O átomo de Bohr
(Parte 2)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio
Segundo o que foi explicado no modelo atômico de Rutherford, este descrevia o átomo como constituído por uma região central muito pequena, o núcleo, carregado positivamente e ao redor do qual os elétrons carregados negativamente ocupam uma região muito maior. Para os pesquisadores daquela época era difícil aceitar as idéias de Rutherford. Era praticamente impossível imaginar os elétrons girando ao redor do pequeno núcleo como os planetas em suas órbitas ao redor do Sol. 
Os elétrons eram partÍculas carregadas e, de acordo com as teorias clássicas do eletromagnetismo, como já foram indicadas, estas partículas deviam “irradiar” ou emitir energia na forma de ondas eletromagnéticas. Como conseqüência, os elétrons perderiam energia neste processo giratório e se precipitariam sobre o núcleo em um movimento espiral como foi ilustrado em 23_MA01_08, na Parte 1 de nossas Leituras. Logo, "o átomo nuclear existiria somente de forma transitória e a matéria estaria se contraindo"! 
Os dois resultados vão de encontro ao que tem sido observado e experimentado.

Por outro lado, com base na teoria clássica, se os elétrons giram ao redor do núcleo e ao fazê-lo emitem energia, a freqüência de revolução dos elétrons deve mudar continuamente. Isto implica na emissão de um espectro continuo por parte dos átomos. Esta conclusão também vai de encontro aos resultados experimentais.

Com efeito, já no fim do século XIX, a espectroscopia atômica havia avançado muito e se tinha determinado expressões empíricas (obtidas da experimentação) para o que constitui as series espectrais.

Antes de prosseguir com as idéias de Bohr, vamos introduzir alguns conceitos, o que nos faz afastar um pouco da trajetória histórica seguida.

Espectros luminosos
O procedimento geral seguido para estudar a estrutura atômica provoca modificações no próprio átomo  devido às trocas de energia absorvida ou emitida por ele e isso permitiu um melhor estudo do conjunto dessas radiações, caracterizadas por suas freqüências ou comprimentos de onda. Este conjunto de radiações constitui seu espectro. Para observá-los utilizam-se os espectroscópios, os espectrógrafos etc.

Quando os átomos de uma substância são excitados, por exemplo, fazendo passar uma descarga elétrica através de um gás como o hidrogênio, a radiação emitida tem um “espectro” que consta somente de certos comprimentos de onda que se observam como raias finas com a ajuda de um espectroscópio. Estas raias são dessa substancia, constituindo assim seu espectro de emissão.

Se, por outro lado, se faz passar luz branca (que contem todos os comprimentos de onda visíveis) através de um gás, observa-se que faltam certos comprimentos de onda que correspondem às radiações absorvidas pelos átomos da substancia (gás). Tal fenômeno constitui o espectro de absorção.

Se as idéias clássicas fossem aplicáveis, esses espectros não poderiam ser observados.

Niels Bohr

A primeira explicação, ou uma primeira interpretação teórica dos espectros tomando como base um modelo atômico, foi dada em 1913 pelo físico Niels Bohr, que nessa época trabalhava com Rutherford, em Cambridge. Bohr aceitou o modelo atômico nuclear de Rutherford para explicar a constituição do átomo de hidrogênio. De acordo com este, o hidrogênio era formado por um núcleo carregado positivamente (uma só carga positiva) e um elétron girando ao redor dele. Para explicar as dificuldades, já mencionadas, que a Física clássica opunha a essas idéias, assim como as raias observadas no espectro do hidrogênio, o físico dinamarquês estabeleceu seus postulados que mais tarde apareceriam como resultados da Mecânica Quântica.

Bohr supunha:

2. Em circunstancias apropriadas, o elétron podia passar de um estado estacionário a outro. Por exemplo, quando se submete o hidrogênio a uma descarga elétrica, dando-lhe energia, o elétron pode absorver esta energia E₁ passando  a estados energéticos mais elevados E₂, E₃ etc. 
Se o átomo adquire energia suficiente o elétron pode chegar a ser separado do átomo, ficando este ionizado.
Em caso contrario, se o elétron passa de uma órbita de maior energia para outra de menor energia, como conseqüência da transição, emitirá radiação.

Esta energia radiante, seja emitida ou absorvida, aparecerá como um fóton de freqüência n. Isto é, em geral:

E_o - E_f = hn    ... (9)

onde E_o = Energia inicial, E_f = Energia final, h = Constante da Planck e n = freqüência da radiação.

