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Estudando as marés

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Introdução
As marés, como bem o sabemos, consistem na subida e descida regular das águas do mar, duas vezes por dia, fenômeno bastante visível junto de todas as costas marítimas. A sua importância prática é enorme: nenhum grande navio poderia entrar em determinados portos, se não aproveitasse a subida das águas causadas pela maré. Na abertura de canais ou no levantamento de represas há a necessidade de considerar a influência que essas obras terão sobre o decurso das marés. Há bem mais a comentar!

Ao máximo de subida dá-se o nome de preamar e ao máximo de descida, baixa-mar. Como esta "respiração" dos mares está na imediata dependência da Lua, acontece que de dia para dia se verifica um atraso de cerca de 50 minutos nos instantes de preamar e baixa-mar.  Por outro lado, os níveis correspondentes sofrem uma variação ao longo de cada mês: nas épocas de lua cheia e lua nova, são as marés particularmente fortes (marés vivas) e são nitidamente mais fracas nas épocas dos quartos crescente ou minguante. As forças responsáveis pelas marés são exatamente conhecidas e podem em princípio ser comprovadas em toda a parte. 

Modelo de mar
Para o estudo da componente horizontal (a mais importante), pode imaginar-se o seguinte modelo de mar: um recipiente com 12 km de comprimento, colocado horizontalmente no Equador, na direção leste-oeste, contém água até meia altura. Observemos o nível da água nos dois extremos do recipiente, quando a Lua, três horas após o seu nascimento, se encontra no céu do lado oriental, a 45o de altura: o nível do extremo oriental apresenta-se 1 mm mais alto do que no outro extremo. O mesmo desnível, mas em sentido inverso, será encontrado quando, seis horas após, a Lua estiver a 45o de altura, a oeste. Na metade do dia em que a Lua não é visível, volta a repetir-se esta seqüência de desníveis. 

Michelson e Gale realizaram pela primeira vez esta experiência, nos arredores de Chicago, no início do século XX. Dispunham eles de dois tubos, um orientado na direção norte — sul e outro na direção leste — oeste. Para poder medir com rigor os desníveis neste mar em miniatura, recorreram a unidades de comprimento de onda da luz (1/2000 mm) e medidores por interferência. Na ilustração a seguir apresentamos, a título de exemplo, os resultados das leituras horárias efetuadas durante um mês na extremidade sul de um dos recipientes. 



Podemos notar: 
(1) as duas preamares e as duas baixa-mares diárias (duas 'ondinhas' completas a cada dia);
(2) o seu atraso de dia para dia; 
(3) as grandes variações (marés vivas) em 23 de Março, 7 de Abril (lua cheia) e 21 Abril (lua nova), assim como as pequenas variações em 30 de Março e 14 de Abril (quartos crescentes e minguante). 

A componente vertical da força responsável pelas marés também é mensurável, com  um gravímetro, em principio, apenas uma mola espiral alongada ou comprimida por um peso; essencialmente um dinamômetro muito sensível. Nos locais em que a Lua se encontre exatamente por cima ou por baixo, o peso relativo á massa de 1 kg diminui de  1/8 mgf em relação aos locais onde a Lua se encontra justamente no nascimento ou no ocaso. 

O que origina esta variação periódica da força atrativa da Lua? 
Em primeiro lugar, o fato da atração newtoniana da Lua, como de qualquer outro corpo celeste, diminuir com a distância. Assim, comparando com o seu valor no centro da Terra, a atração lunar é máxima no ponto da superfície terrestre que se encontra exatamente sob ela —para esse ponto a Lua está no zênite— e é mínima no antípoda — ponto para o qual a Lua está no nadir. 

O ponto crítico da questão
Na realidade só muito fracamente pode a atração lunar ser notada sobre a Terra, porque Terra e Lua giram em torno uma da outra de tal forma que, nesse referencial não inercial, a força centrífuga correspondente equilibra exatamente a atração gravitacional. Esse é o ponto geralmente negligenciado e totalmente desconhecido pela maioria das pessoas. Se todos soubessem disso a 'vida dos astrólogos' seria bem pouco rendosa para seus bolsos. A tal e decantada "influência da lua ou dos astros em geral" não despertaria interesse algum. A 'influência' gravitacional de uma tia gorda segurando um recém-nascido é maior que aquela devido à Lua!

