Primeiros Passos da Mecânica Quântica
(Parte 1)

leobarretos@uol.com.br 

Nestes trabalhos (PPMQ - partes 1 e 2), revendo a história da formação da mecânica quântica como exemplo, examinaremos mais detalhadamente o processo da evolução da física, exposto no trabalho anterior (PPFM). É necessário observar, de início, que a transição de um estágio para outro se faz de forma evolucionária, isto é, excetuando alguns casos, no avanço normal de uma ciência, a passagem de um estágio para outro não se faz repentinamente numa determinada época, mas o progresso alterna-se com o retrocesso; alcança-se um estágio, volta-se novamente ao estágio anterior, e o vaivém repete-se de acordo com as circunstâncias.

Radiação do Corpo Negro
Entre o fim do século XIX e início do século XX, fenômenos de um novo ramo, que viriam a ser o ponto de partida para o descobrimento de uma nova mecânica, foram descobertos com a ajuda das mecânicas já existentes, a radiação de cavidade, a estrutura atômica e o espectro óptico. Nesta parte 1, veremos a radiação de cavidade.

Pesquisa das temperaturas dos altos-fornos
Em meados do século XIX, na Alemanha, que havia anexado ao seu território os centros de produção de carvão localizados na fronteira com a França, a indústria siderúrgica desenvolveu-se rapidamente. Foram construídas muitas instalações modernas, e enormes esforços foram feitos para produzir aço de melhor qualidade. O fator mais importante na produção de aço de primeira qualidade é o controle delicado da temperatura dos altos-fornos. Evidentemente, não se pode usar termômetros comuns para a medição de temperaturas tão altas. A fim de contornar esse problema, pesquisas foram feitas no sentido de determinar as temperaturas usando as cores das radiações térmicas, isto é, mais concretamente, foram recolhidas as luzes provenientes dos fornos às diversas temperaturas. Assim, analisando essas luzes pelos prismas e medindo as intensidades de cada parte espectral, foram obtidas as curvas, como as ilustradas abaixo.

Lei de Stephan-Boltzmann
No ano de 1884, foi descoberta por Stephan (1835-1893) a lei empírica 

onde f é o fluxo total de radiação, isto é, a energia de radiação que flui através da área unitária num tempo unitário, e é representada pela área de baixo da curva, no gráfico acima. s é uma constante de proporcionalidade e T é a temperatura absoluta da cavidade. 
No mesmo ano, essa lei empírica foi explicada teoricamente por Boltzmann, com o uso das “mecânicas” já existentes, isto é, a termodinâmica e a teoria eletromagnética. Nessa época, já era conhecida pela teoria eletromagnética que a luz, semelhantemente aos gases comuns, exerce sobre as paredes a pressão --- p = u/3 --- onde u é a densidade de energia de radiação. Boltzmann imaginou então um dispositivo como o esquematizado a seguir, que contém luz ao invés de gás, e tentou aplicar os princípios da termodinâmica.

 A variação da entropia do sistema é dada por

Como uma das propriedades da radiação de cavidade foi explicada assim facilmente pela teoria clássica, no início considerou-se que a radiação de cavidade era também um fenômeno do mesmo ramo.

Lei do deslocamento de Wien
Encorajados pelo êxito de Boltzmann, muitos tentaram explicar não só o fluxo total, mas também os espectros da cavidade, baseados na teoria clássica. Em 1893, Wien (1864 -1928), considerando o dispositivo igual ao sistema usado por Boltzmann (veja ilustração do cilindro acima), calculou a variação da densidade de energia luminosa --- u_ldl --- entre os comprimentos de onda l e dl, quando o pistão é deslocado com velocidade constante.

Devido ao efeito Doppler, quando o pistão refletor está em movimento, a luz de comprimento de onda l transforma-se em outra de comprimento de onda l’ de modo que  u_ldl  sofre um decréscimo devido à luz refletida. Por outro lado, devido ao mesmo efeito Doppler, uma outra luz de comprimento de onda l” transforma-se em luz de comprimento de onda l, de modo que a energia sofre um acréscimo correspondente a essa parte. Wien fez cálculos detalhados relativos a essa variação de energia e chegou à relação,

onde V é o volume do cilindro. Resolvendo essa equação diferencial parcial, obtém-se facilmente

onde j é uma função arbitrária.
Agora, introduzindo o resultado de Boltzmann, u = aT⁴, na equação que representa a variação de entropia, temos

No caso da variação adiabática, dS = 0. Temos então: 

T³.V = C (constante).

Usando essa relação no resultado anterior, obtemos

é uma nova função arbitrária.