Se E_f > E_o, o átomo absorverá um fóton; se, pelo contrario, E_o > E_f , emitirá um fóton de freqüência proporcional, em ambos os casos,à diferença de energia.

Bohr conseguiu calcular as energias das órbitas e pôde predizer as freqüências das radiações emitidas pelo elétron ao passar para órbitas diferentes.

De forma surpreendente demonstrou "que esses valores coincidiam com as freqüências determinadas pela técnica experimental". A teoria de Bohr foi generalizada e mais tarde foi modificada com base na mecânica quântica. 
Exporemos, de forma simples, como Bohr determinou as energias para os estados estacionários no átomo de hidrogênio.

Cálculos
O átomo de hidrogênio está constituído, de acordo com Bohr, por um núcleo carregado positivamente (próton, de carga +e) e movendo-se ao seu redor, em uma órbita circular, um elétron (carga -e). O elétron move-se, então, pela ação da resultante centrípeta devida à atração eletrostática do núcleo.

De acordo com as leis de Coulomb, esta força de atração eletrostática é dada por:

F_elet. = |e|.|e|/r² = e²/r²

e aplicando a segunda lei de Newton da Dinâmica

F = ma,    onde a = aceleração centrípeta = v²/r , vem     F = m.v²/r   e então:

e²/r² = mv²/r      ou seja,      mv² = e²/r    ... (10)

porém, de acordo com o segundo postulado de Bohr, nos estados estacionários o momento angular é um múltiplo inteiro de h/2p (h = constante de Planck), logo

momento angular = n.h/2p 
                     m.v.r = n.h/2p 

Isolando v nessa última, elevando ao quadrado e substituindo na (10), obtemos os raios das órbitas estacionárias:

r = n².h² / (4p².m.e²) = n². r_o    ... (11)
onde     r_o = h²/(4p².m.e²) = 0,53 x 10^-8 cm 

Este valor é uma "constante" que denominamos raio de Bohr.

Se na expressão (11) dermos a n os valores 1,2,3 ... obteremos os distintos raios das órbitas estacionarias.

Sendo, por outro lado, a energia total do elétron: E = E_cin. + E_pot.  , com E_cin. = (1/2)m.v²  e, usando a (10) :

E_cin. = e²/2r     ... (12)

O potencial eletrostático que o núcleo de carga +e produz, a uma distancia r, vale: V = e/r  e, então, a energia potencial do elétron será dada por: 

E_pot. = (-e).V = (-e).e/r = -e²/r   ...  (13)

Substituindo em E = E_cin. + E_pot os resultados (12) e (13) teremos:

E = e²/2r - e²/r = -e²/2r    ...  (14)

Na expressão (14), teremos E ==> 0 para r ==> infinito, o  que corresponderia ao átomo ionizado. O sinal menos indica que a energia do átomo decresce a medida que o elétron se aproxima do núcleo. Quanto mais perto uma carga negativa ficar de outra positiva, tanto menor será a energia do sistema.

Se substituirmos o valor do raio r dado pela (11) na equação (14), para a energia, obteremos em geral:

E_n = (-2p².m.e⁴)/(r².h²), que nos dá a energia para os estados estacionários, E₁, E₂ .... E_n com .... n = 1, 2, 3 ... etc. (inteiros). A energia está quantizada!

Se, agora, um elétron passa de um estado E_o a um estado final E_f, de acordo com Bohr, a freqüência do fóton absorvido ou emitido será:

n = (E_o - E_f)/h = [(2p²me⁴)/h³].(1/n_i² - 1/n_f²)

ou seja,                                            n = [(2p²me⁴)/h³].(1/n_i² - 1/n_f²)     ...  (15)

que concorda com os resultados experimentais.

Neste modelo simples do átomo de hidrogênio, o elétron pode estar em uma órbita qualquer ou em estados estacionários caracterizados pelos números quânticos 1, 2, 3 ...... n. 
Quando o elétron passa de uma órbita qualquer ao estado fundamental, obtém-se a série de Lyman. Se o estado final é n = 2, a serie será a de Balmer e assim sucessivamente, como se indica abaixo.

Apesar do valor extraordinário da teoria de Bohr, esta não foi capaz de explicar inúmeros problemas importantes como, por exemplo, a causa de transições entre certos estados estacionários não ocorrerem nunca, ou melhor dizendo serem proibidas.

