RELATIVIDADE
(Parte VI)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

As limitações da Mecânica Newtoniana e a teoria da Relatividade Restrita

VARIAÇÃO DA MASSA COM A VELOCIDADE E MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICO

Vamos verificar agora como a transformação de Lorentz afeta a definição de quantidade de movimento e como se deve transformar a massa, de um sistema para outro.

Se procurarmos verificar a conservação da quantidade de movimento observando uma colisão, a partir de dois referenciais que se movem um em relação a outro com velocidade u, e definirmos momento como sendo mv (m constante), como se faz em mecânica Newtoniana, aplicando a transformação de velocidade (17) , chegaremos à conclusão de que o momento assim definido não pode se conservar, simultaneamente, em ambos os sistemas.

Se, por outro lado, quisermos impor a conservação da quantidade de movimento, seremos levados a uma nova definição da quantidade de movimento. Esta segunda opção resulta satisfatória e a nova definição de movimento, que resulta conveniente, e p = m(v)v onde se supõe, agora, que a massa relativística, não intervem apenas na definição de momento linear mas, como se verá mais adiante, é também um dos parâmetros da definição de energia relativística total.

A massa como função da velocidade não deve ser encarada como um artifício matemático mas, realmente, como uma medida tanto da inércia, como do poder de atração gravitacional que todos os “corpos” possuem. A experiência comprova plenamente que estas propriedades fundamentais da “matéria” dependem da velocidade do corpo.

Deixando de ser a massa relativística de um corpo uma propriedade intrínseca deste e passando a depender também do referencial de onde é observada, convém caracterizar uma partícula pela massa de repouso que é a massa quando observada de um referencial em relação ao qual a partícula está em repouso.

  Vamos agora obter a forma pela qual m depende de v.

Para isso vamos considerar uma colisão perfeitamente inelástica de duas partículas inicialmente livres (isto é, após a colisão permanecerão unidas formando uma só partícula). Vamos estudar essa colisão, inicial- mente, num referencial S’ em relação ao qual as duas partículas se aproximam uma da outra de forma simétrica. Após a colisão, em relação a S’, a partícula resultante estará em repouso. 

Em relação a S’ as velocidades iniciais das partículas são +u  e  -u  e a massa de cada uma delas é m(u) ¾ estamos assim supondo que a massa depende do módulo de u. A massa da partícula resultante da colisão é representada por m₀ e é uma massa de repouso, pois é medida em relação a um referencial em relação ao qual tem velocidade nula.

Em relação a S’ o momento linear antes da colisão é:

m(u).u + m(u).(-u) = O

após a colisão o momento linear é zero, pois M₀ está em repouso.

Imaginemos agora um referencial S que se move da direita para a esquerda com velocidade -u em relação a S’.

Em relação a S uma das partículas estará em repouso e terá massa m₀, e a outra terá velocidade v e massa m(v) e a partícula resultante terá velocidade u e massa M(u).
A situação em S está representada abaixo:

Pela regra de transformação de velocidade [expressão (17)] de um sistema para outro, a velocidade v, em S, será:

Vamos admitir que em S o momento linear também é conservado:

            m(v).v = M(u).u         ==> (21)

Estamos supondo, como antes, que podemos escrever o momento linear como o produto da massa pela velocidade. Estamos admitindo que existe uma dependência ainda não especificada de m com v.

Vamos supor, ainda, que a massa (relativística) se conserva. Veremos mais adiante que essa hipótese se justifica. De fato, adiantando um pouco, pela equivalência de massa e energia, a inércia de um “objeto”, ou conjunto de objetos, depende de sua energia: assim, se um sistema está isolado, não trocando energia com outros sistemas, sua massa (relativística) permanece constante. Assim, estaremos identificando com massa (relativística) três propriedades ¾ inércia, energia e atração gravitacional. Todos os experimentos realizados até hoje estão de acordo com a suposição acima.

Assim, escrevemos:

            m(v) + m₀ = M(u)       ==> (22)

Vamos agora remanejar algebricamente as relações (20) , (21) e (22) para determinar a razão m(v)/m₀.

Eliminando M(u) de (21) e (22) temos:

De (20), para explicitar u, temos a equação do segundo grau:

cuja solução é:

Em (25) notamos que teríamos duas soluções. Mas quando u <<c, devido à equação (20), teremos também v « c. Passando ao limite (*) a expressão (25), para v/c è 0, chegamos à conclusão de que utilizando o sinal positivo, u tende a infinito e tomando o negativo, u tende a v/2. Portanto, apenas o sinal negativo tem significado físico, pois a relação entre u e v deve ser tal a se reduzir ao caso clássico (newtoniano) quando u e V são pequenos. Para  u « c  a (20) se reduz a v = 2u.

Substituindo (25) (tomando o sinal -) em (23) e simplificando temos:

Esta expressão (26) sugere que a massa de uma partícula, que se move com velocidade v em relação a um referencial é maior do que a massa de repouso dessa mesma partícula. 
O aumento de massa é caracterizado pelo mesmo fator que encontramos na transformação de Lorentz (7).

Assim, a inércia de uma partícula tende ao infinito quando v tende a c. Entendemos assim por que, ao acelerarmos uma partícula, esta jamais alcançará a velocidade da luz ¾ podemos, entretanto, nos aproximar desse valor tanto quanto quisermos, desde que possamos dispor da energia suficiente.

O momento linear da partícula, por sua vez, será dado por:

A expressão (27) mostra que apesar da velocidade v não ultrapassar o valor c, o momento linear cresce de forma ilimitada quando v tende a c.
A expressão (27) é amplamente verificada pela experiência.

Próxima Leitura: Relatividade - Parte VII - Momentos lineares relativístico e clássico