Pela mesma razão, numa astronave que gravita em torno da Lua ou da Terra sem qualquer propulsão, não se nota nenhuma força; este estado de imponderabilidade por que  passam os 'habitantes' das astronaves foi já muitas vezes descrito e vivido pelos astronautas. A um observador situado no centro da Terra também não seria possível notar a existência da atração lunar, mas as dimensões do nosso planeta são bastantes maiores do que as de uma nave espacial, de modo que os diversos pontos da sua superfície têm distâncias à Lua suficientemente diferentes para que a diferença de atração possa ser notada, daí nascendo as forças que originam as marés. Como destacamos na ilustração acima, as acelerações efetivas responsáveis pelas marés são da ordem de 110 x 10-6 cm/s2 (110 milionésimos do cm/s2), ou seja, 9 milhões de vezes mais fracas que a aceleração da gravidade normal!
Sobre uma Terra completamente coberta de água formar-se-iam duas elevações de preamar, uma na região sob a Lua e a outra na região oposta. Tal fato toma-se bastante estranho aos não-físicos, que têm muita dificuldade em compreender como na face oposta à Lua também se registre a subida das águas. Essa noção "do tamanho das coisas em órbita" é crítica para o entendimento de diversos fenômenos. Vamos explorá-la um pouco mais. 

É fácil para você imaginar uma pequena nave espacial (satélite artificial) em órbita ao redor da Terra e 'enxergar' que, pelo fato de todos os seus pontos estarem 'caindo' para a Terra com a mesma aceleração (as diferenças das acelerações entre dois pontos quaisquer da pequena nave é zero!), a aceleração relativa dentro da nave é nula e, portanto tudo perde seu 'peso'. E dai vem a impressão da imponderabilidade. A mesma sensação se tem quando a nave 'desliza', com motor desligado, da Terra para a Lua. Em ambos os casos é "uma queda livre". Mas, vamos 'esticar' um pouco essa nave. Considere-se então o seguinte exemplo: uma longa barra homogênea está em queda para a Lua (ou em órbita ao redor da Terra e apontando para essa) e a ela agarram-se três astronautas, um no seu ponto médio M e os outros nas extremidades A e B

Pela atração da Lua, a barra cai cada vez mais depressa (sentido da seta). O indivíduo M cai com velocidade constantemente igual à da barra e assim se manterá mesmo que a largue, mas com A e B já não sucede o mesmo. A está mais próximo da Lua do que a barra por inteiro, pelo que experimentará maior atração; B está mais afastado, a atração que sobre ele se exerce será menor do que a da barra inteira. Se A e B largarem a barra, A adiantar-se-á gradualmente em relação à barra, enquanto B se atrasará e ambos terão a impressão de forças atuando sobre eles com tendência para os afastar da barra. As forças que originam as marés são desta natureza. As acelerações relativas de A e B com respeito á barra são mínimas, mas não nulas!

Você (terráqueo) que mora na Terra 'enxerga' a Lua em órbita ao seu redor mas, se você fosse um "lunáqueo" (ou 'lunático') diria que é a Terra que está orbitando ao seu redor, apreciando as coisas vistas da Lua. Então, pense como "lunático" e enxergue não a Terra toda, mas apenas uma 'barra longa de Terra' cercada por uma fina camada de água. A água em A e em B simularão os astronautas da figura acima ... e tendem a se afastarem da 'barra de Terra'. Eis o 'truque' das marés.

Também o Sol interfere nas marés. A sua massa MS é 27,1 milhões de vezes superior à da Lua ML

MS = 27,1x106 ML

Por um acaso notável — o que também se verifica nos diâmetros aparentes do Sol e Lua como os vemos e que são quase iguais — as forças de maré criadas pelo Sol valem 46% (~ 50%) das da Lua, isto é têm a mesma ordem de grandeza. Dizer isso é equivalente a afirmar que, na ilustração acima, se você trocar a Lua pelo Sol (nas suas devidas distâncias) os afastamentos de A e B com relação á "barra de Terra" se reduzem á metade. 