A partir desse resultado, podemos calcular o comprimento da onda de luz de intensidade máxima l_m. Derivando a equação acima em relação a l, temos

Assumindo aqui que a raiz da equação -5f(x) + xf'(x) = 0 seja b, temos a relação, l_mT = b , que concorda muito bem com a experiência, e é chamada lei do deslocamento de Wien.

Lei de Paschen
Como o fenômeno parecia cada vez mais ser de um mesmo ramo, muitos esforços foram feitos para explicar o espectro todo pela teoria clássica. Porém, para se chegar a uma teoria correta de modelo, era necessário passar pelo estágio fenomenológico. Nessas condições, Paschen (1865-1947) apresentou uma lei empírica, na qual, quando lT < 0,1, o espectro seguia a fórmula

onde a, b e C são constantes apropriadas. Devido à condição restritiva acima, não podemos dizer que era uma teoria fenomenológica completa, mas, de qualquer modo, um passo fora dado no avanço regular da ciência.

Teoria de modelo de Wien
Como etapa seguinte, utilizando um modelo, Wien tentou explicar a fórmula acima. Ele supôs que, se as energias cinéticas das moléculas fossem iguais, estas emitiriam luz de mesmo comprimento de onda, isto é, l = F(e), onde e é a energia cinética das moléculas. Resolvendo inversamente, temos a relação e = h(l).

De acordo com a teoria de Boltzmann, o número de moléculas que tem a energia cinética e é proporcional a  e^-e/kT . Portanto a intensidade da luz com comprimento de onda l deve ser também proporcional a  e^-h(l)/kT, isto é,

Comparando com a fórmula geral obtida anteriormente, temos

que é exatamente igual à fórmula empírica de Paschen.

Essa teoria, portanto, é incompleta, sendo válida somente para as regiões de comprimentos de onda pequenos. Contudo, nota-se que, ao se aplicar a teoria clássica, nenhuma condição foi imposta obrigando a validade da lei somente para os comprimentos de onda curtos. A aplicação da teoria seguiu os caminhos perfeitamente lógicos. Se ela estivesse incorreta, deveria haver uma discordância com a experiência também nos domínios das ondas curtas. A essa altura, começou a pairar a dúvida de que, talvez, a radiação da cavidade fosse fenômeno de um novo ramo.

Fórmula de Rayleigh-Jeans
Entretanto, no início, não se acreditou que o fenômeno fosse de um novo ramo. Rayleigh (1842-1919) e Jeans (1877-1946), considerando que a hipótese de Wien não era correta e que, na pesquisa da intensidade da luz, não era necessário conhecer o número de moléculas emissoras, e que o cálculo deveria ser feito puramente pela teoria eletromagnética, realizaram o seguinte cálculo: supõe-se que a luz esteja presa numa cavidade de forma cúbica de lado l. Nesse caso, de modo análogo ao do som, são permitidas somente determinadas espécies de comprimento de onda, devido ao efeito de ressonância. Podemos calcular, pois, facilmente, quantas ondas permitidas existem entre os comprimentos de onda l e l + dl, semelhantemente ao caso das ondas de som, e obtemos

Essa expressão difere da expressão para o som por um fator 2, mas isso é devido à existência de duas polarizações no caso da luz. 
Em seguida, introduz-se a hipótese de que a energia média da onda da luz seria dada por --- e_l =kT ---.

Em geral, a energia total de um oscilador satisfaz a relação seguinte:

(energia total) = (energia potencial) + (energia cinética) = 2(energia cinética)_{média sobre o tempo}.

Segundo a lei de eqüipartição de energia da mecânica estatística, a energia cinética média por um grau de liberdade é kT/2. Introduzindo na equação acima, encontramos que a energia média do oscilador unidimensional é kT. Baseados nessa analogia, eles chegaram à hipótese acima. A partir desses resultados, a densidade de energia da luz pode ser facilmente calculada:

Essa fórmula é chamada lei de Rayleigh-Jeans. Ao contrário da lei de Wien, está em excelente concordância experimental com as regiões de comprimentos de onda longas. Também, nesses cálculos, nenhuma condição restritiva foi imposta. Mesmo assim, não coincidia com os resultados experimentais. Estava, pois, confirmado que a radiação da cavidade era um fenômeno de um novo ramo.

====> segue em PPMQ - parte 2 com "Fórmula de interpolação de Planck" etc. e "Espectro atômico"

Para navegar para os trabalhos anteriores:

Primeiros Passos da Ciência (Geral)
Primeiros Passos da Física (parte 1)
Primeiros Passos da Física (parte 2)
Primeiros Passos da Física (parte 3)
Primeiros Passos da Física (parte 4)
Primeiros Passos da Física Clássica (parte 1)
Primeiros Passos da Física Clássica (parte 2)