RELATIVIDADE
(Parte IV)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

As limitações da Mecânica Newtoniana e a teoria da Relatividade Restrita

A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA E AS TRANSFORMAÇÕES   DE LORENTZ

Einstein propôs dois postulados:

  1 - A velocidade da luz no vácuo é constante e a mesma em qualquer referencial inercial.
  2 - As leis da natureza são as mesmas quando os fenômenos são observados de dois
       referenciais inerciais quaisquer.

O primeiro postulado provem das evidências experimentais.
O segundo postulado é uma extensão do principio de Galileu englobando agora todos os fenômenos.

A partir destes dois postulados é possível substituir as transformações de Galileu por um novo conjunto de transformações ¾ transformações de Lorentz ¾ que coincidem com as de Galileu para as pequenas velocidades, e que permitem obter concordância com os resultados obtidos em situações que envolvam velocidades extremas (próximas á da luz).

Como conseqüência destes postulados, novos resultados são previstos e muitos já foram observados experimentalmente.

Para estudar as transformações de Lorentz consideremos um referencial   S (x, y, z, t)   e um referencial   S’ (x’, y’, z’, t’),   que se move em relação a S com velocidade ui (i é o versor do eixo x). O significado de t no sistema S é que devemos imaginar que em todos os pontos do espaço S temos um sistema de relógios sincronizados que indicam o tempo t, ¾ veremos mais adiante como isso pode ser feito. No sistema S’, também teremos um conjunto de relógios que marcarão o tempo t’ e que estão sincronizados entre si. Veremos logo que não podemos fazer a hipótese de que   t = t’   pois não é possível “sincronizar” relógios em dois sistemas que se movem um em relação ao outro ¾ este é um dos resultados surpreendentes da teoria da relatividade.

Vamos imaginar o seguinte fenômeno: quando as origens dos dois sistemas coincidem e os relógios nas origens marcam zero [o ponto P(0, 0, 0, 0) coincide com o ponto P’ (0, 0, 0, 0)], um lampejo de luz é gerado nas origens coincidentes de S e S’ e a frente da onda gerada se propaga em todas as direções.

No sistema S pode-se escrever:        x² + y² + z² = c².t²       ==> (1)

No sistema S’ pode-se escrever:       x'² + y'² + z'² = c².t'²    ==> (2)

A transformação de Lorentz é a transformação que permite obter x’, y’, z’ e t’ a partir de x, y, z e t a qual, em virtude do postulado 2, deve ser linear e simétrica. Além disso, deve recair na transformação de Galileu para u pequeno (na região de valores em que se verificou que é válida). É possível mostrar que só há uma solução possível. A transformação de Lorentz é a seguinte:  

x' = g (x - u.t)      ==> (3)
y' = y                  ==> (4)
z' = z                  ==> (5)
t' = g (t - u.x/c²) ==> (6)

sendo

g = (1 - b²)^-1/2  ==> (7)
b = u/c               ==> (8)

A transformação acima deixa as equações de Maxwell invariantes e se reduz á transformação de Galileu para u/c « 1. A dependência com u/c mostra também que a região de velocidade em que há discordância com as transformações de Galileu está fora da experiência usual e por isso não se havia encontrado dificuldades na sua aplicação.

A transformação de Lorentz foi proposta em fins do século XIX e, antes da teoria da relatividade de Einstein era encarada como um artifício matemático, sem grande realidade física. Devemos hoje encara-las com a máxima seriedade e realidade.

Elas implicam que o espaço e o tempo em dois referenciais inerciais que se movem um em relação ao outro tem comportamento diferente e, além disso, as coordenadas de espaço e tempo não podem ser tratadas de forma independente, mas aparecem intimamente interligadas. 
A relação (6) mostra que, se como foi suposto, para t = 0 o ponto x’ = 0 coincide com o ponto x = 0, e nesse ponto t’ = 0, vemos logo que no referencial S’ os tempos t’ dependerão de x. Vemos ainda que para t = 0 as coordenadas x’ não coincidirão com as coordenadas x. Estes resultados parecem fugir á nossa intuição.

É fácil mostrar que a transformação inversa tem o mesmo aspecto que a anterior (com exceção da troca de sinal de u), assim :

x = g (x' + u.t')      ==> (9)
y = y'                  ==> (10)
z = z'                  ==> (11)
t = g (t' + u.x'/c²) ==> (12)

g  e b  têm o mesmo significado de antes.

Para tentar interpretar a transformação de Lorentz devemos imaginar uma serie de observadores ligados ao sistema S, todos eles com relógios sincronizados e que no instante t = 0, olham para o sistema S’ lendo as coordenadas imediatamente próximas e os relógios próximos ligados ao sistema S’ (assim não há problemas com o tempo de trânsito da luz entre os pontos lidos e os observadores). 
A transformação de Lorentz de (3) a (6) com  t = 0  descreve o que os observadores em S verão. Os observadores em S’ acharão que cada um deles está sendo observado em um instante diferente. Assim, o que é simultâneo em S não é simultâneo em S’. 
Se no sistema S’ tivermos um conjunto de observadores que no instante t’=0 olham o que se passa no sistema S (cada um vendo o que se passa na sua vizinhança imediata) o que eles veriam é descrito pela transformação de Lorentz de (9) a (12), com t’ = 0. As discrepâncias nas descrições entre os dois conjuntos de observadores não está ligada ao fato de que a luz deve percorrer um certo trajeto até atingir os observadores, mas está ligado ás características intrínsecas exibidas por um sistema de referência quando visto de outro, em movimento relativo, e á impossibilidade de definir simultaneidade entre dois sistemas de referência, ou o que é o mesmo, sincronizar os relógios de dois sistemas.

Nota: É possível sincronizar um relógio de um sistema com um relógio de outro sistema, em um determinado instante e quando estão no mesmo lugar; daí em diante marcarão tempos diferentes.

A sincronização de relógios em um mesmo referencial pode ser feita do seguinte modo:

Um relógio A envia um sinal luminoso no instante t_a o qual é recebido por um relógio B no instante t_b  (marcado pelo relógio B que está em repouso em relação a A); o sinal é refletido de volta para A sendo recebido no instante t'_a.    Se  t_b - t_a = t'_a - t_b , dizemos que os relógios estão sincronizados e não há ambiguidade neste processo. 
Assim, se A for sincronizado com B e B com C, A estará  sincronizado com C, conforme poderá ser verificado (estando A, B e C num mesmo referencial). 
Entretanto, se A estiver num referencial e B’ em outro e se tentar sincronizar A com B’, sucederá em geral que C, estando no mesmo referencial de A e sincronizado com este, não será síncrono com B’ , assim, não tem sentido sincronizar relógios em referenciais diferentes.

As experiências até hoje realizadas confirmam as conseqüências das transformações de Lorentz; se verificam, assim que:  todos os tipos de relógios que possam ser construídos, quando no referencial S', permanecem síncronos (dentro de sua precisão) e atrasam em relação a seus congêneres no referencial S.

Próxima Leitura: Relatividade - Parte V - Transformação de velocidades