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Uso de um modelo mecânico de Newton
para entender a relatividade de Einstein

Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

Esse projeto está em desenvolvimento ... e sugestões são bem vindas. Léo 

Introdução
Além do problema do senso comum para enfrentar os desafios da relatividade especial, os alunos que iniciam o estudo desse tema carecem de qualquer experimento que permita ilustrar a teoria de Einstein.
A simulação que propomos, mediante um modelo mecânico que funciona a guisa do trem pedagógico, poderá ajudar substancialmente na compreensão do tema. Apesar da relativa imprecisão dos resultados experimentais e da extrema simplicidade do aparelho e seu procedimento, obtém-se resultados significativos.

O postulado essencial da relatividade e que é requerido para essa demonstração, é que a velocidade da luz (c) é constante em todos os referenciais inerciais.

Montagem do modelo

AB é uma tira de madeira, representando o Trem pedagógico de Einstein, apoiada sobre uma guia, também de madeira, fixa ao quadro-suporte básico. Usamos de 3 minúsculas polias plásticas para impor as alterações nas direções das forças de tração aplicadas pelos cordéis, mediante a rotação do sarilho diferencial de raios r e R. Tais polias poderiam ser, sem problemas, substituídas por alfinetes. M e N são pequenos cilindros de madeira (que podem ser substituídos por simples clipes de papéis) que simularão as frentes de onda dos lampejos emitidos pelas fontes de luz em A e B. Os massores, que garantem a constância nas tensões dos cordéis são tarugos de ferro de 50 ou 100 g. O valor do massor (P) preso ao cordel 'da traseira do trem' pode ser ajustado para garantir uma movimento suave da manivela. A manivela, por sua vez, pode ser substituída por um pequeno motor de toca-discos munidos de um sistema de redução de velocidades, assim como um inversor de polaridade para permitir o retorno das configurações. 

Como se nota, um dispositivo muito simples de ser fabricado e que admite variações e aperfeiçoamentos.

Experimentos

Nosso procedimento-1 inicia-se, 'desligando-se' os cordéis que puxam o trem. Uma sugestão para isso é (a) prender o massor (P) da traseira do trem em um alfinete espetado na tábua-suporte e (b) soltar o cordel que puxa a frente do trem. Na Nota experimental, mais adiante, apresentamos outra sugestão.

Considere agora nosso observador (D) no interior e no meio do trem, e esse em repouso, como se ilustra na figura:

D, no meio do trem, em repouso, observa as fontes de luz em A e B

Ele observa dois lampejos simultaneamente, sendo um proveniente da parte frontal do trem (A) e outro da parte traseira (B). Devido ao fato do observador D estar eqüidistante de ambos (A e B) e desde que ele observa ambos os lampejos ao mesmo tempo (o que sempre é possível mediante 2 espelhos), ele conclui que as fontes A e B emitiram lampejos simultâneos.
Se o comprimento do trem é Lo, então as frentes de onda (FOM e FON) dos lampejos provenientes de A e
B 'gastam' (Lo÷ 2.c) segundos para atingir D (c é a velocidade da luz).

A simulação disso é simples. Coloque nosso trem bem no centro do suporte, de modo que D defronta E. Ajuste o bloquinho (ou o clipe) M, arrastando-o ao longo do cordel, para defrontar A; faça o mesmo com N para defrontar B. M e N simularão as frentes de onda FOM e FON. Nessa situação, gire lentamente a manivela (ou ligue o motor) para notar como as frentes de onda atingem D simultaneamente.

Observador D, no meio do trem, observa a chegada simultânea dos lampejos de luz provenientes de A e B

O procedimento-2 consiste em ajustar o modelo para que tanto o trem como os bloquinhos se movimentem. Nessa nova fase, observe que o cordel que puxa o trem prende-se ao rolete de raio r do sarilho diferencial, enquanto que o cordel que movimenta os bloquinhos prende-se ao rolete de raio R. Desse modo, a velocidade de arraste do trem, que indicaremos por v, será proporcional a r (cada volta completa do sarilho puxa o trem de 2pr) e a velocidade de arraste dos bloquinhos, que indicaremos por c (eles simulam as propagações dos lampejos), será proporcional a R (cada volta completa do sarilho puxa os bloquinhos de 2pR, em sentidos opostos).

Como r < R , teremos v < c e, como a razão dos raios é constante (r/R = const.) também o será a razão das velocidades (v/c = const.). Dada a proporcionalidade, podemos por:  v/c = r/R  e, desse modo, serão válidas as expressões do tipo: v2/c2  ; 1 - (v2/c2)  ; [1 - (v2/c2)]1/2 etc., porque são válidas as correspondentes  com r/R (r2/R2 etc.).

Ajustemos o sistema de modo que D coincida com E (simulando ponto fixo ou observador fixo externo) e arrastemos os bloquinhos de modo que M coincida com A e N coincida com B.

Situação inicial: D <=> E; M <=> A; N <=> B

Nota experimental: o cordel que puxa o trem e sustenta o contra-peso é único; ele parte do sarilho, passa por pequeno pitão em A, por outro pequeno pitão em B, passa pela polia e prende-se ao contra-peso. Desse modo, a posição do trem é facilmente ajustável; basta segurar o cordel e arrastar o trem.