A demonstração é relativamente simples: se indicarmos por g a aceleração normal da gravidade, MT e rT a massa e  o raio da Terra, MS e rS a massa e a distância da Terra ao Sol, ML e rL a massa e a distância da Terra á Lua, as diferenças de acelerações (ou de forças atrativas) serão 2 g (MS/MT). (rT/rS)3 por parte do Sol e   2 g (ML/MT). (rT/rL)3 por parte da Lua, para um ponto em que o astro (Sol ou Lua) se encontre no zênite ou no nadir. As obtenções dessas expressões, com todos seus detalhes, podem ser vistas no "Paradoxo das Marés", em nossa Sala 19.

Nota: O cálculo desse 'diferença de acelerações' para os demais pontos da superfície da Terra será posto, como detalhe, no final do texto.

A relação entre estas forças, tomando em consideração as relações conhecidas entre MS e ML e rS e rL, resulta nos 46%, conforme afirmamos. A responsabilidade da Lua em nossas marés é cerca do dobro daquela devida ao Sol.

Nota sobre a microgravidade 
O termo microgravidade, muito em voga na atualidade devido aos textos emitidos pela NASA, é muito mal compreendido. As revistas pseudocientíficas e o jornalistas não especializados associam impropriamente essa microgravidade ao termo imponderabilidade ou algo do gênero. Como as naves estão cada vez maiores, e muitas delas assumem a forma tubular (pense em nossa longa barra em órbita) as diferenças de acelerações internas entre os centros das naves e sua periferia já se fazem notar, e ai reside o termo microgravidade. Sob esse ponto de vista, nossas marés poderiam ser justificadas pela microgravidade impostas pela Lua e Sol aos pontos distintos da superfície da Terra.

A ação conjunta do Sol e Lua explica a variação mensal da amplitude das marés. Quando a Terra, a Lua e o Sol se encontram em linha reta — lua nova e lua cheia —as atrações de ambos compõem-se "construtivamente" para dar as marés vivas; em contrapartida, nas fases de quarto, com a Lua e o Sol em quadratura, há apenas composição parcial das atrações e as marés são mais fracas. Se o Sol e a Lua se deslocassem sempre sobre o equador celeste (o que para o Sol só acontece na época dos equinócios), teríamos o fenômeno das marés com as mesmas características por toda as partes, duas preamares e duas baixa-mares por dia. Porém, como ambos os astros, nas suas órbitas aparentes, se afastam do equador celeste, o Sol até 23,5o, a Lua até 28,7o, surgem assimetrias — ainda que seja no caso ideal de uma Terra totalmente coberta de água. 

Na ilustração acima vê-se, em cima (em escala exagerada), a conformação da superfície do mar correspondente a uma posição da Lua 25o ao norte do Equador. Para conhecermos a variação do nível das águas no decurso de um dia, em qualquer local, basta-nos rodar a elipse em tomo do eixo terrestre; os resultados para um dia lunar completo são apresentados na primeira coluna da parte inferior da mesma figura. 
Verifica-se que só no Equador se apresenta com perfeição o caráter semidiurno da maré, isto é, duas marés altas iguais e duas marés baixas iguais por dia. Nas restantes latitudes, as curvas vão sendo cada vez mais assimétricas e próximo dos pólos há por dia apenas um máximo e um mínimo do nível das águas. 

Análise harmônica
O cálculo mais exato mostra que a oscilação deste nível pode ser considerada como a sobreposição de duas ondas componentes, uma simples ou diurna e outra dupla ou semidiurna, representadas pelas curvas das segunda e terceira colunas na ilustração acima. Semelhante decomposição do fenômeno completo das marés em componentes simples, duplas, triplas, etc., tem o nome de análise harmônica, nome que lembra a análise análoga que se faz com os sons, para os representar como sobreposição de sons puros. 
Verifica-se ainda que a influência sobre as marés da maior ou menor distância do Sol e da Lua, assim como do maior ou menor afastamento entre as órbitas respectivas, pode ser descrita de um modo geral como sobreposição de tais ondas ou marés parciais. Para uma razoavelmente completa representação da força das marés requerem-se 15 ondas relacionadas com o Sol e cerca de 65 com a Lua, por causa da maior irregularidade da sua órbita. 

