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Ondas ou partículas?
Partículas ou ondas?

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br 

Luis de Broglie [Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie]
Sem dúvida alguma o comportamento da radiação como partícula com propriedades mecânicas bem definidas, ou fótons, provado de maneira extraordinária por Einstein ao descrever o efeito fotoelétrico, e por Arthur Compton pelo descobrimento do efeito Compton, colocou a teoria ondulatória em situação difícil. Esta havia explicado de maneira elegante os fenômenos de interferência e difração luminosa, mas não podia explicar o efeito Compton e o efeito fotoelétrico.

Os físicos tiveram que aceitar a dualidade das ondas luminosas, considerando-as, sob determinadas condições, como fótons de energia E = hv e quantidade de movimento linear p = hv/c (c = velocidade da luz). Agora podemos perguntar: seria possível que o oposto fosse correto? ou seja que as partículas se comportassem como ondas?

Luis De Broglie em 1924, propôs que em determinadas circunstâncias as partículas se comportariam como ondas. De acordo com De Broglie, as partículas teriam associado a elas certo tipo de movimento ondulatório. 
A quantidade de movimento linear de uma partícula de massa m e velocidade v é dada por: p = mv ...(3.1)
Porém, sabemos que a quantidade de movimento linear de um fóton é dada por: p = h
n/c ...(3.2) e também que: ln = c ...(3.3); portanto: p = h/l  ...(3.4).

De Broglie estabelecia que a equação (3.4) era geral e podia aplicar-se tanto a partículas como a fótons. Logo de (3.1) e (3.4) deduz-se: l = h/mv   ...(3.5)  na qual m e a massa relativística:

m = mo / [1 - (v/c)2]     ... (3.6)

mo = massa em repouso; v = velocidade da partícula; c =  velocidade da luz.

Velocidade das ondas de De Broglie
De acordo com a teoria de De Broglie que associava uma onda à cada partícula, parece lógico supor que a velocidade da onda e da partícula sejam iguais; analisemos isto brevemente:

Chamando m a velocidade da onda temos: m = l.n  ...(3.7) onde l = comprimento de onda e n = freqüência; mas de acordo com as idéias de De Broglie (equação 3.5): l = h/mv, com v = velocidade da partícula, sempre menor que c, e como E = hn = mc2 como foi afirmado no princípio, então,

n = mc2/h   ... (3.8)

Substituindo (3.5) e (3.8) em (3.7):

m = (h/mv).(mc2/h) , ou seja,  m = c2/v   ...(3.9)

Ou, como se observa, a velocidade da onda é maior do que a velocidade da luz! 
Este resultado não contradiz, como aparentemente parece, a teoria especial da relatividade. Para esclarecer isto é necessário considerar a diferença entre velocidade de onda e velocidade de grupo.

Se considerarmos um grupo de ondas propagando-se através de um meio no qual a velocidade de uma onda (m) depende de seu comprimento, as ondas que possuem diferentes comprimentos de onda propagar-se-ão como um grupo com uma velocidade (velocidade de grupo) diferente da velocidade de onda (m). Pode-se provar, com certa facilidade (como o faz A. Beiser - Concepts of Nuclear Physics -, por exemplo) que é a “velocidade de grupo nas ondas de De Broglie associadas com uma partícula".


MA03_01: Grupo de ondas que resulta da interferência de 'trens de onda' que
tem as mesmas amplitudes porém freqüências diferentes.

O comportamento ondulatório das partículas foi determinado posteriormente por Davisson e Germer nos Estados Unidos numa experiência que provou a difração dos elétrons (fenômeno próprio dos movimentos ondulatórios).


MA03_02: Experiência de Davisson e
Germer.

Davisson e Germer ao estudarem o espalhamento de elétrons utilizaram um cristal de níquel (esse cristal foi obtido de maneira acidental ao colocar o metal no forno para eliminar o óxido que havia se formado na superfície) como alvo fazendo incidir sabre sua superfície um feixe de elétrons acelerados por uma pequena diferença de potencial, e observaram que os elétrons comportavam-se como ondas que haviam sofrido difração nos planos do monocristal.

