Primeiros Passos da Mecânica Quântica
(Parte 2)

leobarretos@uol.com.br 

... continuação ...

Fórmula de interpolação de Planck
Seguindo o caminho normal, Planck (1858-1947) empenhou-se na construção de uma lei empírica relativa aos espectros de radiação de cavidade. No artigo publicado em 19 de outubro de 1900, apresentou uma fórmula de interpolação do tipo

Essa fórmula não foi deduzida com base numa profunda consideração teórica. 
Segunda Wien, quando l ~ 0,

Segundo Rayleigh-Jeans, quando l ~  ¥,

Tais fórmulas, dentro do seu domínio de validade, são perfeitas. Planck procurou então uma fórmula de interpolação que, em cada um dos domínios, concordasse com cada uma das fórmulas, encontrando a fórmula acima. O raciocínio usado era, assim, bem simples. Mas a fórmula deduzida concordava perfeitamente com a experiência. Era uma lei empírica completa. Agora sim, realmente, fora dado um passo na direção da nova mecânica.

Hipótese do quantum de luz de Planck
Planck considerou que seria possível deduzir teoricamente a sua fórmula, imaginando um modelo simples (dezembro de 1900). Primeiro, reescrevendo a sua fórmula como

comparou com a fórmula geral de Rayleigh-ieans. Isso significa que a energia média da luz não era kT, mas

Reescrevendo outra vez, obtemos

Segundo a fórmula geral da mecânica estatística, se um sistema mecânico pode tomar as energias E₀, E₁, E₂, . . ., a energia média, à temperatura T, é dada por

Comparando com a equação anterior vemos que a luz não pode tomar valores arbitrários de energia, mas só múltiplos inteiros de  e_l = kb/l  são permitidos. Assim, Planck, pondo  h = kb/c , afirmou que a energia da luz de freqüência n só admitia múltiplos de --- e_n = hn ---. 

Esse pensamento explicava por completo a radiação de cavidade. Era o nascimento de uma nova teoria substancialística.

Teoria do efeito fotoelétrico de Einstein
Em 1905, Einstein (1879 -1955), para explicar o efeito fotoelétrico, desenvolveu a idéia de Planck e afirmou que, ao invés de se imaginar a luz como uma onda de energia discreta, era melhor imaginá-la como uma partícula. Dessa forma, introduziu-se o conceito de fóton e uma teoria de modelo foi completada. 
Desse ponto vai-se passando, gradativamente, para o estágio essencial, porém, antes disso, um acúmulo de teorias de modelo é necessário, porque a “mecânica” é obtida pelas abstrações dos pontos comuns dessas várias teorias de modelo.

Espectro atômico

Estrutura atômica
Como foi exposto anteriormente, no início do século XIX, o conceito de átomo e de molécula já era formado, devido aos trabalhos de Dalton (1766 -1844) em 1807 e de Avogadro (1776 -1856) em 1811. No princípio, pensava-se que o átomo era realmente indivisível. As primeiras dúvidas começaram a surgir desde a descoberta do elétron, por Plücker, Crooks, Stoney, J. J. Thomson e outros, no fim do século XIX. A partir dessa época, começou-se a admitir que o átomo era constituído de íons e elétrons, e o fato de existirem átomos de várias espécies seria devido à diferença da estrutura interna. 
O núcleo atômico foi considerado como um conceito obscuro, e os seus detalhes não eram conhecidos, tendo sido imaginados vários modelos incorretos. Por exemplo, J. J. Thomson imaginou um modelo em que o núcleo seria como uma grande piscina na qual os elétrons estariam nadando. Por outro lado, Nagaoka (1865 -1950) acreditava num modelo onde o núcleo era uma esfera grande e dura, em torno da qual os elétrons estariam girando semelhantemente aos anéis de Saturno. 
Os conhecimentos detalhados da estrutura atômica ficaram estabelecidos graças aos trabalhos de Rutherford (1871-1937), em 1911. Ele imaginou que poderia saber a forma do núcleo, se incidisse outras partículas carregadas sobre o átomo, e estudasse o aspecto do espalhamento. Se o núcleo ocupasse um grande volume, como nos modelos de Thomson e Nagaoka, a força elétrica sobre a partícula incidente com carga seria fraca, e o espalhamento se daria principalmente para a frente. Caso o núcleo fosse pequeno, contrariamente, a força coulombiana reinante seria forte, e poderia haver um número considerável de espalhamentos no sentido oposto ao incidente. Rutherford bombardeou átomos de várias espécies com partículas a e descobriu que os núcleos são extremamente pequenos com raio entre 10^-12 e 10^-13 cm.