Técnica para passar o cordel 'através' do trem

Assim preparados, ligue o motor (ou gire a manivela). Observe  os acontecimentos.

E observa dois lampejos de luz originados de A e B como simultâneos. Os dois bloquinhos acabarão chegando simultaneamente em E. Mas, para D, os lampejos não são mais simultâneos uma vez que a FOM (frente de onda M) atinge D antes da FON (frente de onda N). Os bloquinhos não chegam juntos em D.

Para ilustrar tal situação preparamos uma animação:

Ocorrências vistas pela Física Clássica

Algo está errado! Os lampejos deveriam chegar simultaneamente para D e E.
Vamos refazer a situação inicial assim: N coincide com B; E estará num determinado local à esquerda de D e M simétrico de N em relação a E. Veremos o porque disso após a experimentação:

(estou ajustando essa parte que aparece na frase acima) ..... em desenvolvimento

Para observador em D as fontes devem estar  desse modo (melhorar isso!!)

Animação dos acontecimentos para D

No referencial do trem – D -, mede-se o tempo para que a frente de onda N, que parte de B, atinge o ponto D; tN.
Ainda no referencial – D – mede-se o tempo para que a frente de onda M, que parte de A (simultaneamente à de B), atinge o ponto D; tM.

Note-se que: tN = tM = tint. ; para – D -, esse tempo vale: tint. = Lo/2c (de A a D ou de B a D).  

Visto de fora do trem: N leva t1 segundos e M leva t2 segundos para chegar a E

Do ponto de vista do observador externo – E -, o tempo t1  para que a frente de onda do lampejo que parte de B (FON) chegue a E, é equacionado por: d1 = ct1  ou  t1 = d1/c    [1],   sendo que, a distância d1 que N percorre de B até E, é equacionada por: d1 = Lo/2 + vt1    [2].
De [1] e [2] vem:

 

ou   ct1 – vt1 = Lo/2   ou   t1(c – v) = Lo/2 ou, finalmente:

De modo análogo, para o observador – E -, a distância d2 e o intervalo de tempo t2 para M (FOM), após passar por A, chega em E, será: d2 = Lo/2 – vt2    [3]  e  t2 = d2/c    [4].
De [3] e [4] obtém-se:

Embora esses resultados indiquem a perda de simultaneidade dos eventos para o observador E, pois t1 ¹ t2, eles ainda não estão ‘relativisticamente’ corretos.
A diferença entre esses intervalos de tempo observados por E será:

ou ainda:

enquanto que, o resultado correto deveria ser:

A disparidade entre os resultados origina-se de:

(a)                  Do ponto de vista de E, o trem está contraído, isso significa que E mediu seu comprimento não como Lo e sim como

(b)   O observador E conclui que o relógio no interior do trem ‘anda’ mais lentamente que seu próprio relógio, portanto, se ele quiser fazer uma referência de seu relógio com relação a aquele do observador D, deverá multiplicar seu próprio tempo pelo fator

Utilizando-se dos expostos em (a) e (b), e levando essas premissas para a equação (5) obtemos:

t1 – t2 = Lo/2c.

Ao invés de calcular a diferença em tempos, experimentemos computar a média dos tempos para os eventos observados em ambos os referenciais, o interno (tint.) e o externo (text.) ao trem:

No interior do trem a média é: tint. = L0/2c
No exterior do trem a média é: text.
= t1 + t2 = Lo/2c[1 – (v2/c2)]

O fator  1/[1 – (v2/c2)] necessário para tornar iguais as médias desses tempos, têm sua origem física assentada em dois pontos (a) e (b) já comentados. É o produto de [1-(v2/c2)]-1/2 por ele mesmo, sendo oriundos de uma contração no comprimento do trem em Lo[1-(v2/c2)], como observado por E e de uma dilatação do tempo, indicando que o relógio externo ‘anda’ mais rápido em t[1-(v2/c2)]-1/2, como observado por E.

A seqüência desses resultados é clara (???). Primeiro o experimentador observou a perda de simultaneidade entre dois sistemas de referência. Posteriormente observou, através da medição, a média dos tempos tint. para os dois eventos ocorridos no interior do trem e a média dos tempos text. para os dois eventos vistos pelo observador externo. Obviamente, os dois tempos não serão iguais. Entretanto, o experimentador pode convencer-se, através dos cálculos (lembre-se que v/c é a razão entre os raios dos roletes do sarilho diferencial), que tint. e text. diferem entre si pelo fator  1-(v2/c2); sua importância e a razão para seu aparecimento devem, sem dúvida, ser enfatizados.

 Se v é bem pequeno quando comparado com c, os tempos medidos no interior e no exterior do trem, para eventos observados similarmente, tornam-se iguais. Para objetos que se movem vagarosamente em confronto com a luz, não é necessário invocar os resultados da relatividade. Entretanto, uma vez que postulamos artificialmente que a velocidade da luz era a velocidade dos bloquinhos, que a velocidade do trem relacionava-se com a velocidade dos bloquinhos e que a velocidade dos bloquinhos era a mesma quando observada no interior ou exterior do trem, as relações matemáticas simples da teoria da relatividade especial foram uma conseqüência necessária da hipótese.


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