Aplicação das idéias de De Broglie ao átomo de Bohr
De Broglie, tentando explicar as idéias de Bohr sobre o átomo, estabeleceu que o “movimento dos elétrons no átomo era dirigido por um tipo especial de ondas chamadas ondas piloto.” 
Isto significa que cada elétron seria acompanhado de uma onda estacionaria e que poderia circular deste modo sem emitir ou irradiar energia sempre que o comprimento de onda dos círculos fossem iguais a um número inteiro de comprimentos de onda de De Broglie, assim:

n.l = 2prn , com  n = 1, 2, 3, .... etc.  ...(3.10)

Por exemplo, para n = 1,   l = 2pr1 ; n = 2,   2.l = 2pr2; n = 3,   3.l = 3pr3 .... etc., o que de certo modo ajudaria a descrever as idéias postuladas por Bohr. rn representa o raio das órbitas e o número inteiro n representa o número quântico da órbita ou número quântico principal.

Com efeito, partindo-se da equação (3,10), n.l = 2pr, podemos escrever: h.n.l = 2pr.h, ou seja, 

n(h/2pr) = h/l mas h/l = p, logo:
n(h/2
pr) = p, ou também
n(h/2
p) = mvr (momento angular, L), e então:

L = n.(h/2p)   ...(3.11)

O momento angular (L) dos estados estacionários é um múltiplo inteiro de h/2p (idéias de Bohr).

Sem duvida, depois de colocarmos as idéias de De Broglie, cabe perguntarmos então, o que e correto? É mais lógico pensar no elétron em termos de ondas ou de partículas? 
Deixemos estas perguntas em suspenso até que nos ocupemos do principio de incerteza.

O Principio de Incerteza
Tentando interpretar o comportamento onda partícula ou partícula onda, o físico alemã Werner Heisenberg formulou seu princípio de incerteza de uma transcendência histórica extraordinária.

Heisenberg ilustrou este principio com uma “experiência ideal” para estudar o movimento de uma partícula. Imaginou que fosse possível utilizar um equipamento capaz de disparar um único elétron numa câmara completamente evacuada (vácuo perfeito, sem uma única molécula de ar) e utilizar uma fonte luminosa capaz de emitir fótons de qualquer comprimento de onda e em qualquer número, inclusive emitir um único fóton.

Ao examinarmos um elétron com luz de um certo comprimento de onda, os fótons que constituem a luz ao interagir com o elétron alterariam sua quantidade de movimento linear, o que introduziria uma “incerteza" na velocidade.
De outro lado, o máximo que poderíamos reduzir a incerteza na posição (
Dx) seria da ordem de “um comprimento de onda” da luz utilizada.

O físico alemão chegou a conclusão que, utilizando grandes comprimentos de onda, poderíamos determinar com precisão a velocidade do elétron; entretanto, a precisão na sua posição diminuiria. Fazendo-se o oposto, usando freqüências elevadas ou seja comprimentos de onda curtas para a luz, a posição da partícula poderia ser determinada com nitidez mas a imprecisão na velocidade aumentaria. 
Portanto, conclui-se "que os efeitos combinados na incerteza da posição e velocidade não podiam ser nunca menores do que a constante de Planck dividida pela massa da partícula ”.

Dx . Dv = h/m   ... (3.12)

onde: Dx = incerteza na posição e Dv = incerteza na velocidade; ou expressando de outro modo:

Dx . Dp > h    ...(3.13)

onde  Dp = incerteza na quantidade de movimento linear.

Em outras palavras, não é possível expressar com exatidão a posição e a quantidade de movimento do elétron em um átomo com uma precisão menor que a constante de Planck. Como estabeleceu Gamow (G. Gamow -- The Principle of Uncertainty -- Scientific American - janeiro -1958), referindo-se à trajetória do elétron, a  ”banda de incerteza é tão larga quanto a distancia da órbita do núcleo".

Ou, reafirmando, é impossível predizer com certeza a velocidade e a posição de uma partícula em escala atômica, porque nunca podemos conhecer as condições iniciais. Podemos medir somente a probabilidade de um evento.
Esta interpretação só é possível com base na aceitação dos conceitos expostos sobre as ondas e as partículas.
O princípio de incerteza recebeu o apoio de um grande número de físicos entre eles Niels Bohr, que o aceitou utilizando um exemplo que só sua imaginação poderia conceber, mas também foi combatido por homens como Einstein que se negou a aceita-lo até o fim de sua vida. Este princípio é aceito em geral pelos físicos mais notáveis de nossa época.