De acordo com Heisenberg, a teoria de Bohr falha, “porque as idéias fundamentais em que se baseia: órbitas estacionárias, validez das leis clássicas do movimento etc, não podem ser postas a prova sem cair em graves contradições.

Sommerfeld: Órbitas elÍpticas
Procurando dar maior generalização a teoria de Bohr, Sommerfeld “concedeu” aos elétrons maior liberdade, permitindo a estes moverem-se não somente em órbitas circulares mas também elípticas. Deste modo procurava explicar o caso de átomos mais complicados.

No átomo de Bohr, a posição do elétron ficava definida pelo ângulo descrito. Ao aceitar as idéias de Sommerfeld (órbitas elípticas) supondo o núcleo no foco da elipse descrita, a distancia do núcleo (r) varia, assim como o ângulo descrito q ( teremos duas variáveis).

Sommerfeld, manteve invariável a primeira órbita de Bohr (circular) mas adicionou uma elíptica à segunda circular; duas órbitas elípticas à terceira (ver ilustração 23_MA02_12), introduzindo o chamado número quântico azimutal k , além do numero quântico principal n. Assim, para as diferentes órbitas:

Logo, para cada valor de n havia n órbitas permitidas. As órbitas de mesmo n correspondiam à estados energéticos iguais e as únicas transições permitidas eram aquelas para as quais Dk = +1 ou -1.

As teorias atuais são as que explicam claramente o porque nem todas as transições existem.

Sommerfeld também procurou explicar o fato de algumas raias especiais de elementos mais complexos que o hidrogênio serem formadas realmente por varias raias, explicando que, devido às interações dos elétrons, certas órbitas elípticas teriam energias ligeiramente diferentes das órbitas circulares.

Apesar destas idéias, Sommerfeld não acrescentou nenhuma contribuição básica ao modelo de Bohr.

O efeito Compton
Não podemos encerrar esta primeira etapa da física no século XX, sem fazer ao menos uma breve menção ao efeito Compton.

Arthur Compton ao estudar o espalhamento de raios X, utilizando como meio espalhador um bloco de carbono, observou que as freqüências dos raios X espalhados diminuíam em certos ângulos.

Para explicar a modificação da freqüência dos raios espalhados, Compton utilizou a teoria quântica da luz. O físico norte-americano propôs que a interação entre um fóton ou quantum de luz e um elétron de um átomo podia ser considerada sob certas condições como a colisão entre duas partículas em mecânica Clássica.

Os elétrons, ligados ao núcleo do átomo por forças eletrostáticas, podiam comportar-se como elétrons livres se a energia (hn) e a quantidade de movimento (hn/c) dos fótons incidentes fosse suficientemente grande.

Utilizando as leis da conservação da energia: hn = hn’ + (1/2) mv² , onde h.n = energia do fóton incidente,  hn’ = energia do fóton espalhado e (1/2)mv² = energia cinética do chamado “elétron de recuo”.

Como o valor da velocidade do “elétron de recuo” está próximo da velocidade da luz, em muitos casos deve-se utilizar a correção relativística para a massa (ver relatividade, nessa Sala 23).

Compton também aplicou a conservação da quantidade de movimento como no caso de duas esferas elásticas, obtendo finalmente a equação:

l' - l = (h/m_o.c)(1 - cosq)

onde: l' - l = aumento do comprimento de onda para o fóton espalhado; h/m_o.c = comprimento de onde de Compton, onde h é a constante de Planck, m_o a massa em repouso do elétron e c a velocidade da luz e, q = ângulo de espalhamento do fóton de comprimento de onda l'.

O elétron de recuo do efeito Compton foi descoberto simultaneamente por Wilson e por Bothe e Becker.

O efeito Compton ocorre principalmente com elétrons livres ou fracamente ligados e pode ser explicado como uma absorção do fóton incidente pelo elétron livre. A energia deste fóton aparece repartida entre o elétron de recuo e um outro fóton de menor energia. Na explicação deste fenômeno, utiliza-se a idéia de “fotons virtuais”, mas não podemos nestas notas estendermos em sua explicação.

A teoria quântica da luz foi desenvolvida com as idéias de Compton. Continuaram entretanto, sem resposta as perguntas: como era constituÍdo o átomo? como explicar sua natureza?