A ação das marés, como sabemos, faz-se sentir não só sobre a água mas ainda sobre o ar e sobre a parte sólida da Terra. Numa outra oportunidade faremos um estudo separado de cada um destes aspectos do fenômeno. 
É interessante notar que o Sol e a Lua, com as suas forças atrativas, "realizam" no nosso planeta gigantescas experiências, cujos resultados são da maior valia para o conhecimento das propriedades físicas do globo, dos oceanos e da atmosfera.

Relembramos; veja: Paradoxo das marés

Cálculo da diferença das acelerações em ponto genérico da superfície da Terra

Antes dos cálculos, vejamos dois parâmetros adimensionais dos quais nos utilizaremos: a = MT/ML e b = r/R  onde MT, ML, r e R são, respectivamente, massa da Terra, massa da Lua, distância entre centro da Terra e centro da Lua e raio da Terra. Os dados para tais parâmetros são:

Sistema Terra-Lua: a = MT/ML = 5,98.1024/7,34.1022 = 81,47
                                   b = r / R     = 384 400/6 378 = 60,27

Sistema Terra-Sol: a = MT/ML = 5,98.1024/1,98.1030 = 3,02.10-6 
                                  b = r / R     = 1,49.108/6 378 = 23 361,6

A seguir, destacamos na ilustração os dois corpos celestes, T (Terra) e L (Lua), de massas MT e ML cujos centros distam de r; R é o raio da Terra.

A aceleração do centro da Terra devido a atração da Lua será: a = F/MT = G.ML/r2 e tem sentido do centro da Terra para o centro da Lua (em vermelho na ilustração acima).
A aceleração aP de um ponto genérico P situado na superfície da Terra e distante rP do centro da Lua será:  aP = G.ML/rP2  e dirigida segunda a linha PO'.

Com isso, vamos obter a expressão da diferença entre essas duas acelerações para cada ponto P da superfície da Terra e seu componente (projeção) sobre a direção radial  aM.

Seja q  a posição (coordenada) angular do ponto P sobre a superfície da Terra e seja j o ângulo entre as direções PO' e OO'. A projeção sobre a direção radial do vetor diferença entre as duas acelerações está indicada na ilustração acima pelo pequeno segmento aM.  Teremos:

aM = aP.cos(j + q) - a.cosq   

Podemos relacionar os ângulos q  e j , no triângulo de vértices O, O’ e P do seguinte modo:

tg j = R.senq /(r - R.cosq )

Ainda nesse triângulo, podemos relacionar rP com R, r e q, assim:

rP2 = r2 + R2 - 2.r.R.cosq  

Mediante essas relações geométricas obtém-se uma expressão para a projeção radial aM em função da posição angular q. Nessa expressão, com q = 0, recaímos na forma mais elementar anteriormente apresentada. Em todas as situações, poderemos verificar que aM é proporcional a go, aceleração da gravidade na superfície da Terra e depende dos dois parâmetros adimensionais a e b apresentados na introdução desse cálculo.

Sistema Terra-Lua: a = MT/ML = 5,98.1024/7,34.1022 = 81,47
                                   b = r / R     = 384 400/6 378 = 60,27

Se o valor obtido para aM é positivo, esse componente radial está dirigido 'para fora' e, portanto, a partícula situada em P pesará menos (do que pesaria na ausência da Lua); se o valor obtido é negativo, o peso da partícula em P será maior. Esse é o ponto chave, como vimos, para a compreensão do fenômeno da maré.

Desse cálculo concluímos que:

1- Os valores máximos (positivos) aparecem na região da superfície da Terra que está mais próxima da Lua (q = 0o) e na região mais afastada (q = 180o). Nessas regiões os corpos pesam menos; a superfície da água se eleva.
2- Os valores mínimos (negativos) aparecem nas regiões intermediárias (
q = 90o) e (q = 180o), nessas regiões os corpos pesam mais, a superfície da água 'se encolhe'.
3- Apesar da enorme massa do Sol, seu efeito sobre o nível das águas é bem menor que aquele produzido pela Lua (algo menos que a metade, como vimos) e isso se deve ao fato da interação gravitacional diminuir com o quadrado da distância.

 

 

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