A função de onda
De acordo com o princípio de incerteza, a palavra dualidade não deve ser utilizada. As idéias de ondas e partícula são complementares. É a melhor forma de descrever a natureza. As representações corpuscular e ondulatória “sao como duas imagens que se complementam mutuamente”.

A “probabilidade” agora se interpreta de uma maneira diferente daquela conhecida na física clássica. Assim, falaremos da probabilidade de que um evento ocorra, por exemplo, “a probabilidade de encontrar uma partícula num ponto dado em um instante dado”, “a probabilidade de que um fóton sofra uma colisão em um certo ponto” etc.

Para expressar em linguagem matemática estas idéias, utiliza-se a chamada função de onda (Y). Se considerarmos uma quantidade variável associada ao movimento de uma partícula e supusermos que o valor dessa quantidade num ponto do espaço e em um dado instante esta relacionada com a probabilidade de encontrarmos essa partícula nesse ponto e nesse tempo, teremos o “valor da função de onda”.

A função de onda tem sido chamada por alguns autores como função amplitude. Esta função caracteriza as ondas de De Broglie. Sem dúvida a interpretação física de Y é difícil, ou melhor, não se tem uma verdadeira interpretação física. Entretanto, podemos pensar que onde Y é maior, será mais provável encontrar a partícula que representa o sistema considerado. Além disso, a amplitude de uma onda poderá ser positiva ou negativa e não tem sentido algum falar de probabilidades negativas. Por isto, utiliza-se Y2 (densidade de probabilidade), estabelecendo-se então:

P(x) = |Y(x)|2.dx   ... (3.14)

Esta expressão é interpretada como a probabilidade de encontrar a partícula considerada, descrita por (Y) no intervalo entre x e x + dx.

Como a partícula deve encontrar-se em alguma parte, estende-se a soma a todo o espaço. Esta condição traduz-se matematicamente pela expressão:

(condição de normalização)  ...(3.15)

Como indicamos em parágrafos anteriores, o comprimento de onda de De Broglie associado a uma partícula é determinado por:

l = h/p = h/mv   ... (eq. 3.5)

Sem duvida a determinação do comprimento da onda (Y) não é tão simples e requer o uso da mecânica quântica desenvolvida a partir de 1924, tomando como base as idéias expostas.

“Comoção na Física”
As idéias de De Broglie, seguidas por Heisenberg, Schrödinger, Born Jordan, Dirac etc., abrem caminho para uma compreensão do mundo do átomo.
Com efeito, o objetivo básico da mecânica quântica é utilizar as idéias ondulatória e corpuscular de forma tal que possamos estudar quantitativamente os fenômenos atômicos, evitando utilizar modelos específicos para estes fenômenos.

Como já foi exposto ao explicar o princípio de incerteza, enquanto a mecânica de Newton supõe que é possível medir com exatidão, no mesmo instante, a posição e a velocidade, ou melhor, a quantidade de movimento linear, a mecânica quântica estabelece que isto não e possível e só se estudam estas variáveis em termos de “probabilidades”. Assim, já não utilizaremos expressões como o raio do átomo, mas sim o valor mais provável do raio.

Cabe pensar, então, que devem ser estabelecidas diferenças entre a física do mundo macroscópico (Física Clássica) e a física cio mundo microscópico (Física quântica)? 
Obviamente, isto não é correto: a Física é uma só e a mecânica quântica é o instrumento mais adequado para perscrutar os mistérios da natureza, A mecânica de Newton, de acordo com Beiser, "não é senão uma versão aproximada da mecânica quântica". Outros, não concordam com tal afirmação.

A Equação de Schrödinger
Uma vez 'harmonizadas' as idéias de ondas e partículas, foi necessário estabelecer o procedimento matemático adequado para descrever um sistema do ponto de vista “quântico”. A equação de Schrödinger vem representar aqui o que a segunda lei de Newton representa para a Dinâmica.
O método usado por Schrödinger consiste em incorporar ondas associadas com partículas em equações de onda na variável
Y à qual já nos referimos anteriormente,

Como não cabe nestas Leituras tratarmos em detalhe da solução da equação de Schrödinger, vamos simplesmente escrevê-la e diremos ainda que esta equação e as soluções da mesma nos dão a máxima informação que pode ser obtida de um sistema atômico.

A equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio em três dimensões é:

     ...(3.16)

na qual o elemento ondulatório Y associa-se aos elementos corpusculares: m (massa), E energia total do sistema e V energia potencial eletrostática do elétron (carga -e) quando este encontra-se a uma distancia r do núcleo. 
O tempo não entra de forma explicita neste caso. A forma mais fácil de resolver essa equação é passá-la para coordenadas polares esféricas e utilizar o chamado método de separação de variáveis.

A solução da mesma é a função de onda que tem a forma de um produto de três funções, que descrevem respectivamente: 

1) Como a função de onda Y varia ao longo de um raio vetor centrado no núcleo R (r), mantendo as outras constantes; 
2) Como varia
Y com o ângulo polar (q) mantendo r e (f) constantes;
3) As variações de
Y com o angulo azimutal (f) para r e (q) constantes.


MA03_03: Coordenadas polares esféricas.

Não vamos entrar em detalhes sobre soluções que, aparentemente são complicadas, mas que representam  a forma mais correta para descrever o átomo de hidrogênio. Passamos em seguida a explicar brevemente o significado dos números quânticos que são conseqüências das soluções da equação de Shrödinger para o átomo de hidrogênio.

Números quânticos
Ao obter as soluções da equação de Schrödinger, isto a, as funções de onda, estas devem satisfazer certas “restrições”. Os valores E1, E2, E3... En da energia para as quais existem soluções aproximadas chamam-se valores próprios ou "auto valores” e as funções correspondentes são as funções próprias ou “auto funções”.

Ao estudar o átomo de hidrogênio, do ponto de vista quântico, observa-se que a energia do elétron se conserva, podendo tomar qualquer valor positivo, mas só determinados valores negativos dados por:

En = - 2p2me4/(n2.h2)     ...(3.17)

onde n é um número inteiro positivo chamado número quântico principal: n = 1, 2, 3, .....

De forma assombrosa verifica-se que a equação anterior é exatamente a que descreve os estados estacionários explicados por Bohr.

Além do número quântico principal (n), a solução da equação de Schrödinger exige outros números quânticos:

a) O número quântico orbital (l) que determina a medida da grandeza do momento angular do elétron. O momento angular do elétron (L) não somente se conserva mas é também quantizado, ou seja, pode ter somente determinados valores. Estes valores representam-se mediante a expressão:

L = l (l +1) (h/2p)   ...(3.18)

Os valores do número quântico orbital (l). são inteiros como os do número quântico principal, mas estão restritos somente aos seguintes valores: l= 0, 1, 2, ...... , n-1  Assim, para três exemplos:

número quântico
principal
número quântico
orbital
estado
atômico
n = 1 l = 0 1s
n = 2 l = 0
l = 1
2s
2p
n = 3 l = 0
l = 1
l = 2
3s
3p
3d

b) O número quântico magnético (ml) que “quantiza” a direção do vetor momento angular com respeito a um campo magnético externo. Isto é, a direção de L fica determinada com relação a um campo magnético externo por sua componente na direção do campo,

 LZ = ml.h/2p    ...(3 19)

Para o numero quântico ml. os valores possíveis vão de +l até -l , passando por zero. De modo que, se n = 2, por exemplo, l valeria 0 e 1 e os valores de ml seriam +1, 0, -1 ou seja 2l + 1 valores.


MA03_04: Quantização do espaço. A direção do
campo magnético é paralela ao eixo Z.

De modo que a aplicação de um campo magnético faz com que um estado atômico com um número quântico n se “desdobre” em vários sub-estados de energia ligeiramente maiores ou menores que aqueles que existiriam na ausência de campos magnéticos.
[Este efeito é o chamado efeito Zeeman; no chamado efeito Zeeman normal uma raia espectral separa-se em três componentes. Geralmente, o que se observa é o chamado efeito Zeeman anômalo que da lugar a quatro ou mais componentes. Este se deve à intervenção do “spin” do elétron.]

Aparentemente, estas novas idéias complicam o modelo simples de Bohr que visualizava o átomo como uma "nuvem de elétrons” ao redor do núcleo Entretanto, com essas novas idéias podem ser explicados muitos fenômenos que o átomo de Bohr não era capaz de esclarecer nem interpretar.

