvas vão sendo cada vez mais
assimétricas e próximo dos pólos há por dia apenas um
máximo e um mínimo do nível das águas.
Análise
harmônica
O cálculo mais exato mostra
que a oscilação deste nível pode ser considerada como a
sobreposição de duas ondas componentes, uma simples ou
diurna e outra dupla ou semidiurna, representadas pelas
curvas das segunda e terceira colunas na ilustração
acima. Semelhante decomposição do fenômeno completo das
marés em componentes simples, duplas, triplas, etc., tem
o nome de análise harmônica,
nome que lembra a análise análoga que se faz com os
sons, para os representar como sobreposição de sons
puros.
Verifica-se ainda que a influência sobre as marés da
maior ou menor distância do Sol e da Lua, assim como do
maior ou menor afastamento entre as órbitas respectivas,
pode ser descrita de um modo geral como sobreposição de
tais ondas ou marés parciais.
Para uma razoavelmente completa representação da força
das marés requerem-se 15 ondas relacionadas com o Sol e
cerca de 65 com a Lua, por causa da maior irregularidade
da sua órbita.
A ação das marés, como
sabemos, faz-se sentir não só sobre a água mas ainda
sobre o ar e sobre a parte sólida da Terra. Numa outra
oportunidade faremos um estudo separado de cada um
destes aspectos do fenômeno.
É interessante notar que o Sol e a Lua, com as suas
forças atrativas, "realizam" no nosso planeta
gigantescas experiências, cujos resultados são da maior
valia para o conhecimento das propriedades físicas do
globo, dos oceanos e da atmosfera.
Relembramos; veja:
Cálculo
da diferença das acelerações em ponto genérico da
superfície da Terra
Antes dos cálculos, vejamos
dois parâmetros adimensionais dos quais nos
utilizaremos: a = MT/ML e b = r/R
onde MT, ML, r e R são,
respectivamente, massa da Terra, massa da Lua, distância
entre centro da Terra e centro da Lua e raio da Terra.
Os dados para tais parâmetros são:
Sistema Terra-Lua: a = MT/ML
= 5,98.1024/7,34.1022 = 81,47
b = r / R = 384
400/6 378 = 60,27
Sistema Terra-Sol: a = MT/ML
= 5,98.1024/1,98.1030 = 3,02.10-6
b = r / R =
1,49.108/6 378 = 23 361,6
A seguir, destacamos na
ilustração os dois corpos celestes, T (Terra) e L (Lua),
de massas MT e ML cujos centros
distam de r; R é o raio da Terra.
A aceleração do centro da
Terra devido a atração da Lua será: a = F/MT
= G.ML/r2 e tem sentido do centro
da Terra para o centro da Lua (em vermelho na ilustração
acima).
A aceleração aP de um ponto genérico P
situado na superfície da Terra e distante rP
do centro da Lua será: aP = G.ML/rP2
e dirigida segunda a linha PO'.
Com isso, vamos obter a
expressão da diferença entre essas
duas acelerações para cada ponto P da superfície
da Terra e seu componente (projeção) sobre a direção
radial aM.
Seja
q
a posição (coordenada) angular do ponto P sobre a
superfície da Terra e seja
j
o ângulo entre as direções PO' e OO'. A projeção sobre a
direção radial do vetor diferença entre as duas
acelerações está indicada na ilustração acima pelo
pequeno segmento aM. Teremos:
aM = aP.cos(j
+ q)
- a.cosq
Podemos relacionar os
ângulos q
e j
, no triângulo de vértices O, O’ e P do seguinte modo:
tg
j
= R.senq
/(r - R.cosq
)
Ainda nesse triângulo,
podemos relacionar rP com R, r e
q,
assim:
rP2 =
r2 + R2 - 2.r.R.cosq
Mediante essas relações
geométricas obtém-se uma expressão para a projeção
radial aM em função da posição angular
q.
Nessa expressão, com
q = 0,
recaímos na forma mais elementar anteriormente
apresentada. Em todas as situações, poderemos verificar
que aM é proporcional a go,
aceleração da gravidade na superfície da Terra e depende
dos dois parâmetros adimensionais a e b
apresentados na introdução desse cálculo.
Sistema
Terra-Lua: a = MT/ML = 5,98.1024/7,34.1022
= 81,47
b = r / R = 384
400/6 378 = 60,27
Se o valor obtido para aM
é positivo, esse componente radial está dirigido 'para
fora' e, portanto, a partícula situada em P pesará menos
(do que pesaria na ausência da Lua); se o valor obtido é
negativo, o peso da partícula em P será maior. Esse é o
ponto chave, como vimos, para a compreensão do fenômeno
da maré.
Desse cálculo concluímos
que:
1- Os valores máximos
(positivos) aparecem na região da superfície da Terra
que está mais próxima da Lua (q
= 0o)
e na região mais afastada (q
= 180o).
Nessas regiões os corpos pesam menos; a superfície da
água se eleva.
2- Os valores mínimos (negativos) aparecem nas regiões
intermediárias (q
= 90o)
e (q = 180o),
nessas regiões os corpos pesam mais, a superfície da
água 'se encolhe'.
3- Apesar da enorme massa do Sol, seu efeito sobre o
nível das águas é bem menor que aquele produzido pela
Lua (algo menos que a metade, como vimos) e isso se deve
ao fato da interação gravitacional diminuir com o
quadrado da distância.
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