Pesquisa do espectro atômico
Com os trabalhos de Rutherford, foi sendo bastante esclarecida a estrutura do átomo de hidrogênio, isto é, imaginou-se a existência de um próton muito pequeno no centro com os elétrons girando em torno. Contudo, tal estrutura não era consistente com os espectros emitidos pelos átomos de hidrogênio. A história da pesquisa do espectro era antiga e, em 1821, Fraunhofer (1787-1826) já havia determinado os comprimentos de onda, como foi exposto em PPF - 1. 
Em 1885, Balmer (1825 -1898) já havia descoberto as linhas espectrais do átomo de hidrogênio na parte visível. Em fins do século XIX, era bem conhecido que determinadas espécies de átomos emitiam as linhas espectrais próprias. Esses fatos contradiziam evidentemente o modelo atômico determinado por Rutherford. Se o elétron girava em torno do núcleo com velocidade constante, pelos cálculos da teoria de Maxwell, só poderia emitir luzes de uma só freqüência. Por outro lado, emitindo luz, deveria perder energia e iria se aproximando do núcleo. Concomitantemente, a linha espectral deveria se deslocar. Como resultado, a luz de hidrogênio mostraria um espectro contínuo e não-linear. 
Esse fato era inconsistente com a realidade observada. Por esse motivo, reconheceu-se que o átomo também era um fenômeno de um novo ramo.

Leis empíricas sobre o espectro atômico
O estágio era agora realmente de descobrimento de leis empíricas. Em primeiro lugar, Rydberg (1854 -1919) descobriu que as freqüências das linhas espectrais do hidrogênio são dadas pela fórmula

onde R é uma constante de proporcionalidade e n, m números inteiros, sendo n < m. 
Em seguida, Ritz descobriu que as freqüências das linhas espectrais dos átomos de elementos em geral satisfaziam a lei de combinação, isto é, sempre é possível achar, das inúmeras linha espectrais, muitos conjuntos de três linhas, cujas freqüências satisfazem a relação --- n_c = n_a + n_b ---.

==> Cronologicamente falando, essas descobertas antecederam as pesquisas de Rutherford. É mais exato dizer que, como o modelo de Rutherford contradizia a existência das linhas espectrais, essas leis empíricas foram focalizadas repentinamente como uma teoria fenomenológica, que deveria ser o primeiro passo para a construção de uma nova mecânica.

Modelo atômico de Bohr
Com base no modelo de Rutherford e na fórmula de Rydberg, N. Bohr (1885 -1962) apresentou em 1913 a seguinte teoria de modelo:

a) O elétron gira em torno do próton em órbitas circulares. O seu momento angular, no entanto, não é arbitrário, devendo ser um múltiplo inteiro de h/2p.
b) A luz não é emitida quando o movimento se dá segundo as órbitas permitidas. Quando houver uma transição de uma órbita para outra, a diferença entre as suas energias é emitida em forma de luz.

Como no caso de Kepler, o próprio Bohr também não sabia ao certo por que essas condições eram impostas ao movimento do elétron. Mas, a partir desse modelo, a fórmula de Rydberg foi corretamente deduzida. Pode-se dizer que foi acrescentada mais uma teoria importante ao estágio substancial.

Teoria de De Broglie
O ponto mais estranho na teoria de Bohr estava no fato de que a constante h, introduzida por Planck no caso da luz, aparecia como urna constante para limitar o movimento do elétron. Seria simplesmente coincidência? Foi um problema que atormentou a muitos. 
Em 1 924, foi apresentada uma teoria filosófica por De Broglie. (A implicação da palavra "filosofia" será explicada depois.) 
"Foi confirmado pelo trabalho de Planck-Einstein que a luz, que antes era considerada uma onda, mostrava agora também um comportamento corpuscular, por meio de uma constante h. Então, como o movimento do elétron era limitado pelo h na teoria de Bohr, não seria possível que o elétron, até agora considerado uma partícula, manifestasse um comportamento ondulatório através de h ?“ 
Com esse raciocínio, concluiu que o elétron de energia E e momento p deve ser considerado uma onda através de urna equação inversa à da luz, a saber, --- l = h/p  ,  n = E/h.

Se a difração de um feixe de elétrons tivesse sido descoberta antes disso, e se De Broglie considerasse o modelo do elétron acima para explicar esse estranho fenômeno, poderíamos denominá-la uma teoria substancialística que nasceu passando por urna ordem correta de desenvolvimento. Na realidade, porém, só em 1927 a difração do elétron foi descoberta por Davisson (1881-1958) e Germer. Nesse sentido, o trabalho de De Broglie é um produto de pensamentos filosóficos que antecedeu a experiência. Por esse motivo, o seu poder persuasivo não era forte. Apenas alguns deram certa importância como uma possibilidade de explicar o aparecimento de h na teoria de Bohr.

De qualquer maneira, porém, completavam-se as teorias substancialísticas ou teorias de modelo. A base estava preparada para o nascimento da teoria essencial...

... e surgiu a Mecânica Quântica (PPMQ - parte 3).

Para navegar pelos trabalhos anteriores:

Primeiros Passos da Ciência (Geral)
Primeiros Passos da Física (parte 1)
Primeiros Passos da Física (parte 2)
Primeiros Passos da Física (parte 3)
Primeiros Passos da Física (parte 4)
Primeiros Passos da Física Clássica (parte 1)
Primeiros Passos da Física Clássica (parte 2)
Primeiros Passos da Mecânica Quântica (parte 1)

 

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