RELATIVIDADE
(Parte V)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

As limitações da Mecânica Newtoniana e a teoria da Relatividade Restrita

   TRANSFORMAÇÃO DE VELOCIDADES ENTRE DOIS REFERENCIAIS INERCIAIS

Vamos estudar agora como se transformam velocidades de um referencial inercial para outro. Sabemos que no caso da transformação de Galileu, se um objeto tem uma velocidade v’ em relação a um referencial S’ que se move com velocidade u em relação a um referencial S  ¾ u e v’ tem mesma direção e sentido  ¾  então em relação a S o móvel terá velocidade v = v’ + u.

Já temos argumentos para suspeitar que esta relação não deve valer no caso da relatividade, pois um dos postulados da RR (relatividade restrita) implica, explicitamente, que se v’ for a velocidade da luz c, então, v também será igual a c. Além disso, sabemos que os ingredientes da velocidade, espaço (x, y, e z) e tempo (t) são profundamente alterados quando se passa de S para S’.

Vamos considerar os mesmos referenciais S e S’ adotados na discussão da transformação de Lorentz (relações de 3 a 12) posto na Parte IV dessas Leituras.

As componentes da velocidade de um móvel que se move em relação a S serão dx/dt,  dy/dt  e  dz/dt.
Em relação a S’, as componentes da velocidade serão dx’/dt’,  dy’/dt’ e dz’/dt’. Deve-se notar que as derivadas em cada referencial são efetuadas em relação ao tempo no próprio referencial

            Diferenciando as expressões de (9) a (12) obtemos:

            dx = g.dx’ + g.udt’        ==> (13)
            dy = dy’                        ==> (14)
            dz = dz’                        ==> (15)
            dt =  g.dt’ + g.udx’/c²   ==> (16)

assim:

  A transformação acima, de (17) a (19), permite obter as componentes da velocidade de um móvel em relação ao referencial S quando são conhecidas essas componentes em relação ao referencial S’. A transformação inversa, isto é, aquela que nos dá as componentes da velocidade em relação a S’ quando essas componentes são conhecidas em relação a S, são deduzidas de forma análoga à dedução acima, a partir de (3) a (6) e resulta:

É interessante notar duas características desta transformação (17 a 19).

Primeiro, nunca se criará a situação de se ter uma velocidade em relação a S que seja maior do que c, por maiores que sejam u e v’_x . Em particular, se v’_x = c (isto implica em que necessariamente v’_y = v’_z = 0), então, v_x = c.

Segundo, apesar de que na transformação de Lorentz de espaço e tempo, quando a velocidade u é ao longo de x, as coordenadas y e z ficam inalteradas, no caso das velocidades transversais v_y e v_z, estas são afetadas numa transformação de coordenadas.

Este fato reflete que na velocidade, intervem o tempo que é diferente em um sistema e no outro, sendo ainda, função da posição [ver (6) e (12)].

Ao se trabalhar com velocidades em relatividade, é importante lembrar que, para se medir a velocidade de um objeto, em um sistema de referência inercial á imprescindível usar espaços e tempos referidos a esse mesmo sistema. No caso não relativístico este cuidado é desnecessário com relação ao tempo, pois os intervalos de tempo permanecem inalterados em uma transformação de Galileu.

A limitação para a velocidade de propagação de sinais e partículas, em relação a um dado referencial, imposta pela velocidade da luz c, não implica que “coisas” que não sejam sinais se propaguem com velocidade maior do que c. Assim, se girarmos uma lanterna rapidamente, seu foco, projetado numa parede suficientemente afastada, poderá varrê-la com velocidade superior a c. Além disso, se dois móveis se dirigem um em direção ao outro com velocidade 0,9 c medida no referencial S, podemos dizer que a distância entre eles (em S) decresce á razão de 1,8.c (5,4 x 10⁸ m/s), e isto não quer dizer que a velocidade de um em relação ao outro seja de 5,4 x 10⁸ m/s.

  A identidade destes dois conceitos só valeria para a transformação de Galileu onde, nas velocidades consideradas á inaplicável.

  **** preciso de mais exemplos de situações onde ‘coisas’ se desloquem com velocidade maior que c; caso do ‘corte’da tesoura etc.

Próxima Leitura: Relatividade - Parte VI - Variação da massa e momento linear, na relatividade