Um resultado surpreendente é o da 'regra de seleção' relativa às “transições proibidas”. De acordo com a “regra de seleção , as únicas transições dos elétrons que podem ocorrer entre dois estados de um átomo descritos por n, l, m e n', l', m' respectivamente, são aquelas onde l muda em +1 ou -1 e ml não muda ou o faz em +1, 0 , -1, isto é: 

Dl = +1 ou -1 
Dml = 0 , +1 , -1               ..... (3.20)


MA03_05: Padrões de onda para alguns estados de energia do átomo de hidrogênio.

"Spin" do elétron
Outro dos resultados obtidos de acordo com as “novas idéias" é o spin do elétron. Numerosos fenômenos observados tais como a dupla estrutura das raias ou linhas espectrais dos metais alcalinos e outros, levaram à idéia que associa ao elétron um momento angular intrínseco ("spin").

Com efeito, observando-se na ilustração MA03_06 na qual se representam os espectros dos átomos dos metais alcalinos (um único elétron de valência), notaremos a estrutura dupla das raias ou linhas espectrais de sua serie principal. Isto é, na realidade os níveis de energia, para este caso, são constituídos de "sub-níveis de energia muito próximos que aparecem como duas linhas quase iguais”. A explicação dada a este fenômeno é “uma interação magnética entre o momento angular orbital (L) e o momento angular intrínseco ou “spin” do elétron.


MA03_06: Estrutura na série principal dos metais alcalinos

Todos os elétrons possuem o mesmo número quântico de "spin", s = 1/2, então a medida do momento angular intrínseco ou "spin", S, é dada por:

S = s.(s + 1).(h/2p)  .... (3.21)

e como s = 1/2, teremos:           S = (1/2)(1/2 + 1)(h/2p) = (1/2)(3/2)(h/2p)

A existência do "spin" introduz outro número quântico: ms (número quântico magnético de "spin", que dá duas possíveis orientações para S, ou seja, ms = + 1/2).


MA03_07: Possíveis orientações do 'spin'.

Princípio de Exclusão de Pauli
O princípio de exclusão de Pauli ajuda-nos a estabelecer as configurações de átomos mais complexos que o hidrogênio. De acordo com o princípio de Pauli, “dois elétrons não podem existir num átomo nos mesmos estados quânticos". Isto é, cada elétron num átomo deve ter um grupo diferente de números quânticos n, l, ml, ms.

Momento angular total
Conhecidos a existência do momento angular orbital e o momento angular do “spin” de um elétron, podemos agora definir um momento angular total, devido à interação entre ambos. É necessário deixar claro que, se conhecemos os números quânticos l e s para cada elétron isto não explica como se somam os vetores que representam os momentos angulares orbitais e de "spin" para obter o momento angular total.

O momento angular total também é quantizado e seu modulo é dado por:

J = j(j + 1)(h/2p) ...(3.22)

onde j = l + s ou j = l - s (semi-inteiro)

JZ = mj(h/2p) ...(3.23)

com mj = ml + ms ou mj = ml - ms  (também semi-inteiro).

Se há mais de um elétron contribuindo para o momento angular total J , seu modulo será dado pelo modelo vetorial onde:

J = L + S   ...(3.24)

Este tipo de acoplamento é chamado L - S ou acoplamento de Russell-Saunders.

Por fim, poderíamos mencionar outro número quântico relacionado com a simetria da função de onda, conhecido como paridade da função de onda, mas seu tratamento se dá fará em um nível mais avançado.

Reflexões
Como resumo do desenvolvimento histórico das idéias ou caminhos que conduziram ao estado atual da mecânica quântica, apresentamos a seguinte figura:


MA03_08: Diferentes caminhos levaram a mecânica quântica ao seu
estado atual.

Depois desta breve descrição da “atual concepção do átomo”, cabe a seguinte pergunta:”teria sido possível chegar a estas idéias se estas grandes descobertas não se tivessem dado nesta forma escalonada?

O desenvolvimento das ciências tem demonstrado que de qualquer maneira teria sido possível chegar a uma teoria quântica consistente. Talvez, por caminhos diferentes, que não foram seguidos, as coisas teriam sido mais rápidas, Em todos os ramos da ciência algo semelhante aconteceu. Em mais de uma oportunidade foram feitas descobertas simultâneas por vários investigadores, utilizando técnicas diferentes, seguindo caminhos diferentes em diferentes países.

 


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